Chertov (523131), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Момент инерции данного маятника равен сумме моментов инерции шариков 1, и 1, и стержня 1,: 1=1г+1,+1,. (2) Принимая шарики за материальные точки, выразим моменты их инерций: 1,=-т,((г2)'-; 1,=-т,((г2)'. () Так как ось проходит через середину. стержня, то его момент инерции относительно этой оси 1,= ='!ггпг,Р. Подставив полученные выражения 1„1, и 1, в формулу (2), найдем общий момент инерции физического маятника: 1=гпг (1)2)'+гпту(Н2)'+г)ггпгг(г= ='!гг('(Злгг+Зт,+тз). Произведя вычисления по этой формуле, найдем х 1=0,158 кг м'-. Рис.
6.2 Масса маятника состоит из масс шариков и массы стержня: т=т,+и,+пг,=0,9 кг. Расстояние 1с центра масс маятника от оси колебаний найдем, исходя из следующих соображений. Если ось х направить вдоль стержня и начало координат совместить с точкой О, то искомое расстояние 1 равно координате центра масс маятника, т.
е. с~~ г" гтг тг ( — г)2) + т, (()2) + тг О (с= "с + ' , или м + ~ +ггг (тг — гггг) ( (гяг — тг) г 2 (т~+гггг+глг) 2т Подставив значения величин т„пг„пг, 1 и произведя вычисления, найдем (с=5,55 см. Произведя расчеты по формуле (1), получим период колебаний физического маятника: Т= 2 3,14$' 0,158)(0,9 9,81 ° 5,55 10 ') с=11,2 с. )г)ример 4. Физический маятник представляет собой стержень длиной 1=1 м н массой Зтг с прикрепленным к одному из его концов обручем диаметром г(= — гг',( и массой пгг. Горизонтальная ось Оз 88 маятника проходит через середину стержня перпендикулярно ему (рис.
6.3). Определить период Т колебаний такого маятника. Р е ш е н и е. Период колебаний физического маятника определяется по формуле Т =- 2л )' Уахия(с), (1) где l — момент инерции маятника относительно оси колебаний; и — его масса; 1с — расстояние от центра масс маятника до оси колебаний. Момент инерции маятника равен сумме моментов инерции стержня У, и обруча У,: У=.У,+У,. (2) ' Зи Момент инерции стержня относительно оси, перпендикулярной стержню и проходящей через его центр масс, определяется по 4юрму. ле 5,==','„тР. В данном случае т=Зт, и Момен~ инерции обруча найдем, воспользовавшись теоремой Штейнера у=-у, рта-', где У вЂ” момент инерции относительно произвольной оси; У, — момент инерции относительно оси, проходящей через центр масс параллельно заданной оси; а — расстояние между указанными осями.
Применив зту фор- и~ мулу к обручу, получим У,=и, (1!4)'+и, (31.'4)' — Ч,т,Р, Рис. 6.3 Подставив выражения /, и У, в формулу (2), найдем момент инерции маятника относительно оси вращения: У ~ и Р ~ 4~ п4 Р 7~ и 1 Расстояние 1с от оси маятника до его центра масс равно ,4~~ ~"Ь47 Зт1 0 4- Я1 (311'41 3 йт11 Х т, Зт,-г ьн 4лц Подставив в формулу (1) выражения У, 1с и массы маятника (и=-Зт,+т,=4т,), найдем период его колебаний: Т вЂ” 2 )/ ' .,', =2 ~/ —. После вычисления по атой формуле получим Т вЂ” 2,17 с. Пример 5. Складываются два колебания одинакового направления, выражаемых уравнениями х,— — А, соз ы (1+т,); х,= =А., сов ы ((+т,), где А,=1 см, А,=2 см, т,— — -'1„с, т,='!, с, а=- =я с '. 1.
Определить начальные фазы ~р, и ~р,составляющих коле- баний. 2. Найти амплитуду А и начальную фазу ср результирующего колебания. Написать уравнение результирующего колебания. Р е ш е н и е. 1. Уравнение гармонического колебания имеет вид х — А соз (оМ+ср). (1) Преобразуем уравнения, заданные в условии задачи, к такому же виду; х,=А, соз(сос+сотс), х,=А, соз(ар+сот.,), (2) Из сравнения выражений (2) с равенством (1) находим начальные фазы первого и второго колебаний: сРс==сотс= — пс6 Рад и сРс=-сот,--.пп2 Рад. 2. Для определения амплитуды А результирую4г 1 щего колебания удобно воспользоваться векторной диаграммой, представленной на рис. 6А. Согласно 1 теореме косинусов, получим А =1' А, '—; — А +2А,А, соя Лср, (3) где Лср — разность фаз составляющих колебаний. 1 Ас Так как Лср=-срс — ср„то, подставляя найденные с4 значения ср, и ср„получим Лср==:и,'3 рад.
р Подставим значения А„А., и Лср в формулу рис с 4 (3) и произведем вычисления: А — 2,65 см. Тангенс начальной фазы ср результирующего колебания опреде- А, ми ср,+ А, эсп сро лим непосредственно из рис. 6.4: 1ц ср =- ' ~' ' ~", отку- Ас соз срс+ А„соэ Ч.,' да начальная фаза =- агс1 Ас зсп срс+ А., зси срс о А, соэ срс-',-А, поз ср.," Подставим значения А„А„ср„ср,, и произведем вычисления: ср=агс1п (5с"р' 3) =70,9'==0,394п рад. Так как угловые частоты складываемых колебаний одинаковы, то результирующее колебание будет иметь ту же частоту оп Это позволяет написать уравнение результирующего колебания в виде х=А сох (со1+ср), где А =2,65 см, со==я с ', ср=-0,394 и рад. Пример 6.
Материальная точка участвует одновременно в двух взаимно перпендикулярных гармонических колебаниях, уравнения которых х =- А, соз сор, (1) я' — А с озв (2) где А,=-1 см, А,=-2 см, со=-и с '. Найти уравнение траектории точки. Построить траекторию с соблюдением масштаба и указать направление движения точки. Р е ш е н и е. Чтобы найти уравнение траектории точки, исключим время 1 из заданных уравнений (1) и (2). Для этого восполь- — ! — 0,75 0 0,70? — 0,5 0 +0,5 +1 51 ~- 1,4! -'.
1,73 Е!х2 х, сч у, ем Начертив координатные оси и выбрав масштаб, нанесем на плоскость хОу найденные точки. Соединив их плавной кривой, получим траекторию точки, совершающей колебаууен ния в соответствии с уравнениями движе- В х' А ния (1) н (2) (рис. 6.5). г Для того чтобы указать направление движения точки, проследим за тем, как изменяется ее положение с течением времени. В начальный момент 1=-0 координаты точки равны х(0)=1 см и у(0) — 2 см. В последующий момент времени, например при 7,=--1 с, координаты точек изменятся и станут равнымн х (1)= — — 1 см, у(!)=-О. Зная положения точек в начальный и последующий (блпзкий) моменты времени, можно указать направление движения точки по траектории, На рнс.
6.5 это направление движения указано стрелкой (от точки А к С -7 Р началу координат). После того как в мо- Рис. 5.5 мент 1, = — 2 с колеблющаяся точка достигнет точки О, она будет двигаться в обратном направлении. Задачи Кинел!атика гармонических колебаний 6.1. Уравнение колебаний точки имеет вид х=Л соз ы(!+т), где го:=-п с ', т=--0,2 с. Определить период Т и начальную фазу !р колебаний.
9! зуемся формулой соя(а!2) =-)' (1(2) (1+ соза). В данном случае а=.=о!К поэтому В== Ае сов —, 1=--А, )7 (112)(1+ соэв!). Так как согласно формуле (1) соз ы! х'А„то уравнение траектории д=- А,)'(112) (! —; х7А,) . (3) Полученное выражение представляет собой уравнение параболы, ось которой совпадает с осью Ох. Из уравнений (1) и (2) следует, что смещение точки по осям координат ограничено и заключено в пределах от — 1 до +1 см по оси Ох и от — 2 до +2 см по оси Оу. Для построения траектории найдем по уравнению (3) значения В, соответствующие ряду значений х, удовлетворяющих условию !х~ (1 см, и составим таблицу: 6.2. Определить период Т, частоту т и начальную фазу ф колебаний, заданных уравнением х=-А з!и ы(г+т), где а=2,5п с т=0,4 с.
6.3. Точка совершает колебания по закону х=-А соз(ый+к), где А=-4 см. Определить начальную фазу ~р, если: 1) х(0)=2 см и х (0)<0; 2) х(0) = — 2$г' 2 см и хз (О) < 0; 3) х (О) — -2 см и х(0))0; 4) х(0):= — 2г'Зсм и х(0))0. Построить векторную диаграгиму для момента г ==О. 6.4. Точка совершает колебания по закону х.=Л з!п(ыГ+~р), где А=-4 см. Определить начальную фазу ~р, если: 1) х(0) — 2 см и х (О) <0; 2) х (О) =- 2 и 3 ем и х (О) >0; 3) х (О) = — 2) ' 2 с м и х (О) <0; 4) х(0)== — 2$' 3 см и х(0))0.
Построить векторную диаграмму для момента !=О. 6.5. Точка совершает колебания по закону х==-А соз(ыГ+~Г), где А ==2 см; ы=-и с ', 9:=я~4 рад. Построить графики зависимости от времени: 1) смещения х(г); 2) скорости «(1); 3) ускорения х(1). 6.6. Точка совершает колебания с амплитудой А — 4 см и периодом Т вЂ” 2 с.
Написать уравнение этих колебаний, считая, что в момент 1.=:0 смещения х(0) =0 и х(0)<0. Определить фазу (ыГ+ср) для двух моментов времени: 1) когда смещение х=1 см и х)0; 2) когда скорость х= — 6 см!с и х<0. 6.7. Точка равномерно движется по окружности против часовой стрелки с периодом Т=.б с. Диаметр г( окружности равен 20 см.
Написать уравнение движения проекции точки на ось х, проходящую через центр окружности, если в момент времени, принятый за начальный, проекция на ось х равна нулю. Найти смещение х, скорость х и ускорение х проекции точки в момент 1= 1 с. 6.8. Определить максимальные значения скорости х „ и ускорения х „точки, совершающей гармонические колебания с амплитудой А=З см и угловой частотой ы=п!2 с 6.9. Точка совершает колебания по закону х= — -А соз ыГ, где А =— =5 см; ы 2 с '. Определить ускорение )х! точки в момент времени, когда ее скорость х:=8 ем~'с. 6.10.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
