Chertov (523131), страница 17
Текст из файла (страница 17)
Определить импульс р частицы (в единицах т,с), если ее кинетическая энергия равна энергии покоя. 5.40. Определить кинетическую энергию Т релятивистской частиды (в единицах т,с'-'), если ее импульс р=т,с. 5.41. Кинетическая энергия релятивистской частицы равна ее энергии покоя. Во сколько раз возрастет импульс частицы, если ее кинетическая энергия увеличится в п=4 раза? 5.42. Импульс р релятивистской частицы равен пг,с. Под действием внешней силы импульс частицы увеличился в два раза. Во сколько раз возрастет при этом энергия частицы: 1) кинетическая? 2) полная? 5.43. При неупругом столкновении частицы, обладающей импульсом р=т,с, и такой же покоящейся частицы образуется составная частица.
Определить: 1) скорость о частицы (в единицах с) до столкновения; 2) релятивистскую массу составной частицы (в единицах т,); 3' скорость составной частицы; 4) массу покоя составной части- цы (в единицах и„); 5) кинетическую энергию частицы до столкновения и кинетическую энергию составной частицы (в единицах т,гд). 5.44.
Частица с кинетической энергией Т=т,с' налетает на другую такую же частицу, которая в лабораторной системе отсчета покоится. Найти суммарную кинетическую энергию Т' частиц в системе отсчета, связанной с центром инерции системы частиц.
$6. МЕХАНИЧЕСКИЕ КОЛЕБАНИЯ Основные формулы Ф Уравнение гармонических колебаний х=-А соз(со(+~р), где .х — смещение колеблющейся точки от положения равновесия; р — время; А, <о, ~р — соответственно амплитуда, угловая частота, начальная фаза колебаний; (н(+<р) — фаза колебаний в момент г. Ф Угловая частота колебаний <о=2пт, илп в=2п Т, где т и Т вЂ” частота и период колебаний. Ф Скорость точки, совершающей гармонические колебания, о =- х = — Аы з1 'п (соР Ч ср). Ф Ускорение прп гармоническом колебании а =х= — Аыс сос (ыр --, '<р), Ф Амплитуда А результирующего колебания, полученного при сложении двух колебаний с одинаковыми частотами, происходящих по одной прямой, определяется по формуле Ас=А -;- А! —; 2А,А,соз(ср,— ~р,), где А, и Ас — амплитуды составляющих колебаяий; ~р, и ср,— их начальные фазы.
Ф Начальная фаза ~р результирующего колебания может быть найдена из формулы 1и ~р =- Л, з~п т1 — ' Л. Мп сс Л, соз чти. Лс соз ср ' Ф Частота биений, возникающих при сложении двух колебаний, происходящих по одной прямой с различными, но близкими по зна- чению частотами т, и т„ — тс ° ° Уравнение траектории точки, участвующей в двух взаимно перпендикулярных колебаниях с амплитудами А„я А, и начальными фазами ф, и ~рс, хс у~ 2ху —., + —.— — сов(~рс — ср ) = з!п'(~рс — ср ). Лс Л', Л1Лэ 1 Если начальные фазы фг и ф, составляющих колебаний одинако- вы, то уравнение траекторчи принимает вид Л, Лд у= — х, или у= — — х, .41 1 т.
е. точка движется по прямой. В том случае, если разность фаз Лгр=<р,— гр,=л/2, уравнение принимает вид А,' А' т. е. точка движется по эллипсу. Ф Дифференциальное уравнение гармонических колебаний ма- териальной точки тх= — йх, или х+ а'х= О, где ~п — масса точки; й — коэффициент квазиупругой силы (и= =- им') .
Ф Полная энергия материальной точки, совершающей гармони- ческие колебания, Е = 1,'.,гпА'-ы' = '~,йл'. Ф Период колебаний тела, подвешенного на пружине (пружин- ный маятник), Т = 2лР~п4, где гп — масса тела; Й вЂ” жесткость пружины. Формула справедлива для упругих колебаний в пределах, в ко- торых выполняется закон Гука (при малой массе пружины в срав- нении с массой тела). Период колебаний математического маятника Т=2лР Гд, где 1 — длина маятника; д — ускорение свободного падения. Период колебаний физического маятника Т =- 2л $' 1.,~с~ = 2л $' У!(тра), где У вЂ” момент инерции колеблющегося тела относительно оси колебаний; а — расстояние центра масс маятника от оси колебаний; Е=-у!(та) — приведенная длина физического маятника.
Приведенные формулы являются точными для случая бесконеч- но малых амплитуд. При конечных амплитудах эти формулы дают лишь приближенные результаты. При амплитудах не более жЗ' ошибка в значении периода не превышает 1 %. Период крутильных колебаний тела, подвешенного на упругой нити, Т = 2л 1/УУг, где у — момент инерции тела относительно оси, совпадающей с упругой нитью; и — жесткость упругои нити, равная отношению упругого момента, возникающего при закручивании нити, к углу, на который нить закручивается. 84 Ф Дифференциальное уравнение затухающих колебаний тх = — йх — гх, или х+ 26х+ оз,'х = О, где г — коэффициент сопротивления; 6 — коэффициент затухания: б==:г'(2т); оз, — собственная угловая частота колебаний" (ы, =- )' К'~и).
Э Уравнение затухающих колебаний х= — А (() соз (сой+гр), где А (() — амплитуда затухающих колебаний в момент г; от — их углоная частота. Ф Угловая частота затухающих колебаний оз.—..— ) с~,'- — 6". Э Зависимость амплитуды затухающих колебаний от времени А (() =А,е-а' где А„ — амплитуда колебаний в момент г — О, Э Логарифмический декремент колебаний л (г) 0 !п А р т ЬТ где А (() и А ((+Т) — амплитуды двух последовательных колеба- ний, отстоящих по времени друг от друга на период. Ф Дифференциальное уравнение вынужденных колебаний тх =- — йх — гх+ Ге соз со(, или х-'-, 26х+ от,'х = ), соз со(, где Е, соз сот — внешняя периодическая сила, действующая на колеблющуюся материальную точку и вызывающая вынужденные колебания; Е„ — ее амплитудное значение; ),=-Е,!и. Э Амплитуда вынужденных колебаний А — ) ))Г(езз с)а)2 с 4бзозе Э Резонансная частота и резонансная амплитуда оз,е, =)'озз — 26а и А„,=),Я26Р'ез,'+ 6').
Примеры решения задач Пример 1. Точка совершает колебания по закону х(г)= =-А соз(езИ-<р), где А — 2 см. Определить начальную фазу <р, если х (0) = — — ) ' 3 см и х (0)(0. Построить векторную диаграмму для момента г=-О. Р е ш е н и е. Воспользуемся уравнением движения и выразим смещение в момент т=О через начальную фазу: х(0)==А соз <р. * В приведенных ранее формулах гармонических колебаний та же величина обозначалась просто ез (без индекса О). 85 Отсюда найдем начальную фазу: х (0) ср = — ашсоз —. А Подставим в это выражение заданные значения х(0) и А: ср= =агссоз( — р' 3/2).
Значению аргумента ( — )с 3'2) удовлетворяют два значения угла; ср,— 5п/6 и ср,=7п/6. Для того чтобы решить, какое из этих значений угла ср удовлетворяет еще и условию х(0)(0, найдем сначала х(/): х(/) = — — ыА з)п(са/+ ср). Подставив в это выражение значение /=0 и поочередно значения начальных фаз срс=бп/6 и ср,=7п,'6, найдем х, (О) = — с/сАьс и х, (О) = '/сАсо.
Так как всегда А>0 н сз>0, то условию х (0)(0 удовлетворяет толь- ко первое значение начальной фазы. а Таким образом, искомая начальная фаза ср — 5пс6. По найденному значению ср постро- им векторную диаграмму (рис. 6.1). /) ах/а с Пример 2. Материальная точка массой т=5 г совершает гармоничес)х/а/ а кие колебания с частотой т=0,5 Гц. с/а/ г Амплитуда колебаний А= — 3 см. Определить: 1) скорость о точки в момент времени, когда смещение х= =1,5 см; 2) максимальную силу Г,„, действующую на точку; 3) полР1сс. 6.! ную энергию Е колеблющейся точ- ки. Р е ш е н и е. 1.
Уравнение гармонического колебания имеет вид х — А соз (са/+ср), (1) а формулу скорости получим, взяв первую производную по времени от смещения: о =- х = бх/с) / = — Аьс з1п (сз/ — ', ср), (2) Чтобы выразить скорость через смещение, надо исключить из формул (1) и (2) время. Для этого возведем оба уравнения в квадрат, разделим первое на А', второе на А'-'сз' н сложим: ссс хс о2 Решив последнее уравнение относительно о, найдем о =- -+ 2пс ) 'А' — х-'. Выполнив вычисления по этой формуле, получим о=-';8,2 см/с. Знак плюс соответствует случаю, когда направление скорости совпадает с положительным направлением оси х, знак минус — когда направление скорости совпадает с отрицательным направлением оси х.
Смещение при гармоническом колебании кроме уравнения (1) может быть определено также уравнением Х==-А 51П (0)г+гр). Повторив с этим уравнением такое же решение, получим тот же ответ, 2. Силу действующую на точку, найдем по второму закону Ньютона: Г.=- та, (3) где а — ускорение точки, ко~орое получим, взяв производную по времени от скорости: а=- т=-~Ь,'й = — Ао'соз(оЫ вЂ” , 'гр), или а=- — 4п-"т'А соз(ы1 — , 'гр), Подставив выражение ускорения в формулу (3), получим Р=.— 4п'т"-тА сох (а1+~р). Отсюда максимальное значение силы Р,„= 4п'т'тА.
Подставив в это уравнение значения величин и, т, т и А, найдем Е,„= 1,49 мН. 3. Полная энергия колеблющейся точки есть сумма кинетической и потенциальяой энергий, вычисленных для любого момента вре- мени. Проще всего вычислить полную энергию в момент, когда кинети- ческая энергия достигает максимального значения. В этот момент потенциальная энергия равна нулю. Поэтому полная энергия Е колеблющейся точки равна максимальной кинетической энергии Г,„; Е =-. т,„= '(,тс„',,,„. (4) Максимальную скорость определим из формулы (2), положив соз (ы1+~р)=-1: о,„=2птА. Подставив выражение скорости в фор- му.чу (4), найдем Е=-2п'тч'А-'.
Подставив значения величин в эту формулу и произведя вычисления, получим Е= 2 (3,14)' 5.10 '(0,5)'.(3 10 ')-' Дж=22,1 10 ' Дж, или Е=22,1 мкДж. Пример 3. На концах тонкого стержня длиной (=-1 м и массой т,= — 400 г укреплены шарики малых размеров массами т,=-200 г и т'==-300 г. Стержень колеблется около горизонтальной оси, перпен- дикулярной стержню и проходящей через его середину (точка О на рис. 6.2). Определить период Т колебаний, совершаемых стержнем. Р е ш е н н е. Период колебаний физического маятника, каким является стержень с шариками, определяется соотношением Т=2п)г 1/(шй(с), (1) где 1 — момент инерции маятника относительно оси колебаний; гп — его масса; 1с — расстояние от центра масс маятника до оси.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
