Chertov (523131), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Скамья неподвижна, колесо вращается с частотой н=-1О с '. Радиус ?? колеса равен 20 см, его масса т= =3 кг. Определить частоту вращения и, скамьи, если человек повернет стержень на угол 180'? Суммарный момент инерции У человека и скамьи равен б кг м'-. Массу колеса можно считать равномерно распределенной по ободу.
Работа и энергия 3.38. Шарик массой т=100 г, привязанный к концу нити длиной 1,=1 м, вращается, опираясь на горизонтальную плоскость, с частотой н,= — 1 с '. Нить укорачивается и шарик приближается к оси вращения до расстояния 1,=0,5 м. С какой частотой и, будет при этом вращаться шарик? Какую работу А совершит внешняя сила, укорачивая нить? Трением шарика о плоскость пренебречь. 3.39. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением Ч~=А+В1+СР, где А=2 рад, В= — 32 рад~с, С= — 4 рад!с'. Найти среднюю мощность (Ж), развиваемую силами, действующими на маховик при его вращении, до остановки, если его момент инерции У=100 кг м'.
3.40. Маховик вращается по закону, выражаемому уравнением ?=А+В1+СР, где А=2 рад, В=15 рад!с, С= — 2 рад(с'. Момент инерции l маховика равен 50 кг м'. Найти законы, по которым меняются вращающий момент М и мощность У. Чему равна мощность в момент времени 1=3 с? 3.41. Якорь мотора вращается с частотой и=!500 мин '. Определить вращающий момент М, если мотор развивает мощность Я=500 Вт. 3.42.
Со шкива диаметром е1=0,48 м через ремень передается мощность 1У=9 кВт. Шкив вращается с частотой а=240 мин '. Сила натяжения Т; ведущей ветви ремня в два раза больше силы натяжения Т, ведомой ветви. Найти силы натяжения обеих ветвей ремня. 3.43. Для определения мощности мотора на его шкив диаметром б=20 см накинули ленту. К одному концу ленты прикреплен динамометр, к другому подвесили груз Р. Найти мощность Л' мотора, если мотор вращается с частотой л=24 с ', масса и груза равна 1 кг и показание динамометра Е=24 Н. 3.44. Маховик в виде диска массой я=80 кг и радиусом ?? =30 см находится в состоянии покоя.
Какую работу Аг нужно совершить, чтобы сообщить маховику частоту п=10 с '? Какую работу А, пришлось бы совершить, если бы при той же массе диск имел меньшую толщину, но вдвое больший радиус? 3.45. Кинетическая энергия Т вращающегося маховика равна 1 кДж. Под действием постоянного тормозящего момента маховик начал вращаться равнозамедленно и, сделав Л'=80 оборотов, остановился. Определить момент М силы торможения. 3.46.
Маховик, момент инерции У которого равен 40 кг м', начал 58 вращаться равноускоренно из состояния покоя под действием мо- мента силы М=20 Н м. Вращение продолжалось в течение 1=- =-10 с. Определить кинетическую энергию Т, приобретенную ма- ховиком, 3.47. Пуля массой т= 10 г летит со скоростью о=800 м!с, вра- щаясь около продольной оси с частотой п=3000 с '. Принимая пулю за цилиндрик диаметром й=-8 мм, определить полную кине- тическую энергию Т пули. 3.48.
Сплошной цилиндр массой в=4 кг катится без скольжения по горизонтальной поверхности. Линейная скорость и осн цилиндра равна 1 м,'с. Определить полную кинетическуюэнергию Т цилин- дра. 3.49. Обруч и сплошной цилиндр, имеющие одинаковую массу я=2 кг, катятся без скольжения с одинаковой скоростью и=5 м'с. Найти кинетические энергии Т, и Т, этих тел. 3.50.
Шар катится без скольжения по горизонтальной поверх- ности. Полная кинетическая энергия Т шара равна 14 Дж. Опреде- лить кинетическую энергию Т, поступательного и Т, вращательно- го движения шара. 3.51. Определить линейную скорость и центра шара, скатившего- ся без скольжения с наклонной плоскости высотой Й=1 м.
3.52. Сколько времени 1 будет скатываться без скольжения обруч с наклонной плоскости длиной 1=2 м и высотой й=10 см? 3.53. Тонкий прямой стержень длиной 1=1 м прикреплен к гори- зонтальной оси, проходящей через его конец. Стержень отклонили на угол гр=-60' от положения равновесия и отпустили. Определить линейную скорость п нижнего конца стержня в момент прохожде- ния через положение равновесия.
3.54. Однородный тонкий стержень длиной 1=1 м может свобод- но вращаться вокруг горизонтальной оси з, проходящей через точку 0 на стержне. Стержень отклонили от положения равновесия на угол а и отпустили (см. рис. 3.13). Определить угловую скорость ы стержня и линейную скорость и точки В на стержне в момент про- хождения им положения равновесия. Вычисления выполнить для следующих случаев: 1) а=О, Ь=В2, а — и!3; 2) а=ВЗ, Ь=-2РЗ, а==я!2; 3) а=04, Ь=1, а=2п'3. 3.55.
Карандаш длиной 1=15 см, поставленный вертикально, падает на стол. Какую угловую ы и линейную о скорости будет иметь в конце падения: 1) середина карандаша? 2) верхний его ко- нец? Считать, что трение настолько велико, что нижний конец карандаша не проскальзывает. 3.56. Однородный диск радиусом Я=-20 см может свободно вра- щаться вокруг горизонтальной оси г, перпендикулярной плоскости диска и проходящей через точку 0 (см. рис. 3.14). Определить угло- вую ы и линейную и скорости точки В на диске в момент прохожде- ния нм положения равновесия. Вычисления выполнить для следую- щих случаев: 1) а=-Ь=-)?, а=-и!2; 2) а=К(2, Ь==О, а=-и!3; 3) а= =2Я!3, Ь=2К(3, а=5л,'6; 4) п=й13, Ь=й, а=2п!3. 59 $4.
СИЛЫ В МЕХАНИКЕ Основные формулы Ф Закон всемирного тяготения г — бт,гл,(г', где Р— сила взаимного притяжения двух материальных точек; т, и и, — их массы; г — расстояние между точками; б — гравита- ционная постоянная. В написанной форме закон всемирного тяготения можно приме- нять и к взаимодействию шаров, масса которых распределена сферп- чески-симметрично.
В этом случае г есть расстояние между центра- ми масс шаров. Ф Напряженность гравитационного поля у=Р!т, где à — сила тяготения, действующая на материальную точку массы и, помещенную в некоторую точку поля. Ф Напряженность гравитационного поля, создаваемого плане- той, массу М которой можно считать распределенной сферически- симметр ич по, д==бМ/г', где г — расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты. Ф Ускорение свободного падения на высоте й над поверхно- стью Земли Я ь".ь = О, а ~ ь)2 где )х — радиус Земли; д — ускорение свободного падения на по- верхности Земли. Если й«Д, то д„(! — 2АЯ) д. ° Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек массами и, и ги, (шаров с массой, распре- деленной сферически симметрично), находящихся на расстоянии г друг от друга, П = — бт,т,!г. (Потенциальная энергия бесконечно удаленных друг от друга ма- териальных точек принята равной нулю.) ° Потенциал гравитационного поля ар=И,~т, где П вЂ” потенциальная энергия материальной точки массой т, помещенной в данную точку поля.
° Потенциал гравитационного поля, создаваемого планетой, массу М которой можно считать распределенной сферически-сим- метрично, ~р= — бМ/», 60 где г — расстояние от центра планеты до интересующей нас точки поля, находящейся вне планеты.
® Законы Кеплера. 1. Планеты движутся по эллипсам, в одном из с1юкусов которых находится Солнце. 2. Радиус-вектор планеты в равные времена описывает одинаковые площади, 3. Квадраты периодов обращения любых двух планет относятся как кубы больших полуосей их орбит: ''4 - = п('п~ Законы Кеплера справедливы также для движения спутников вокруг планеты. Ф Относительная деформация при продольном растяжении или сжатии тела е=-х'Е где и — относительное удлинение (сжатие); х — абсолютное удлинение (рнс.
4.1); ! — начальная длина тела. Относительная деформация при сдвиге определяется из формулы 1и у=-ЛИ4, где1д у — относительный сдвиг; Лз — абсолютный сдвиг параллельных слоев тела относительно друг друга (рис. 4.2); й — расстояние между слоями; у — угол сдвига. (Для малых углов 1я у — у = Лзцй. ) Ф Напряжение нормальное о =Е„„,5, где Е „, — упругая сила, перпендикулярная попереч- Рис, 4Д Рис.
4.2 ному сечению тела; 5 — площадь этого сечения. Напряжение тангенцнальное т = Ет„и,5, где Ет„, — упругая сила, действующая вдоль слоя тела; 5— площадь этого слоя. Э Закон Гука для продольного растяжения или сжатия Ети = — йх, или а=аЕ, где я — коэффициент упругости (в случае пружины — жесткость); Š— модуль Юнга. Закон Гука для сдвига рй Лз== — „,, или с=бр, где 6 — модуль поперечной упругости (модуль сдвига). ° Момент, закручивающий на угол гр однородный круглый стер" жень, М=Сгр, где С вЂ” постоянная кручения. ° Работа, совершаемая при деформации тела, А = — йсз~2. ° Потенциальная энергия растянутого или сжатого стержня йха оз Еез П= —, или П= — )г, или П= — и' 2Е ' ' 2 где )г — объем тела.
Примеры решения задач Пример 1. Определить вторую космическую скорость и, ракеты, запущенной с поверхности Земли. Примечание. Второй космической (или параболической) скоростью оз называется минимальная скорость, которую нужно сообщить телу, чтобы оно удалилось с поверхности Земли в бесконечность (при этом сопротивление воздуха в расчет не принимается и предполагается, что на тело действует только поле тяготения Земли). Р е ш е н и е. При удалении тела массой и в бесконечность его потенциальная энергия возрастает за счет убыли кинетической энергии и в бесконечности достигает максимального значения, равного нулю. Согласно определению второй космической скорости, кинетическая энергия в бесконечности также равна нулю.
Таким образом, в бесконечности Т„=О и П„=О. В соответствии с законом сохранения энергии в механике т Т-гП=Т +П, или — — 6 — =О, где М вЂ” масса Земли. Отсюда находим пз =1 26МЯ. Преобразуем эту формулу, умножив и разделив подкоренное выражение на гс: пз = $' (26МЯ') Я. Так как 6М/тсз=д (где д — ускорение свободного падения у поверхности Земли), то пз=)г ай. Подставив в эту формулу значения д и Я и произведя вычисления, получим па=11,2 км!с. Пример 2. Ракета установлена на поверхности Земли для запуска в вертикальном направлении. При какой минимальной скорости о,, сообщенной ракете при запуске, она удалится от поверх- 62 ности на расстояние, равное радиусу Земли (тс=6,37 10'м)? Сила- ми, кроме силы гравитационного взаимодействия ракеты и Земли, пренебречь. Р е ш е н и е.
Чтобы определить минимальную скорость о, ра- кеты, надо найти ее минимальную кинетическую энергию Т,. Для этого воспользуемся законом сохранения механической энергии. Зтот закон выполняется для замкнутой системы тел, в которой дей- ствуют только консервативные силы, Систему ракета — Земля можно считать замкнутой. Единствен- ная сила, действующая на систему, — сила гравитационного взаи- модействия, являющаяся консервативной. В качестве системы отсчета выберем инерциальную систему от- счета, так как только в такой системе справедливы законы динами- ки и, в частности, законы сохранения.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
