Диссертация (531291), страница 25

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 25)

Выигрыш во времени при определении собственных значенийуменьшенной матрицы теряется в связи с потерей времени на конденсацию матриц. Требования к оперативной памяти уменьшаются лишьпри расчете собственных частот, а для реализации механизма конденсации требуются все те же самые ресурсы.Ощутимый эффект от механизма конденсации проявляется только тогда, когда вся конструкция собирается из нескольких блоков,каждый из которых подвергается исключению второстепенных переменных. Таким образом, происходит многоступенчатая конденсацияконструкции.190Кроме того, суперэлементный подход эффективен в сочетании сиспользованием свойств циклической симметрии, когда система с пониженным числом степеней свободы многократно рассчитывается насобственные частоты при различных граничных условиях.Вразработанномкомплексеиспользуютсялинейно-квадратичные 3D48, кубические 3D96 и линейно-кубические 3D72 конечные элементы Серендипова семейства (рис 5.3).

Функции формыэтих элементов приведены в приложении 2.3D48zxyΩ3D723D96ςξ=-1; η=-1; ς=1ξηξ=1;η=1; ς=-1Рис.5.3. Элементы 3D48, 3D72 и 3D96 в глобальной системекоординат и локальная система координат для элемента 3D72191Как показали тестовые расчеты, применение КЭ с линейнокубической аппроксимацией перемещений при расчете лопаточногоаппарата обеспечивает практически такую же точность, как с полностью кубической аппроксимацией. Формулы для определения матрицэлемента 3D72 имеют вид:424[ Ke ] = ∑∑∑ hi h j hk f1 (ξiη jζ k ) ,i =1 j =1 k =1424[ M e ] = ∑∑∑ hi h j hk f 2 (ξiη jζ k ) .i =1 j =1 k =1В отличие от полного кубического элемента количество точекинтегрирования по оси η сокращается с четырех до двух .

Так какподынтегральная функция для элемента 3D72 тоже определяется легче, чем для элемента 3D96, время вычисления матриц элементов 3D72сокращается более чем в два раза по сравнению с 3D96.Исходный текст блока расчета матриц для элемента со смешанной линейно -кубической аппроксимацией перемещений приведен вприложении 3.Поскольку при разработке собственных КЭ выбор базисныхфункций не однозначен, нужен механизм оценки качества конструируемого базиса. Заслуживающий внимания метод оценки качества базисных функций по их вычислительным свойствам , в частности, повеличине накапливаемой в процессе вычислений погрешности, предлагается в статьях Ф.

и П. Пинежаниновых , посвященных МКЭ [298].Метод апробирован в настоящей работе при разработке элементов сосмешанной аппроксимацией перемещений.Точность вычислений с использованием различных базисов хо рошо коррелируется с оценкой вычислительных свойств базиса .Поскольку в работе Лаланнэ отмечались трудности с генерациейконечноэлементной сетки для хвостовика лопатки, при использованиилинейно -кубических КЭ остановимся на этом вопросе подробнее.192Как показали тестовые расчеты, точность вычисления промежуточных (лежащих на ребрах КЭ) узлов чрезвычайно важна при генерации сетки для элементов с кубической аппроксимацией.

Пожалуй , этоосновная причина отсутствия подобных элементов в универсальныхконечноэлементных комплексах.Разработанная методика генерации сетки для профильной частилопатки заключается в следующем:1.Определяется срединная линия сечения лопатки. Данная линия проходит через центры вписанных в сечение лопатки окружностей.2.Найденная линия разбивается на n участков , где n – числоэлементов по ширине лопатки. Через полученные точки прово дятся прямые, перпендикулярные срединной линии, до границсечения лопатки. Таким образом, получаются угловые узлы 1, 4,7, 10 (рис. 5.4).3.Для нахождения промежуточных узлов, например 2-го и 3-го ,граница сечения между 1-м и 4- м узлами разбивается так, чтобыискомые узлы делили указанную линию на равные части. Анало гично ищутся узлы 8 и 9.Основные проблемы связаны с последним пунктом.

Несоблюде-ние этого условия приводит к существенным искажениям получаемыхрезультатов. Причина этих искажений была выявлена при прорисовкеизолиний генерируемых конечных элементов . На рис. 5.4 пунктиромпоказаны характерные искажения изолиний , возникающие при неправильной генерации промежуточных узлов . Показаны только линии вплоскости верхнего сечения фрагмента лопатки, полученные изменением координаты η от -1 до 1, при ξ=-1, ς=const (согласно локальнойсистеме координат рис. 5.3).193При расчете достаточно тонких лопаток, например компрессорных , эти искажения практически не оказывают влияния на точностьрасчетов.

Однако при расчете более толстых турбинных лопаток этиискажения столь ощутимы, что в некоторых точках интегрированияполучаются отрицательные объемы.4321 12911 105678 1519162026252728Рис. 5.4. Прорисовка с помощью функций форм изолинийэлемента 3D96, вписанного в лопаткуДля сравнительного анализа точности расчетов на базе различных трехмерных элементов в таблице 5.1 приведены полученные данные при вычислении собственных частот турбинной лопатки при различной сетке (обозначение 2 х 4 означает 2 элемента по хорде лопатки,4 – по длине).

В качестве эталона взяты экспериментальные значения.Из таблицы видно , что переход к элементам более высокого порядкавполне оправдан, так как точность расчетов при переходе с элементов3d48 на 3d72 и 3d96 существенно повышается. При измельчении ко -нечноэлементной сетки, начиная уже с размерности 2×8, элемент слинейно -кубической аппроксимацией перемещений дает более точныерезультаты, чем чисто кубический. На рис. 5.5 показан пример отображения форм колебаний одиночной лопатки с помощью графическихпроцедур.194формаЭкспериментТаблица 5.1Расчет собственных частот турбинной лопатки элементами 3d48, 3d72и 3d96 (Гц)2х42х83х83d48f11761941851841871778176181176175f2391449420420417391389403389387f3689837778775748705705731699699f4740944881892839761775789743757f5 1045---1243123711541061 105811131051 104814031693171016121449 146815111417 1439f7 1594 19591959196618601677 167417631648 1643f6---3d723d963d483d72 3d963d483d72 3d96ПОГРЕШНОСТЬ %f110,44,984,656,050,610,112,630,19-0,43f214,77,497,546,77-0,04-0,443,02-0,48-0,94f321,512,912,58,502,362,276,151,521,45f427,619,1220,513,422,864,706,590,372,2518,918,410,431,541,296,520,530,2522,923,316,695,225,0210,583,393,08f5f722,90195f1f2f3f5f6f7f4Рис.

5.5. Формы колебаний турбинной лопатки196Проведенные исследования собственных колебаний различныхконструкций и анализ полученных результатов позволяют рекомендовать выбор КЭ со смешанной аппроксимацией перемещений для расчета некоторых конструкций, в частности, турбинных лопаток. Из всего ряда рассмотренных в данной работе элементов 3D72 позволяетполучить самую высокую точность расчета. Недостатком этого элемента можно назвать его чувствительность к ориентации. Так , при мо делировании профильной части лопатки линейная аппроксимациядолжна осуществляться по толщине лопатки. Такую же точность (притакой же конечноэлементной сетке) обеспечивает кубический элемент3D96, который в отличие от 3D72 не чувствителен к пространственнойориентации внутри исследуемого объекта, но требует двукратногоувеличения вычислительных ресурсов.Еще один вопрос, который стоит затронуть, это сходимость решения при учете различного вида нелинейностей.Рабочие элементы роторов подвержены воздействию сильныхполей центробежных сил, которые существенно изменяют динамические характеристики рабочих колес.

В разработанном программномкомплексе рассматриваются геометрически нелинейные задачи, связанные с влиянием центробежных сил на матрицу жесткости системы.Согласно принципу виртуальной работы сумма изменений внутренних и внешних работ для системы , находящейся в равновесии, равна нулю. Если {ψ} – вектор внутренних и внешних сил, то можно записать уравнение общей работы всех сил:TTTd {δ } {ψ } = ∫ d {ε } {σ } dV − d {δ }{R} = 0 ,(5.1)Vгде вектор {R} содержит все узловые силы от внешних нагрузок, а интегралT∫ d {ε } {σ } dVV197(5.2)представляет собой виртуальную работу внутренних сил.

Если для вариации деформации справедливо соотношениеd {ε } =  B  d {δ } ,то после исключения d {δ } получаем выражениеψ ({δ } ) = ∫  B T{σ } dV − {R} ,Vв котором {σ } является вектором напряжений, определяемым достигнутым уровнем деформаций. Матрицу дифференцирования перемещений  B  , которая в этом случае является нелинейной и зависит отуровня деформаций, удобно представить в следующем виде: B  = [ B0 ] + [ BL ] , где(5.3)[B0 ] – матрица, определяющая бесконечно малые деформации;[BL ] – матрица, определяющая влияние больших перемещений.Вариация d {ψ } по d {δ } запишется в виде:d {ψ } = ∫ d  B T{σ } dV + ∫  B VTd {σ } dV .VИспользуя (5.2) и (5.3), находим:d {σ } = [ D]  B  d {δ } ,d {ψ } = ∫ d  B T{σ } dV +  K  d {δ } ,(5.4)Vгде K  = ∫  B T[ D ]  B  dV = [ K 0 ] + [ K L ] .(5.5)VМатрица [K0 ] является матрицей жесткости при малых деформациях:T[ K0 ] = ∫ [ B0 ] [ D ][ B0 ] dV ,(5.6)Vа матрица [KL ] учитывает наличие больших перемещений.

Первое слагаемое в выражении (5.4) можно записать в виде:198T∫ d [ BL ] {σ }dV = [ Kσ ] d {δ } ,(5.7)где [K σ] – матрица геометрической жесткости. Таким образом,d {ψ } = ([ K 0 ] + [ K L ] + [ Kσ ]) d δ = [ KT ] d { δ } ,где [Kт ] – полная матрица касательной жесткости.FF (δ)KTRKK0δ*δРис. 5.6. Геометрическая интерпретация компонентов матрицыжесткостиДля одномерной задачи можно дать следующую геометрическуюинтерпретацию описанным выше матрицам (рис.5.6).

[ K 0 ] – это тангенс угла наклона касательной к графику F( δ) в точке недеформированного состояния. Матрица  K  = [ K 0 ] + [ K L ] связывает F и δ с учетомдостигнутого уровня деформаций для конкретной точки графика.[ KT ] =  K  + [ Kσ ] – тангенс угла наклона касательной к графику F(δ) вточке, соответствующей достигнутому уровню деформации.Нелинейные соотношения между перемещениями и деформациями, справедливые как для малых, так и для больших перемещений идеформаций, известны как тензор деформаций Коши-Грина и выглядят следующим образом:199 ∂u  ∂x {θ }T∂v Xεx∂y 0 ε  y   ∂w ε∂z  1  0z  {ε } =   =  ∂u ∂v  +  T2 {θ }xy  γ+  Ydy∂xγyz   ∂v ∂w  0 γzx   + T dz ∂y {θ }Z ∂w ∂u  +  dx ∂z 0{θ }TY0TXTZ{θ }{θ }00 0T {θ }Z 0 {θ }YT {θ }TX {θ }  X{θ }Y  ,{θ }Z (5.8)где{θ }TX{θ }TY ∂u ∂v ∂w =  , , , ∂x ∂x ∂x  ∂u ∂v ∂w =  , , , ∂y ∂y ∂y ∂u ∂v ∂w , , . ∂z ∂z ∂z {θ }TZ = Первое слагаемое в (5.8) описывает бесконечно малые деформации, а второе – нелинейные члены, обусловленные существеннымидеформациями.

Запишем нелинейную составляющую в виде:12{ε L } = [ A]{θ } ,где [A] – матрица размерностью (6 х 9). Варьируя это соотношение, по лучаем следующую зависимость:11d {ε L } = d [ A]{θ } + [ A] d {θ } = [ A] d {θ } .22200(5.9)Для i-го узла можно выразить {θ }i следующим образом:{θ }i∂Ni I[]3∂x {θ }   u xi  [ I3 ] ∂Ni   i ∂y   vi  = [G ]{δ }i ,= {θ } yi  =   w {θ } zi   i I ∂Ni [ 3 ] ∂z где [I3 ] – единичная матрица размерностью (3 х 3).Обобщив последнюю зависимость на весь конечный элемент,получим{θ } = [G ]{δ } ,тогда выражение (5.9) можно записать в видеd {ε L } = [ A][G ] d { δ } ,откуда[ BL ] = [ A][G ] .(5.10)Для получения матрицы касательной жесткости необходимо определить матрицы [K σ] и [KL ].

В соответствии с (5.7) и (5.10) имеем:[ Kσ ] d {δ } = ∫ d [ BL ]T {σ } dV = ∫ [GL ]T d [ A]T {σ } dV .v(5.11)vС учетом (5.8) можно записать: d {θ x }0Td [ A] {σ } =  0d θy 00{ }{ }0d θy0d {θ x } d {θ z }d {θ z }20100{ }d θyσ x σ d {θ z }  y  σ  z0   = τ xy d {θ x } τ  yz τ zx σ x [ I 3 ] τ xy [ I 3 ] τ xz [ I 3 ]= τ yx [ I 3 ] σ y [ I 3 ] τ yz [ I 3 ] d [Q ] = [Q ][G ] d {δ } .τ zx [ I 3 ] τ zy [ I 3 ] σ z [ I 3 ] (5.12)После подстановки (5.12) в (5.11) получаем:[ Kσ ] = ∫ [G ]T [Q ][G ] dV ,(5.13)vгде [Q ] – матрица размерностью (9 х 9), составленная из шести компо нентов тензора напряжений в соответствии с (5.12).Матрицу [KL ] можно определить из выражения (5.5) с учетом(5.3):[ K L ] = ∫ ([ B0 ]T [ D ][ BL ] + [ BL ]T [ D ][ BL ] + [ BL ]T [ D][ B0 ]) dV .(5.14)vВ задачах, исследуемых в данной работе, большие перемещенияотсутствуют . Сравним матрицы [K0 ], [K σ] и [KL ].

Характеристики

Список файлов диссертации