Norenkov.Osnovy.Avtomatizirovannogo.Proektirovania.2002 (525024), страница 34
Текст из файла (страница 34)
Дуга из М, в М,означает событие М( -> М и соответствует срабатыванию перехода /. В сложныхсетях граф может содержать чрезмерно большое число вершин и дуг. Однакопри построении графа можно не отображать все вершины, так как многие изних являются дублями (действительно, от маркировки Mt всегда порождается1433. Математическое обеспечение анализа проектных решенийРис. 3.25.
Сеть Петри и ее граф достижимости (к примеру 1)Рис. 3.26. Сеть Петри и ее граф достижимости (к примеру 2)один и тот же подграф независимо от того, из какого состояния система пришла в Mt). Тупики обнаруживаются по отсутствию разрешенных переходов изкакой-либо вершины, т. е. по наличию листьев — терминальных вершин. Неограниченный рост числа маркеров в какой-либо позиции свидетельствует о нарушениях ограниченности.Приведем примеры анализа достижимости.Пример 1. Сеть Петри и граф достижимых разметок представлены на рис. 3.25.На рисунке вершины графа изображены в виде маркировок, дуги помечены срабатывающими переходами. Сеть является неограниченной и живой, так как метки могутнакапливаться в позиции рь, срабатывают все переходы, тупики отсутствуют.Пример 2. Сеть Петри и граф достижимых разметок представлены на рис.
3.26.Сеть, моделирующая двухпроцессорную вычислительную систему с общей памятью, является безопасной, живой, все разметки достижимы.3.7. Математическое обеспечение подсистеммашинной графики и геометрического моделированияКомпоненты математического обеспеченияПодсистемы машинной графики и геометрического моделирования (МГиГМ)занимают центральное место в машиностроительных САПР-К. Конструирование изделий в них, как правило, проводится в интерактивном режиме при опе1443 7 Математическое обеспечение подсистем машинной графикирировании геометрическими моделями, т. е.
математическими объектами, отображающими форму деталей, состав сборочных узлов и возможно некоторыедополнительные параметры (масса, момент инерции, цвета поверхности и т. п.).В подсистемах МГиГМ типичный маршрут обработки данных включает всебя получение проектного решения в прикладной программе, его представление в виде геометрической модели (геометрическое моделирование), подготовку проектного решения к визуализации, собственно визуализацию в аппаратуре рабочей станции и при необходимости корректировку решения винтерактивном режиме. Две последние операции реализуются на базе аппаратных средств машинной графики.
Когда говорят о математическом обеспечении МГиГМ, имеют в виду прежде всего модели, методы и алгоритмы длягеометрического моделирования и подготовки к визуализации. При этом частоименно МО подготовки к визуализации называют МО машинной графики.Различают МО двумерного (2D) и трехмерного (3.D) моделирования. Основные применения 2£)-графики - подготовка чертежной документации в машиностроительных САПР, топологическое проектирование печатных плат икристаллов БИС в САПР электронной промышленности. В развитых машиностроительных САПР используют как 2D-, так и 31)-моделирование для синтеза конструкций, представления траекторий рабочих органов станков приобработке заготовок, генерации сетки конечных элементов при анализе прочности и т. п.В 31)-моделировании различают каркасные (проволочные), поверхностные,объемные (твердотельные) модели.Каркасная модель представляет собой форму детали в виде конечногомножества линий, лежащих на поверхностях детали.
Для каждой линии известны координаты концевых точек и указана их инцидентность ребрам или поверхностям. Оперировать каркасной моделью на дальнейших операциях маршрутов проектирования неудобно, и поэтому каркасные модели в настоящее времяиспользуют редко.Поверхностная модель отображает форму детали с помощью задания ограничивающих ее поверхностей, например, в виде совокупности данных о гранях,ребрах и вершинах.Особое место занимают модели деталей с поверхностями сложной формы,так называемыми скульптурными поверхностями. К таким деталям относятсякорпуса многих транспортных средств (например, судов, автомобилей), детали, обтекаемые потоками жидкостей и газов (лопатки турбин, крылья самолетов), и др.Объемные модели отличаются тем, что в них в явной форме содержатсясведения о принадлежности элементов внутреннему или внешнему по отношениюк детали пространству.В настоящее время применяют следующие подходы к построению геометрических моделей.1.
Задание граничных элементов — граней, ребер, вершин.1453. Математическое обеспечение анализа проектных решений2. Кинематический метод, согласно которому задают двумерный контур итраекторию его перемещения; след от перемещения контура принимают в качестве поверхности детали.3. Позиционный подход, в соответствии с которым рассматриваемое пространство разбивают на ячейки (позиции) и деталь задают указанием ячеек,принадлежащих детали; очевидна громоздкость этого подхода.4.
Представление сложной детали в виде совокупностей базовых элементовформы (БЭФ) и выполняемых над ними теоретико-множественных операций.К БЭФ относятся заранее разработанные модели простых тел, это в первуюочередь модели параллелепипеда, цилиндра, сферы, призмы. Типичными теоретико-множественными операциями являются объединение, пересечение, разность. Например, модель плиты с отверстием в ней может быть получена вычитанием цилиндра из параллелепипеда.Метод на основе БЭФ часто называют методом конструктивной геометрии. Это основной способ конструирования сборочных узлов в современныхСАПР-К.В памяти ЭВМ рассмотренные модели обычно хранятся в векторной форме, т. е.
в виде координат совокупности точек, задающих элементы модели.Операции конструирования также выполняются над моделями в векторной форме. Наиболее компактна модель в виде совокупности связанных БЭФ, котораяпреимущественно и используется для хранения и обработки информации обизделиях в системах конструктивной геометрии.Однако для визуализации в современных рабочих станциях в связи с использованием в них растровых дисплеев необходима растризация — преобразование модели в растровую форму.
Обратную операцию перехода к векторнойформе, которая характеризуется меньшими затратами памяти, называют векторизацией. В частности, векторизация должна выполняться по отношению кданным, получаемым сканированием изображений в устройствах автоматического ввода.Геометрические моделиВажной составной частью геометрических моделей является описание поверхностей. Если поверхности детали — плоские грани, то модель может бытьвыражена достаточно просто определенной информацией о гранях, ребрах, вершинах детали. При этом обычно используется метод конструктивной геометрии.
Представление с помощью плоских граней имеет место и в случае болеесложных поверхностей, если эти поверхности аппроксимировать множествами плоских участков — полигональными сетками. Тогда можно поверхностнуюмодель задать одной из следующих форм:1) модель есть список граней, каждая грань представлена упорядоченнымсписком вершин (циклом вершин); эта форма характеризуется значительнойизбыточностью, так как каждая вершина повторяется в нескольких списках;2) модель есть список ребер, для каждого ребра заданы инцидентные вершины и грани.1463.
7. Математическое обеспечение подсистем машинной графикиОднако аппроксимация полигональными сетками при больших размерах ячеек сетки дает заметные искажения формы, а при малых размерах ячеек оказывается неэффективной по вычислительным затратам. Поэтому более популярныописания негогоских поверхностей кубическими уравнениями в форме Безье или 5-сплайнов.Знакомство с этими формами удобно выполнить, показав рнс 3.27.
Криваяих применение для описания геометрических объектов пер- Безьевого уровня — пространственных кривых.П р и м е ч а н и е . Геометрическими объектами нулевого, первого и второго уровнейназывают соответственно точки, кривые, поверхности.В подсистемах МГиГМ используются параметрически задаваемые кубические кривые32x(t) = axt + bxt + cxt + dx ;3X2y(t) = ay t + by t + cy t + dy ;(3.48)32z(t) = a.t + b_t + cj + d_,где 1 > t > 0. Такими кривыми описывают сегменты аппроксимируемой кривой, т.
е. аппроксимируемую кривую разбивают на сегменты и каждый сегментаппроксимируют уравнениями (3.48).Применение кубических кривых обеспечивает (соответствующим выборомчетырех коэффициентов в каждом из трех уравнений) выполнение четырехусловий сопряжения сегментов. В случае кривых Безье этими условиями являются прохождение кривой сегмента через две заданные концевые точки и равенство в этих точках касательных векторов соседних сегментов. В случае5-сплайнов выполняются условия непрерывности касательного вектора и кривизны (т. е. первой и второй производных) в двух концевых точках, что обеспечивает высокую степень «гладкости» кривой, хотя прохождение аппроксимирующей кривой через заданные точки здесь не обеспечивается. Применениеполиномов выше третьей степени не рекомендуется, так как велика вероятность появления «волнистости».В случае формы Безье коэффициенты в (3.48) определяются, во-первых,подстановкой в (3.48) значений (=0к(=1и координат заданных концевых точек Р, и Р4 соответственно, во-вторых, подстановкой в выражения производныхdx/dt = ЗаX t2 + 2bX + с х',dy/dt = За, Г 2 + 2byt + с ,dz/dt = 3a.t2 + 2b.t + с.тех же значений / = 0 и / = 1 и координат точек Р2 и Р3, задающих направлениякасательных векторов (рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
