Chertov (523131), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Проволока длиной 1=2 м и диаметром д=! мм натянута практически горизонтально. Когда к середине проволоки подвесили груз массой т — 1 кг, проволока растянулась настолько, что точка подвеса опустилась на 8=4 см. Определить модуль Юнга Е материала проволоки. 4А6. Две пружины жесткостью к,=О,З кН/и и й,==0,8 кН!м соединены последовательно. Определить абсолютную деформацию х, первой пружины, если вторая деформирована пах.,=-1,5 см. Рис. 4.8 Рнс. 4.9 4.47.
Определить жесткость й системы двух пружин при последовательном и параллельном их соединении (рис. 4.8). Жесткость пружин й,=-2 кН!м и й,==б кН!м. 4А8. Йижнее основание железной тумбы, имеющей форму цилиндра диаметром е(=20 см и высотой 8=20 см, закреплено неподвижно. На верхнее основание тумбы действует сила Г=-20 кН (рис. 4.9). Найти: 1) тангенциальиое напряжение т в материале тумбы; 2) относительную деформацию у (угол сдвига); 3) смещение Лх верхнего основания тумбы. 4.49.
Тонкий стержень одним концом закреплен, к другому концу приложен момент силы М=1 кН м. Определить угол ср закручивания стержня, если постоянная кручения С=-!20 кН м!рад. 72 4.50. Тонкая однородная металлическая лента закреплена верхним концом. К нижнему концу приложен момент силы М=-1 мН м. Угол 9 закручивания ленты равен 10'. Определить постоянную кручения С. Раба~па упругой силы. Энергия дефорл ироеанного тела 4.51. Какую работу А нужно совершить, чтобы растянуть на х=-1 мм стальной стержень длиной / — 1 м и площадью Э поперечного сечения, равной 1 см'? 4.52.
Для сжатия пружины на х,=1 см нужно приложить силу г=-1О Н. Какую работу А нужно совершить, чтобы сжать пружину на х,=10 см, если сила пропорциональна сжатию? 4.53. Пружина жесткостью /г=-10 кН/м сжата силой Г=200 Н. Определить работу А внешней силы, дополнительно сжимающей эту пружину еще на х=1 см. 4.54.
Пружина жесткостью й=! кН/м была сжата на х,=-4 см. Какую нужно совершить работу А, чтобы сжатие пружины увеличить до х,=-18 см? 4.55. Гиря, положенная на верхний конец спиральной пружины, поставленнои на подставке, сжимает ее на х=2 мм. На сколько сожмет пружину та же гиря, упавшая на конец пружины с высотой 6=-5 см? 4.56. Пуля массой т,=10 г вылетает со скоростью о=-300 м!с из дула автоматического пистолета, масса т, затвора которого равна 200 г. Затвор пистолета прижимается к стволу пружиной жесткостью /г=25 кН/м.
На какое расстояние / отойдет затвор после выстрела? Считать пистолет жестко закрепленным. 4.57. Две пружины с жесткостями й,==0,3 кН/м и /г,=-0,5 кН'и скреплены последовательно и растянуты так, что абсолютная деформация х, второй пружины равна 3 см. Вычислить работу А растяжения пружин. 4.58. Пружина жесткостью й,=-100 кН/м была растянута на х,=4 см. Уменьшая приложенную силу, пружине дают возможность вернуться в первоначальное состояние (нерастянутое). Затем сжимают пружину на х,— -6 см.
Определить работу А, совершенную при этом внешней силой. 4.59. Стальной стержень массой и†-=3,9 кг растянут на г--0,001 своей первоначальной длины. Найти потенциальную энергию П растянутого стержня. 4.60. Стержень из стали длиной 1=-2 м и площадью поперечного сечения Э вЂ” 2 см' растягивается некоторой силой, причем удлинение х равно 0,4 см. Вычислить потенциальную энергию П растянутого стержня и объемную плотность ш энергии.
4.61. Стальной стержень длиной /=-2 м и площадью поперечного сечения 3=2 см' растягивается силой г"=-10 кН. Найти потенциальную энергию П растянутого стержня и объемную плотность ш энергни. 73 4.62. Две пружины, жесткости которых /г, =1 кН,'м и й.,= 3 кН,'м, скреплены параллельно. Определить потенциальную энергию П данной системы при абсолютной деформации х=5 см. 4.63.
С какой скоростью и вылетит из пружинного пистолета шарик массой и — 10 г, если пружина была сжата на х=5 см. Жесткость я пружины равна 200 Н'му 4.64. В пружинном ружье пружина сжата на х,= — 20 см. Прп взводе ее сжали еще на х,=30 см, С какой скоростью и вылетит из ружья стрела массой т — =50 г, если жесткость й пружины равна 120 Н,'му 4.65. Вагон массой т= 12 т двигался со скоростью о==1 м7с. Налетев на пружинный буфер, он остановился, сжав пружину буфера на х=10 см. Найти жесткость й пружины. 4.66. Стальной стержень растянут так, что напряжение в материале стержня о=300 МПа.
Найти объемную плотность ш потенциальной энергии растянутого стержня. 4.67. Стержень из стали имеет длину 1=2 и и площадь поперечного сечения 5=10 мм-'. Верхний конец стержня закреплен неподвижно, к нижнему прикреплен упор. На стержень надет просверленный посередине груз массой т=-1О кг (рис. 4.10). Груз Рис. 4ЛО падает с высоты й==-10 см и задерживается упором. Найти: 1) удлинение х стержня при ударе груза; 2) нормальное напряжение а, возникающее при этом в материале стержня. й й.
РЕЛЯТИВИСТСКАЯ МЕХАНИКА Основные формулы В специальной теории относительности рассматриваются только инерцнальные системы отсчета. Во всех задачах считается, что оси у, у' и г, г' сонаправлены, а относительная скорость о, системы координат К' относительно системы К направлена вдоль общей оси хх'(рис. 5.1). Ф Релятивистское (лоренцево) сокращение длины стержня 1=1,)7 1 — (ьу )-', о о где 1„— длина стержня в системе коорРис. ЗЛ динат К',относительнокоторойсгержень покоится (собственная длина). Стержень параллелен оси х', 1 — длина стержня, измеренная в системе К, относительно которой он движется со скоростью и; с — скорость распространения электромагнитного излучения.
Ф Релятивистское замедление хода часов зго Л7 =. 1' 74 где Л1, — интервал времени между двумя событиями, происходящими в одной точке системы К', измеренный по часам этой системы (собственное время движущихся часов); М вЂ” интервал времени между двумя событиями, измеренный по часам системы К. ® Релятивистское сложение скопостей — !ь О= ', хоай~ где о' — относительная скорость (скорость тела относительно системы К'); о, — переносная скорость (скорость системы К' относительно К); и — абсолютная скорость (скорость тела относительно системы К). В теории относительности абсолютной скоростью называется скорость тела в системе координат, условно принятой за неподвижную.
® Релятивистская масса Юа ьм т= или л!.= р ! — (чс!' 'г' ! — р"' где (и, — масса покоя; р — скорость частицы, выраженная в долях скорости света (р=-ос). Э Релятивистский импульс р=пю= ', плн 1!=т,с ьне р ! — !ее!' 3~ ! — р' ® Полная энергия релятивистской частицы Е=- '-= —, '+Т, где Т вЂ” кинетическая энергия частицы; п!„с'= — ń— ее энергия покоя. Частица называется релятивистской, если скорость частицы сравнима со скоростью света, и классической, если п«с. чв Связь полной энергии с импульсом релятивистской частицы Е' р.'Р т~с4 Ф Связь кинетической энергии с импульсом релятивистской частицы р'с'= Т(Т+2!пос'-).
Примеры решения задач Пример 1. Космический корабль движется со скоростью о— -0,9 с по направлению к центру Земли. Какое расстояние 1 пройдет этот корабль в системе отсчета, связанной с Землей (К-система), за интервал времени Л1,=1 с, отсчитанный по часам, находящимся в космическом корабле (К'-система)Р Суточным вращением Земли и ее орбитальным движением вокруг Солнца пренебречь. Р е ш е н и е. Расстояние 1, которое пройдет космический корабль в системе отсчета, связанной с Землей (К-система), определим по формуле 1=-пЛ1, (1) где Л( — интсрвал времени, отсчитанный в К-системе отсчета.
Этот интервал времени связан с интервалом времени, отсчитан- Л~о ным в К'-системе, соотношением Лг =,. Подставив У 1 — (сМ' выражение Л1 в формулу (1), получим "а~а 1 ! — иус)л После вычислений найдем 1 —.-519 Мм. 11 ример 2. В лабораторной системе отсчета (К-система) движется стержень со скоростью о=-0,8 с. По измерениям, произведенным в К-системе, его длина 1 оказалась равной 1О м, а угол ф, который он составляет с осью х, оказался равным 30'. Определить собственную длину 1, стержня в К'-системе, связанной со стержнем, и угол ф„ который оп составляет с осью х' (рис. 5.2).
Рис. 5.2 Р е ш е н и е. Пусть в К'-системе стержень лежит в плоскости х'0'у'. Из рис. 5.2, а следует, что собственная длина 1„стержня н угол ф„, который он составляет с осью х', выразятся равенствами 1, =- Р (Лх')'+ (Лу')', 1. ф,=-Лу',~Лх'. (1) В К-системе те же величины окажутся равными (рис.
5.2, б) 1 =.- рс(Лх)'+ (Лу)', 1д ф =- Лу/Лх. (2) Заметны, что при переходе от системы К' к К размеры стержня в направлении оси у не изменятся, а в направлении оси х претерпят релятивистское (лоренцево) сокрашение, т. е. Лу=Лу', Лх.=-Лх' и 1 — рл. (8) С учетом последних соотношений собственная длина стержня выразится равенством или 1, = Р'(л — Р (Лу)',1' 1 — Р. Заменив в этом выражении Лу на 1 з1п ф (рис. 5.2, б), получим ус 1 рг у ~ рл Подставив значения величин 1, )1, Ч в это выражение и произведя вычисления, найдем 1„=15,3 м.
Для определения угла ~р„воспользуемся соотношениями (1), (2) и (3): 1д гр,=бу,'(Лх) Р'1 — ~', или 1~~ро — — 1~~ грР'1 — (Р, откуда гр„= а ге1а (1ц гр )~ 1 — Р') . Подставив значения ср и р в это выражение и произведя вычисле- ния, получим гр,=19,1'. Пример 3. Кинетическая энергия Т электрона равна 1 МэВ. Определить скорость электрона. Р е ш е н и е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
