Chertov (523131), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Релятивистская формула кинетической энергии Т=Е,(, ',— 1). Выполнив относительно р преобразования, найдем скорость час- тицы, выраженную в долях скорости света (р=-о!с): 1' (2Ео-. Т) Т (1) Ер+Т где Е, — энергия покоя электрона (см. табл. 22), Вычисления по этой формуле можно производить в любых еди- ницах энергии, так как наименования единиц в правой части формул сократятся и в результате подсчета будет получено отвлеченное число. Подставив числовые значения Е, и Т в мегаэлектрои-вольтах, получим р.— -0,941. Так как о=рс, то о=2,82 10' м,~с. Чтобы определить, является ли частица с кинетической энергией Т релятивистской или классической, достаточно сравнить кинети- ческую энергию частицы с ее энергией покоя, Если Т7Е,<<1, частицу можно считать классической.
В этом случае релятивистская формула (1) переходит в классическую: ~ =-Р 2Т,'Е„илн о=) 2Т!т„. Пример 4. Определить релятивистский импульс р и кинетическую энергию Т электрона, движущегося со скоростью о=0,9 с (где с — скорость света в вакууме). Р е ш е н и е. Релятивистский импульс р ~о~ р~ р2 77 После вычисления по формуле (1) получим р= — 5,6 ° 10 " кг м7с. В релятивистской механике кинетическая энергия Т частицы определяется как разность между полной энергией Е и энергией покоя Е„этой частицы, т, е. Т=- Š— Ео. Так как Е=тс' и Е,=-т,с', то, учитывая зависимость массы от скорости, получим щое 2 о Т ==,— тс, у —, о нлп окончательно Т = Яесо1 а — 1). (2) Сделав вычисления, найдем Т=-106 фДж.
Во внесистемных единицах энергия покоя электрона т,с'= =-0,51 МэВ. Подставив это значение в формулу (2), получим Т=0,66 МэВ. Пример 5. Релятивистская частица с кинетической энергией Т=-т,с' (т, — масса покоя частицы) испытывает неупругое столкновение с такой же покоящейся (в лабораторной системе отсчета) частицей. При этом образуется составная частица.
Определить: 1) релятивистскую массу т движущейся частицы; 2) релятивистскую массу и' и массу покоя т,' составной частицы; 3) ее кинетическую энергию Т'. Р е ш е н и е. 1. Релятивистскую массу т движущейся частицы до столкновения найдем из выражения для кинетической энергии релятивистской частицы Т==(т — т,)с'-'. Так как Т=тос-', то т=- =2то. 2. Для того чтобы найти релятивистскую массу составной частицы, воспользуемся тем, что суммарная релятивистская масса частиц сохраняется *: т+т,=т', где т+т, — суммарная релятивистская масса частиц до столкновения; и' — релятивистская масса составной частицы, Так как т=2т„то и' = Зто.
Массу покоя т,' составной частицы найдем нз соотношения 1' 1 — (о','с)' (1) Скорость п' составной частицы (она совпадает со скоростью (7с центра масс в лабораторной системе отсчета) можно найти из закона сохранения импульса р=-р', где р — импульс релятивистской частицы до столкновения; р' — импульс составной релятивистской * Этот закон см., например, в кнл Саееаоев 75 В.
Курс общей физики. М., 1977. Т. 1, б 70. 78 частицы. Выразим р через кинетическую энергию Т: р = (11с) )г (2 Е, —; Т) Т. Так как Т=Е,=-ог,с', то р = (1 'с) )г (2т,сг+ т,с-! т,с' = ггг,с )7 3. Релятивистский импульс р'--гп'о'. Учитывая, что т'= — Зт„ / закон сохранения импульса можно записать в виде т„с): З=-Зт,о', откуда о =сг)г 3. Подставив выражения о' и пг" в формулу (1), найдем массу покоя составной частицы: пг„'= — Зт,1 1 — (1 )' 3)"", или ггг„'=т„)'6. 3. Кинетическую энергию Т' составной релятивистской частицы найдем как разность полной энергии т'се н энергии покоя т„'с' составной частицы: Т' =- (т' — т,') с"-.
Подставив выражения т' и т',, получим Т' = (Зггг, — ) бт,) с'-' = (3 — !' 6) т,с' = — 0,55т,с-". Задачи релятивистское излгенение длин и ин пг е рва лов времен и 5.1. Предположим, что мы можем измерить длину стержня с точностью И вЂ” 0,1 мкм. При какой относительной скорости и двух инерцнальных систем отсчета можно было бы обнаружить релятивистское сокращение длины стержня, собственная длина 1, которого равна 1 м? 5.2.
Двое часов после синхронизации были помещены в системы г~оординат К и К', движущиеся друг относительно друга. При какой скорости и пх относительного движения возможно обнаружить релятивистское замедление хода часов, если собственная длительность т„измеряемого промежутка времени составляет 1 с? Измерение времени производится с точностью Лт=-10 пс. 5.3. На космическом корабле-спутнике находятся часы, синхронизированные до полета с земными. Скорость о„спутника составляет 7,9 км,'с. На сколько отстанут часы на спутнике по измерениям земного наблюдателя по своим часам за время т,—:0,5 года? 5.4. Фотонная ракета движется относительно Земли со скоростью о--0,6 с.
Во сколько раз замедлится ход времени в ракете с точки зрения земного наблюдателя? 5.5. В системе К' покоится стержень, собственная длина 1, которого равна 1 м. Стержень расположен так, что составляет угол г!го=-45= с осью х'. Определить длину 1стержня и угол гр в системе К, если скорость о„системы К' относительно К равна 0,8 с.
79 5.6. В системе К находится квадрат, сторона которого параллельна оси х'. Определить угол гр между его диагоналями в системе К, если система К' движется относительно К со скоростью о=-0,95 с. 5.7. В лабюраторной системе отсчета (К-система) пи-мезон с момента рождения до момента распада пролетел расстояние 1= — 75 лг.
Скорость о пи-мезона равна 0,995 с. Определить собственное время жизни т„мезона. 5.8. Собственное время жизни т, мю-мезона равно 2 мкс. От точки рождения до точки распада в лабораторной системе отсчета мю-мезон пролетел расстояние 1= — 6 км. С какой скоростью о (в долях скорости света) двигался мезон? Релятивистское слоссе~ие скоростей 5.9. Показать, что формула сложения скоростей релятивистских частиц переходит в соответствующую формулу классической механики при о«с. 5.10. Две релятивистские частицы движутся в лабораторной системе отсчета со скоростями о,=-0.6 с и о,=0,9 с вдоль одной прямой. Определить их относительную скорость и„в двух случаях: 1) частицы движутся водном направлении; 2) частицы движутся в противоположных направлениях. 5.11.
В лабораторной системе отсчета удаляются друг от друга две частицы с одинаковыми по модулю скоростями. Их относительная скорость и в той же системе отсчета равна 0,5 с. Определить скорости частиц. 5.12. Ион, вылетев из ускорителя, испустил фотон в направлении своего движения.
Определить скорость фотона относительно ускорителя, если скорость о иона относительно ускорителя равна 0,8 с. 5.13. Ускоритель сообщил радиоактивному ядру скорость о,= =-0,4 с. В момент вылета из ускорителя ядро выбросило в направлении своего движения )з-частицу со скоростью о,=0,75 с относительно ускорителя. Найти скорость и„ частицы относительно ядра. 5.14.
Два ускорителя выбрасывают навстречу друг другу частицы со скоростями ~о(==0,9 с. Определить относительную скорость и„ сближения частиц в системе отсчета, движущейся вместе с одной из частиц. Релятивистская масса и релятивисгпский импульс 5.15. Частица движется со скоростью о= — 0,5 с. Во сколько раз релятивистская масса частицы больше массы покоя? 5.16. С какой скоростью о движется частица, если ее релятивистская масса в три раза болыпе массы покоя? 5.17. Отношение заряда движущегося электрона к его массе, определенное из опыта, равно 0,88 10" Кл!кг. Определить релятивистскую массу т электрона и его скорость о.
5.18. На сколько процентов релятивистская масса частицы больше массы покоя при скорости о=30 Мм!с? 5.19. Показать, что выражение релятивистского импульса переходит в соответствующее выражение импульса в классической механике при о«с. 5.20. Электрон движется со скоростью о=0,6 с.
Определить релятивистский импульс р электрона. 5.21. Импульс р релятивистской частицы равен аг,с (гн, — масса покоя). Определить скорость о частицы (в долях скорости света). 5.22. В лабораторной системе отсчета одна из двух одинаковых частиц покоится, другая движется со скоростью о:=0,8 с по направлению к покоящейся частице. Определить: 1) релятивистскую массу движущейся частицы в лабораторной системе отсчета; 2) скорость частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции системы; 3) релятивистскую массу частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции.
5.23. В лабораторной системе отсчета находятся две частицы. Одна частица с массой покоя т, движется со скоростью о — 0,6 с, другая и массой покоя 2т„ покоится. Определить скорость )гс центра масс системы частиц. Взаимосвязь лгассы и энергии '" 5.24. Полная энергия тела возросла на ЛЕ= — 1 Дж. На сколько при этом изменится масса тела? 5.25. Определить, на сколько должна увеличиться полная энергия тела, чтобы его релятивистская масса возросла на Лт — 1 г? 5.26. Вычислить энергию покоя: 1) электрона; 2) протона; 3) а- частицы. Ответ выразить в джоулях и мегаэлектрон-вольтах.
5.27. Известно, что объем воды в океане равен 1,37 10' км'. Определить, на сколько возрастет масса воды в океане, если температура воды повысится на Лг=--1 'С. Плотность р воды в океане принять равной 1,03 10' кг,'м'". 5.28. Солнечная постоянная С (плотность потока энергии электромагнитного излучения Солнца на расстоянии, равном среднему расстоянию от Земли до Солнца) равна 1,4 кВт,'м'". 1. Определить массу, которую теряет Солнце в течение одного года. 2.
На сколько изменится масса воды в океане за один год, если предположить, что поглощается 50 % падающей на поверхность океана энергии излучения? При расчетах принять площадь В поверхности океана равной 3,6 10' км'. Кинетическая энергия релятивистской частицы 5.29. Кинетическая энергия Т электрона равна 10 МэВ. Во сколько раз его релятивистская масса больше массы покоя? Сделать такой же подсчет для протона. * Задачи на эту тему, в условиях которых речь идет о ядерных превращениях, помещены в 4 43. 8! 5.30.
Во сколько раз релятивистская масса протона больше релятивистской массы электрона, если обе частицы имеют одинаковую кинетическую энергию Т=-1 ГэВ? 5.31. Электрон летит со скоростью о=-0,8 с. Определить кинетическую энергию Т электрона (в мегаэлектрон-вольтах). 5.32. При какой скорости о кинетическая энергия любой частицы вещества равна ее энергии покоя? 5.33. Определить скорость о электрона, если его кинетическая энергия равна: 1) Т=-4 МэВ; 2) Т= — 1 кэВ. 5.34.
Найти скорость о протона, если его кинетическая энергия равна: 1) Т==1 МэВ; 2) Т=! ГзВ. 5.35. Показать, что релятивистское выражение кинетической энергии Т вЂ” (т — т,)с' прп с«с переходит в соответствующее выражение классической механики. 5.36. Какая относительная ошибка будет допущена при вычислении кинетической энергии релятивистской частицы, если вместо релятивистского выражения Т=(пг — т,)с' воспользоваться классическим Т вЂ” г?,т,о'? Вычисления выполнить для двух случаев: !) о= =0,2 с; 2) о=-0,8 с. 5.37. Две релятивистские частицы движутся навстречу друг другу с одинаковыми (в лабораторной системе отсчета) кинетическими энергиями, равными их энергии покоя.
Определить: 1) скорости частиц в лабораторной системе отсчета; 2) относительную скорость сближения частиц (в единицах с); 3) кинетическую энергию (в едишщах т,с') одной из частиц в системе отсчета, связанной с другой частицей. Связь энергии реляпшвистской частицы с ее и,ггпггльсолг 5.38. Показать, что выражение релятивистского импульса через кинетическую энергию р=(1гс)7 (2Е,+Т) Т при о«с переходит в соответствующее выражение классической механики. 5.39.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
