Norenkov.Osnovy.Avtomatizirovannogo.Proektirovania.2002 (525024), страница 37
Текст из файла (страница 37)
Для оценки степени выполнения условия работоспособности у'-го выходного параметра вводят запас работоспособности этого параметра S и этот запас можнорассматривать как нормированный у'-й выходной параметр. Например (здесь идалее для лаконичности изложения предполагается, что все выходные параметры приведены к виду, при котором условия работоспособности становятсянеравенствами в форме у < Т ):JилиS = (T-yj)IT,S = (T-yJV1)/8,J НОМ J'J>где у ном — номинальное значение, а 5 — некоторая характеристика рассеянияу'-го выходного параметра, например, трехсигмовый допуск. Тогда целевая функция в максиминном критерии естьЗдесь запись [1: т] означает множество целых чисел в диапазоне от 1 до т.Задача (4.1) при максиминном критерии конкретизируется следующим образом:F(X) = max min S (X),XeD x156У6[1 т] '(4.4)4.2. Обзор методов оптимизациигде допустимая область D^ определяется только прямыми ограничениями науправляемые параметры х:Задачи оптимизации с учетом допусковСодержательную сторону оптимизации сучетом допусков поясняет рис.
4.2, на которомОбластьработопредставлены области работоспособности испособностидопусковая в двумерном пространстве управляемых параметров. Если собственно допуски заданы и не относятся к управляемымпараметрам, то цель оптимизации — макси.опусковаяобластьмальным образом совместить эти области так,чтобы вероятность выхода за пределы обласОти работоспособности была минимальной.Рис.
4.2. Области допусковая иРешение этой задачи исключительно трудоработоспособностиемко, так как на каждом шаге оптимизациинужно выполнять оценку упомянутой вероятности методами статистического анализа, а для сложных моделей объектовтаким методом является метод статистических испытаний. Поэтому на практике подобные задачи решают, принимая те или иные допущения.Например, если допустить, что цель оптимизации достигается при совмещении центров областей работоспособности Э и допусковой Хном, то оптимизация сводится к задаче центрирования, т. е.
к определению центра Э. Задачуцентрирования обычно решают путем предварительного нормирования управляемых параметров jc( с последующим вписыванием гиперкуба с максимальновозможными размерами в нормированную область работоспособности.П р и м е ч а н и е . Нормирование проводят таким образом, что допусковая областьприобретает форму гиперкуба, получающегося после нормирования.Очевидно, что решение задачи центрирования позволяет не только оптимизировать номинальные значения проектных параметров, но и их допуски, еслипоследние относятся к управляемым параметрам.4.2. Обзор методов оптимизацииКлассификация методов математического программированияОсновными методами оптимизации в САПР являются поисковые методы,которые основаны на пошаговом изменении управляемых параметровX.Л + 1= Х .
+ ДХ.,К^^К(4.5)\Sгде в большинстве методов приращение AX t вектора управляемых параметров вычисляется по формулеAXk = hg(Xk).(4.6)1574. Математическое обеспечение синтеза проектных решенийЗдесь Xt — значение вектора управляемых параметров на k-м шаге; h — шаг;g(Xt) — направление поиска. Следовательно, если выполняются условия сходимости, то реализуется пошаговое (итерационное) приближение к экстремуму.Методы оптимизации классифицируют по ряду признаков.В зависимости от числа управляемых параметров различают методы одномерной и многомерной оптимизации, в первых из них управляемый параметр единственный, во вторых размер вектора X не менее двух.
Реальныезадачи в САПР многомерны, методы одномерной оптимизации играют вспомогательную роль на отдельных этапах многомерного поиска.Различают методы условной и безусловной оптимизации по наличию илиотсутствию ограничений. Для реальных задач характерно наличие ограничений, однако методы безусловной оптимизации также представляют интерес,поскольку задачи условной оптимизации с помощью специальных методов могут быть сведены к задачам без ограничений.В зависимости от числа экстремумов различают задачи одно- и многоэкстремальные. Если метод ориентирован на определение какого-либо локальногоэкстремума, то такой метод относится к локальным методам. Если же результатом является глобальный экстремум, то метод называют методом глобального поиска. Удовлетворительные по вычислительной эффективностиметоды глобального поиска для общего случая отсутствуют, и потому на практике в САПР используют методы поиска локальных экстремумов.Наконец, в зависимости от того, используются при поиске производные целевой функции по управляемым параметрам или нет, различают методы нескольких порядков.
Если производные не используются, то имеет место метод нулевого порядка, если используются первые или вторые производные,то соответственно метод первого или второго порядка. Методы первого порядка называют также градиентными, поскольку вектор первых производных.F(X) по X есть градиент целевой функцииgrad (F(X)) = (dFldxlt dFldx2, ..., дР1дхп\Конкретные методы определяются следующими факторами:1) способом вычисления направления поиска g(Xt) в формуле (4.6);2) способом выбора шага /г;3) способом определения окончания поиска.Определяющим фактором является первый из перечисленных в этом списке, он подробно описан далее.Шаг может или быть постоянным, или выбираться исходя из одномернойоптимизации — поиска минимума целевой функции в выбранном направленииg(Xt).
В последнем случае шаг будем называть оптимальным.Окончание поиска обычно осуществляют по правилу: если на протяжении гподряд идущих шагов траектория поиска остается в малой е-окрестности текущей точки поиска \k, то поиск следует прекратить, следовательно, условиеокончания поиска имеет вид |Х4 - ХА J < е.1584.2. Обзор методов оптимизацииМетоды одномерной оптимизацииК методам одномерной оптимизации относятся методы дихотомическогоделения, золотого сечения, чисел Фибоначчи, полиномиальной аппроксимациии ряд их модификаций.Пусть задан отрезок [А, В], на котором имеется один минимум (в общемслучае нечетное число минимумов). Согласно методу дихотомического деления (рис.
4.3, а) отрезок делят пополам и в точках, отстоящих от центра Сотрезка на величину допустимой погрешности q, рассчитывают значения целевой функции F(C + q) и F(C - q). Если окажется, что F(C + q) > F(C - q), томинимум находится на отрезке [А,С], если F(C + q) < F(C - q), то минимум —на [С,В], если F(C + q) = F(C - q) — на [С - q, С + q]. Таким образом, наследующем шаге вместо отрезка [А, В] нужно исследовать суженный отрезок[Л,С], [С, В] или [С - q,С + q]. Шаги повторяются, пока длина отрезка неуменьшится до значения погрешности q.
Таким образом, требуется не более Nшагов, где N— ближайшее к log ((B-A)/q) целое значение, но на каждом шагецелевую функцию следует вычислять дважды.В соответствии с методом золотого сечения (рис. 4.3, б) внутри отрезка[А,В] выделяют две промежуточные точки Ct и Z), на расстоянии 5 = aL от егоконечных точек, где L — В - А — длина отрезка. Затем вычисляют значенияцелевой функции F(x) в точках С, и £>,. Если F(C:) < F(Dl), то минимум находится на отрезке [A,D^\, если F(C{) > F(Dl)), то — на отрезке [СГ В], еслиF(C}) = F(Z)j) — на отрезке [С,, Z>J.
Следовательно, вместо отрезка [А,В] теперь можно рассматривать отрезок [A,D^\, [C}, В] или [С,, D^, т. е. длина отрезка уменьшилась не менее чем в L/(L - aL) = 1/(1 - а) раз. Если подобратьзначение а так, что в полученном отрезке меньшей длины одна из промежуточных точек совпадет с промежуточной точкой от предыдущего шага, т.
е. вслучае выбора отрезка [А, £>,] точка D2 совпадет с точкой С,, а в случае выбора отрезка [С,, В] точка С2 — с точкой D{, то это позволит сократить числовычислений целевой функции на всех шагах (кроме первого) в 2 раза.Условие получения такого значения а формулируется следующим образом:(1 -2d)Lk = aLk ,, откуда с учетом того, что Lk /Lk_l:= 1/(1 -а), имеем а = 0,382.Это значение и называют золотым сечением.F(x) IАСВахАС, Z),ВхбРис. 4.3. Методы дихотомического деления (а) и золотого сечения (б)1594 Математическое обеспечение синтеза проектных решенийТаким образом, требуется не более N шагов и N + 1 вычисление целевойфункции, где N можно рассчитать, используя соотношение (В - А)/Е = (1 - d)Nпри заданной погрешности Е определения экстремума.Согласно методу чисел Фибоначчи, используют числа Фибоначчи R, последовательность которых образуется по правилу Ri+2 = Ri+t + Rt при R0=Rl = 1,т.
е. ряд чисел Фибоначчи имеет вид 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144 ...Метод аналогичен методу золотого сечения с тем отличием, что коэффициента равен отношению Ri_2/Ri, начальное значение / определяется из условия, чтоR: должно быть наименьшим числом Фибоначчи, превышающим величину•(В-А)/Е, где Е— заданная допустимая погрешность определения экстремума.Так, если (В -А)/Е = 100, то начальное значение / = 12, поскольку ./?,= 144, иа = 55/144 = 0,3819, на следующем шаге будет а = 34/89 = 0,3820 и т. д.В соответствии с методом полиномиальной аппроксимации при аппроксимации F(x) квадратичным полиномом2Р(х) = а0 + а^х + а2х(4.7)выбирают промежуточную точку С и в точках А, В, С вычисляют значенияцелевой функции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
