И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 25
Текст из файла (страница 25)
й 6Л. ПРИМЕИЕИИЯ ТЕОРЕМЫ О ЦИРКУЛЯЦИИ ВЕКТОРА В Рассмотрим несколько практически важных примеров, иллюстрирующих эффективность использования теоремы о циркуляции при расчете поля В, а затем обсудим, насколько универсален этот способ расчета. Пример 1. Магнитное поле прямого тока. Пусть постоян- 141 ный ток 1 течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиусом а. Найти индукцию В поля снаружи и внутри провода. Из симметрии задачи следует, что линни вектора В в данном случае должны иметь вид окружностей с центром на оси / / г 1 1т г 61 и 1 / / 0 и Рнс. 66 Рнс.
6.7 провода. Причем модуль вектора В должен быть одинаков во всех точках на расстоянии г от оси провода. Поэтому по теореме о циркуляции вектора В для круглого контура Г, (рис. 6.6) В ° 2лг = Рь/, откуда следует, что вне провода В = ( и /2п) 1/г (г «) о). (6.1В) Заметим, что решение этого вопроса непосредственно (с помощью закона Бно — Савара) оказывается гораздо более сложным.
Внутри провода из тех же соображений симметрии следует, что линии вектора В являются тоже окружностями. По теореме о циркуляции вектора В для круглого контура Гг (см. рис. 6.6) 2 В ° 2пг = Рь/„где 1, = 1(г/а) — ток, охватываемый данным контуром. Отсюда мы находим, что внутри провода В =(ц,/2п) /г/от (г ( а). Зависимость В (г) показана графически на рнс. 6.7. Если провод имеет вид трубки, то снаружи иидукция В определяется формулой (6.18), а внутри — магнитное поле отсутствует.
Это также легко показать с помощью теоремы о циркуляции вектора В. Пример 2. Магнитное поле соленоида. Пусть ток 1 течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность цилиндра. Такой обтекаемый током цилиндр называют с о л ен о и д о м. Пусть на единицу длины соленоида приходится и витков проводника. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида можно приближенно заменить замкнутым витком. Будем также предполагать, что сечение проводнниа настолько мало, что ток в соленоиде можно считать текущим по его поверхности. Опыт и расчет показывают, что чем длиннее соленоид, тем меньше нндукцня магнитного поля снаружи него. Для бесконечно длинного соленоида магнитное поле снаружи отсутствует вообще. Рис.
6.9 Рнс. 8.8 Из соображений симметрии ясно, что линии вектора В внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор В составляет с направлением тока в соленоиде правовинтовую систему. Уже то, что мы выяснили относительно конфигурации магнитного поля соленоида, подсказывает выбрать прямоугольный контур так, как показано на рис. 6,8, Циркуляция вектора В по данному контуру равна Вй и контур охватывает ток пВ.
Согласно теореме о циркуляции В( = р,пВ, откуда следует, что внутри длинного соленоида В = и,л~ (6.26) т. е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида, но этим при расчетах зачастую пренебрегают). Произведение и( называют ч и с л о м а м п е р в и т ко в. При а=2000 витков/м и /=2 Л магнитное поле внутри соленоида В = 5 мТл. Пример 3. Магнитное поле торонда. Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора (рис.
6.9). Из соображений симметрии нетрудно понять, что линии вектора В должны быть окружностями, центры которых расположены на оси 00' тороида. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей. Если контур расположен внутри тороида, он охватывает ток ЛЧ, где г( — число витков в тороидальной катушке; ( — ток в проводе.
Пусть радиус контура г, тогда по теореме о циркуляции В ° 2пг = рэ)У), откуда следует, что внутри тороида В = (и,У2п) ИУ . (6.21) Из сравнения (6.21) с (6.18) видно, что внутри тороида ИЗ магнитное поле совпадает с полем прямого тока 111, текущего вдоль оси 00'. Устремив Ф и радиус тороида 11 к бесконечности (при неизменном сечении тороида), в пределе получим выражение (6.20) для магнитного поля бесконечно длинного соленоида. Если выбранный нами круглый контур проходит вне торонда, то токов ои не охватывает, поэтому для такого контура В 2яг = О. Это значит, что вне тороида магнитное поле отсутствует. В предыдущих рассуждениях предполагалось, что линии тока лежат в меридиональных плоскостях, т.
е. в плоскостях, проходящих через ось 00' тороида. У реального тороида линии тока (внтки) не лежат строго в этих плоскостях, поэтому имеется составляющая тока вокруг оси 00'. Эта составляющая создает дополнительное поле, аналогичное полю кругового тока. Пример 4. Магнитное поле плоскости с током. Рассмотрим безграничную проводящую плоскость, по которой течет равномерно распределенный ток одного направлении. На рис.
В 6.10 показан след такой плоскости с током, текущим за плоскость рисунка (что отмечено крестиками). Введем понятие л и и е й н о й плотности тока как вектор й направленный вдоль линий тока. Модуль этого вектора представляет собой ток, приходящийся на единицу длины, которая играет роль «по- д перечного сечеиияь. Разбив мысленно плоскость с током на тонкие нити с током, нетрудно сообразить, Рис. 6ЗО что результирующее поле В будет направлено параллельно плоскости, причем справа от плоскости — вниз, слева — вверх (рис. 6.10). Эти направления легко установить по правилу правого винта. Для определения индукции поля В воспользуемся теоремой о циркуляции вектора В.
Зная, как расположены в этом случае линии вектора В, выберем контур в виде прямоугольника 1234 (рис. 6.10). Тогда по теореме о циркуляции 231 = рс!1, где 1 — длина стороны контура, параллельной плоскости с током. Из последнего равенства находим: (в.22) Из полученной формулы видно, что магнитное поле как с одной стороны плоскости, так и с другой является однородным. Этот результат справедлив и для ограниченной пластины с током, ио лишь для точек вблизи пластины и удаленных от ее краев. Общие соображения.
Результаты, полученные в рассмотренных примерах, можно было бы найти и непосред- 144 ственно с помощью закона Био — Савара. Однако теорема о циркуляции позволяет получить эти результаты значительно проще и быстрее. Вместе с тем легкость, с которой был проведен расчет поля в этих примерах, не должна создать у читателя ошибочного впечатления о силе метода, основанного на применении теоремы о циркуляции. Как и в случае теоремы Гаусса для электрического поля, число задач, легко решаемых с помощью теоремы о циркуляции вектора В, к сожалению, тоже весьма ограничено. Достаточно сказать, что уже для такой симметричной конфигурации тока, как круговой виток, теорема о циркуляции оказывается беспомощной. Здесь конфигурация магнитного поля, несмотря на вроде бы хорошую симметрию, не позволяет, однако, найти необходимый для расчета простой контур, и задачу приходится решать другими способами, гораздо более громоздкими.
6 6.6. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ФОРМА ОСНОВНЫХ ЗАКОНОВ МАГНИТНОГО ПОЛЯ (6.23) Хг.в = О, т. е. дивергенция полл В всюду риони нулю. Это означает, повторяем, что магнитное поле не имеет источников (магнитных зарядов). Магнитное поле порождают не магнитные заряды (которых в природе иет), а электрические токи. Закон (6.23) является фундаментальным: ои справедлив не только для постоянных, на и для переменных магнитных полей. Ротор поля В. Важное свойство магнитного поля, которое выражает теорема о циркуляции вектора В, побуждает представить и эту теорему в дифференциальной форме, расширяюшей ее возможности как инструмента исследования и расчета. С этой целью рассмотрим отношение циркуляции вектора В к плошади 5, ограниченной контуром.
Оказывается, это отношение стремится к некоторому пределу орн 5 О, причем этот предел зависит от ориентации контура в данной точке пространства. Ориентация контура задается вектором п нормали к плоскости ионтура, причем направление п связано с направлением обхода па контуру правилом правого винта.
Предел, получаемый при указанной операции, представляет собой скалярную величину, которая ведет себя как проекция некоторого вектора на направление нормали п к плоскости контура, по которому берется циркуляция. Этот вектор называют ротором поля В и обозначают символом го1 В. Таким образом, $вб! !'ип = (го1 В)„ з о (6.24] !46 Дивергенция поля В. Теорема Гаусса (6.!4) для поля В в дифференциальной форме имеет вид е, е„ е, 47 Х В = д/дх д/ду д/дг, В„ В„ В, (6.26) где е,, ею е, — орты осей декартовых коордиаат. Данное выражение справедливо для ротора не толька поля В, но и для любого другого векторного поля, в частности и для поля Е.
Обратимся теперь к теореме о циркуляции вектора В. Согласна (6.24) уравнение (6.17) можно представить в виде (~) вен рпп, = рр)„ 5 р или(т7 Х В)„= Ррг„.Отсюда тгХ В=и) (6.26) Зто и есть дифференциальная форма теоремы о цирнуляцни вектора В.
Видко, что ротор поля В совпадает по нацравлению с вектором )— плотностью тока в данной точке, а модуль з7 Х В равен Нр/. В электростатическом поле циркуляция вектора Е равна нулю, поэтому (6.27) Векторное пале, ротор ° которого всюду равен нулю, является потенциальным, в противном случае поле является с о л е н о и. да л ь н ы м.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
