Norenkov.Osnovy.Avtomatizirovannogo.Proektirovania.2002 (525024), страница 35
Текст из файла (страница 35)
3.27). В результате для формы Безье получаем(3.49)1473. Математическое обеспечение анализа проектных решений-13-31Т а б л и ц а 3.11-33003-6301-1/60001/2-1/21/61/2_j02/3Т а б л и ц а 3.12-1/21/61/201/201/60где Т т = (/ 3 , t2, t, 1) — вектор-строка, матрица М представлена в табл. 3.11,G^ — вектор координат Pxi точек Р,, Р2, Р 3 и Р4, аналогично Gy, G,— векторыкоординат Р „ Р. , тех же точек.В случае 5-сплайнов аппроксимируемая кривая делится на п участков, выделяемых последовательными точками Р0, Р,, Р2, ..., Ри.
Участок между паройсоседних точек Р( и Р[+] аппроксимируется ^-сплайном, построенным с использованием четырех точек Р,.,, Р„ Р,+ ,, Р,+2. 5-сплайн на участке [Р(, Pj+1] можетбыть представлен выражениями, аналогичными (3.49),для которых матрица М имеет иной вид и представлена в табл. 3.12, а векторы Gx, G^, G. содержат соответствующие координаты точек Р,_1; Р„ Р, +1, Р,+2.Покажем, что в точках сопряжения для первой и второй производных аппроксимирующего выражения выполняются условия непрерывности, что требуется по определению В-сплайна. Обозначим участок аппроксимирующего В-сплайна, соответствующийучастку [Р , Р +1] исходной кривой, через [Q(, Q, +]].
Тогда для этого участка и координатых в точке сопряжения Q /+ , имеем t = 1 иdX(t)ldt\t__ , = [3t\ 2t, 1, 0] М [*_„*, *+|, xi+2F= [3, 2, 1 , 0] М [х,_„ х, , xi+], x+2]T= (хм-х)П;d2x(t)ldt\^ = [6t, 2, 0, 0] М [х^х^х^х^- [6,2, 0, 0] М [*,_,,*, ,х + „х +2 ] т =х -2х„+хмДля участка [Q|+1 Qi+2] в той же точке Qi+| имеем t = 0 и0= [0, 0, 1,0] М [х„х^,хм,х^=(хм-хУ2;Uo = [0. 2, 0, 0] М [х> „ xi+],xi+2, xi+3] т = х - 2 х,+1+ х,+рт. е. равенство производных в точке сопряжения на соседних участках подтверждаетнепрерывность касательного вектора и кривизны. Естественно, что значение хкоординаты х точки Qi+1 аппроксимирующей кривой на участке [Q^ QI+1]= [1, 1, 1, 1] М4xравно значению х , подсчитанному для той же точки на участке [Qi+1 Q,+2], но значениякоординат узловых точек х и х +] аппроксимирующей и аппроксимируемой кривых несовпадают.Аналогично можно получить выражения для форм Безье и 5-сплайновприменительно к поверхностям с учетом того, что вместо (3.48) используютсякубические зависимости от двух переменных.1483.
7. Математическое обеспечение подсистем машинной графикиМетоды и алгоритмы машинной графики(подготовки к визуализации)К методам машинной графики относят методы преобразования графическихобъектов, представления ( развертки) линий в растровой форме, выделения окна,удаления скрытых линий, проецирования, закраски изображении.Преобразование графических объектов выполняется с помощью операцийпереноса, масштабирования, поворота.Перенос точки из положения Р в новое положение С можно выполнять поформулам типагде Дд^ — приращение по координате х,.
Однако удобнее операции преобразования представлять в единой матричной формеС=РТ,(3.50)где Т — преобразующая матрица. При этом точки С и Р в двумерном случаеизображают векторами-строками 1 х 3, в которых кроме значений двух координат, называемых при таком представлении однородными, дополнительноуказывают масштабный множитель W. Тогда перенос для случая ID можновыразить в виде (3.50), где Т есть табл. 3.13, a W- 1.Для операций масштабирования и поворота матрицы Т представлены втабл.
3.14 и 3.15 соответственно, где тх, ту — масштабные множители, ф —угол поворота.Т а б л и ц а 3.14Т а б л и ц а 3.13Т а б л и ц а 3.1510A*i01Ах2001тх000ту0001COS фsin ф-sin ф0COS ф0001Удобство (3.50) объясняется тем, что любую комбинацию элементарныхпреобразований можно описать формулой (3.50). Например, выражение длясдвига с одновременным поворотом имеет видС = РТсд Тпов = РТ,'где Т = ТсдТшв; Тсд — матрица сдвига; Тпов — матрица поворота.Представление графических элементов в растровой форме требуется дляотображения этих элементов на битовую карту растровой видеосистемы.
Пустьтребуется развернуть отрезок АВ прямой у = ах + Ь, причем 1 > а > 0 (при других значениях а рассматриваемый ниже алгоритм остается справедливым после определенных модификаций). Введем обозначения: А = (ха, yd), В = (xb, yb);за величину дискрета (пиксела) примем единицу. В алгоритме развертки номерастрок и столбцов карты, на пересечении которых должны находиться точкиотрезка, определяются следующим образом:1493.
Математическое обеспечение анализа проектных решений1) Ах : = хЪ - ха;Ay:=yb-ya;х := ха;у: = уа;2)d = 2Ay- Ax;3) если d> О, то {у : = у +1; d := d+ 2(Ау - Ах)};иначе d:=d+2 Ay;4)jc: = *+ 1;5) переход к пункту 3, пока не достигнута точка В.Рис. 3.28. Выделение окна Экономичность этого алгоритма обусловливаетсяотсутствием длинных арифметических операций типа умножения.Выделение окна требуется при определении той части сцены, которая должна быть выведена на экран дисплея.Пусть окно ограничено линиями х = *,, х = х2, у =уг,у = У2 (рис.
3.28). Поочередно для каждого многоугольника проверяется расположение его вершини ребер относительно границ окна. Так, для многоугольника ABCD при отсечении по границе х = х2 просматривается множество вершин в порядке обходапо часовой стрелке. Возможны четыре ситуации для двух последовательныхвершин Р и R:1) если JCP > х2 и XR > х2, то обе вершины и инцидентное им ребро находятсявне окна и исключаются из дальнейшего анализа;2) если хг < х2 и XR < x2, то обе вершины и инцидентное им ребро остаютсядля дальнейшего анализа;3) если jc p < х2 и XR > х2, то вершина Р остается в списке вершин, а вершинаR заменяется новой вершиной с координатами х = х2, у = yf + (yR - уг)(х2 -XP)/(XR-xf); в нашем примере такой новой вершиной будет Е;4) если хр > х2 и XR < х2, то вершина Р заменяется новой вершиной сххXа вешинакоординатами х = х2, у =yR + (yf-yR)(x2- *У( г~ R)'РR остаетсяв списке вершин; в нашем примере новой вершиной будет КПосле окончания просмотра применительно ко всем границам в окне оказываются оставшиеся в списке вершины.Применяя эти правила в нашем примере, получаем сначала многоугольникAEFD, а после отсечения по верхней границе у = у2 — многоугольник AGFD(см.
рис. 3.28). Однако правильный результат несколько иной, а именно многоугольник AGHFD. Этот правильный результат получается при двойном обходевершин сначала по часовой стрелке, затем против с включением в список новыхвершин, появляющихся при каждом обходе.Применяют ряд алгоритмов удаления скрытых линий. Один из наиболеепросто реализуемых алгоритмов — алгоритм z-буфера, где z-буфер — областьпамяти, число ячеек в которой равно числу пикселов в окне вывода. Предполагается, что ось z направлена по нормали к видовой поверхности и наблюдательрасположен в точке z = 0.150Упражнения и вопросы для самоконтроляВ начале исполнения алгоритма все пикселы соотА'ветствуют максимальному значению z, т. е. максимальному удалению от наблюдателя, что приводит к помещению во все ячейки z-буфера значений пикселов фона/картины (чертежа).
Далее поочередно для всех точекЛ^ ''граней рассчитываются значения координаты z. Среди9 A1iточек, относящихся к одному и тому же пикселу (одiItной и той же ячейке z-буфера S), выбирается точка сiiNнаименьшим значением z и ее код (т. е. цвет и яркость)iiпомещается в S. В итоге z-буфер будет содержать пикiiселы наиболее близких к наблюдателю граней.11J'oАлгоритмы построения проекций преобразуюттрехмерные изображения в двумерные. В случае Рис.
3.29. Построениепостроения центральной проекции каждая точка трехцентральноймерного изображения отображается на картинпроекции точки Аную поверхность путем пересчета координат х и у(рис. 3.29). Так, координату х'а точки А' вычисляют по очевидной формулеfi\*; = x.dlz,аналогично рассчитывается координата у'а точки А".В параллельных проекциях d —> «э и координаты х ку точек А" и А совпадают.Поэтому построение параллельных проекций сводится к выделению окна, принеобходимости к повороту изображения и возможно к удалению скрытых линий.Закраска матовых поверхностей основана на законе Ламберта, согласнокоторому яркость отраженного от поверхности света пропорциональна cos ос,где а — угол между нормалью к поверхности и направлением луча падающегосвета.
В алгоритме Гуро яркость внутренних точек определяется линейной интерполяцией яркости в вершинах многоугольника. При этом сначала проводится интерполяция в точках ребер, а затем по строкам горизонтальной развертки. Более реалистичными получаются изображения в алгоритме Фонга,основанном на линейной интерполяции векторов нормалей к поверхности.Упражнения и вопросы для самоконтроля1. Дайте определение области адекватности математической модели.2. Представьте схему на рис. 3.30 в виде графа, постройте покрывающее дерево,запишите матрицу контуров и сечений М.i3.
Запишите компонентные и топологические уравнения для эквивалентRной схемы на рис. 3.30.,*11—4. Составьте эквивалентную схему-J Т— •*— /"*гдля гидромеханической системы (цилиндра с поршнем), представленную нарис. 3.31, где F — сила, действующая напоршень.Рис. 3.30. Эквивалентная схемаЬ 1? Т 'ifк21'.1513 Математическое обеспечение анализа проектных решений5.
Напишите выражения для проводимостейветвей схемы (см. рис. 3.30) в случае использования неявного метода Эйлера для интегрированиясистемы дифференциальных уравнений.6. Сформулируйте математическую модельРис. 3.31. Гидромеханическаяпо модифицированному методу узловых потенсистемациалов для схемы на рис. 3.30.7. Что понимают под постоянной времени физической системы?8. Выполните несколько шагов интегрирования для дифференциального уравненияdx/dt = 10 - 2х явным и неявным методами Эйлера с начальным условием ха = 0 и сшагом h - 2, нарушающим условие (3.27). Сделайте заключение об устойчивости илинеустойчивости вычислений.9.
Каким образом обеспечивается сходимость итераций при решении СНАУ?10. На чем основаны алгоритмы автоматического выбора шага интегрирования прирешении систем дифференциальных уравнений?11. Что такое «вторичные ненулевые элементы» в методах разреженных матриц?12.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
