И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Значит, электростатическое лале есть понг логенпиальнае, магнитное же лоле — саленаидальное. $6.6. СИЛА АМПЕРА Закон Ампера. Каждый носитель тока испытывает действие магнитной силы. Действие этой силы передается проводнику, по которому заряды движутся. В результате магнитное поле действует с определенной силой на сам проводник с током. Найдем эту силу. Пусть объемная плотность заряда, являюшегося носителем тока (электроны в металле, например) равна р.
146 где справа стоит проекция вектора го1 В на нормаль и. Итак, в каждой точке векторного поля В имеется вектор го1 В, направление и модуль которога связаны со свойствами самого поля в данной точне. Направление вектора го1 В определяется тем направлением нормали п площадки 5, при катарам дастнгаетсн наксимальног значение величины (6,24), явлгпошеесн одновременно модулем вектора го1 В. В математике получают выражение для го( В в координатном представлении, Для наших целей важао другое: оказывается, формально го1 В можно рассматривать как векторное праизнеленне оператора т7 на вектор В, т. е.
как т7 Х В. Мы будем пользоваться последним, более удобным обозначением: оно сразу жс позволяет записать векторное произведение тг Х В с помощью определителя: Выделим мысленно элемент объема д(т проводника. В ием находится заряд — носитель тока, равный р д)т. Тогда сила, действующая на элемент д)/ проводника, может быть записана по формуле (6.!) в виде вт = р(ив) ~'. Так как ! = рп, то (6.26) Если ток течет по тонкому проводнику, то согласно (6.8) ! д)т= 1 д! н (6.29) где д! — вектор, совпадающий по направлению с током и характеризующий элемент длины тонкого проводника.
Формулы (6.28) и (6.29) выражают з а к о н А м п ер а. Интегрируя эти выражения по элементам тока (объемным илн линейным), можно найти магнитную силу, действующую на тот или иной объем проводника или его линейный участок. Силы, действующие на токи в магнитном поле, называютамперовыми или силами Ампера, Пример. Сила взаимодействия параллельных токов. Найти амперову силу, с которой взаимодействуют в вакууме дви параллельнык бесконечно длиннык провода с токами 1, и /ь если расстояние между проводами равно Ь. Расчет сила произведем на единицу длины втой системы. Каждый элемент тока /з находится в магнитном поле тока /и а именно в поле В, = ()св/4п) 21,/Ь согласно (6.)9). Угол между элементом тока /з н вектором В, прямой, поэтому, как следует из формулы (6.29), на единицу длины проводника с током /з действует сила Р,„ = /зВ,, нлн и, 2// (6.30) 4п Ь Для силы, действующей нз единицу длины проводника с током 1,, получается, разумеется, то же выражение.
И последнее. Нетрудно убедиться в том, что токи, одинаково направленные, притягиваются, а противоположно направленные — отталкиваются. Здесь речь идет только о магнитной силе. Не следует, однако, забывать, что кроме магнитной имеется еще и электрическая сила — сила, обусловленная избыточными зарядами на поверхности проводников. Поэтому, если говорить о пол- !4т ной силе взаимодействия между проводами, то оиа может быть как силой притяжения, так и силой отталкивания — все зависит от соотношения магнитной и электрической составляющих полной силы (см. задачу 6.7).
Сила, деиствующая на контур с током. Результирующая амперова сила, которая действует на контур с током в магнитном поле, определяется в соответствии с (6.29) как Г = 1 ф [61, В1, (в.зц р =15п, (в.зэ) где ! — ток; 5 — плошадь, ограниченная контуром; п — нормаль к контуру, наРхс 8.11 ПраВЛЕНИЕ КОтпрОй СВяЗаНО С НаПраВЛЕНИ- ем тока в контуре правилом правого винта (рис. 6.!1). В магнитном отношении элементарный контур с током вполне характеризуется его магнитным моментом р . Довольно кропотливый расчет по формуле (6.31) с учетом малости контура приводит к следующему выражению для силы, действующей на элементарный контур с током в неоднородном магнитном поле: дВ и=р '" дл' (8.33) 148 где интегрирование проводится по данному контуру с током й Если магнитное поле однородно, то вектор В можно вынести нз-под интеграла и задача сводится к вычислению векторного интеграла 1)1 61.
Этот интеграл представляет собой замкнутую цепочку элементарных векторов и1, поэтому он равен нулю. Значит, и Г = О, т. е. срезультирующая амперова сила равна нулю в однородном магнитном поле. Если же магнитное поле неоднородно, то результирующая сила (6.31), вообще говоря, отлична от нуля и в каждом конкретном случае она определяется с помощью выражения (6.31). Для дальнейшего особый интерес представляет случай, когда контур с током плоский и его размеры достаточно малы.
Такой контур с током называют элементарным. Поведение элементарного контура с током удобно описывать с помощью магнитного момента р. Пооп- ределению где р„— модуль магнитного момента контура; дВ/див производная вектора В по направлению нормали и или по направлению вектора р . Последнее выражение аналогично (1.39) для силы, действующий на электрический диполь в электрическом поле. Из формулы (6.33) видно, что, как и в случае электрического диполя: !) в однородном магнитном поле Г=О, ибо дВ/дл=О; 2) направление вектора Г, вообще говоря, не совпадает ни с вектором В, ни с вектором р ; вектор Г совпадает лишь с направлением элементарного лриращения вектора В, взятого в направлении вектора р в месте расположения контура.
Сказанное иллюстрирует рис. б,12, где показаны три расположения контура в магнитном поле прямого тока /,. Здесь же показан и вектор результирующей силы Г, которая действует на контур в каждом случае (полезно самостоятельно убедиться, что это действительно так). 4~ р И вЂ” — О~ Г=д Рис, б.!3 Рис.
бд2 Если нас интересует проекция силы Г на некоторое направление Х, то достаточно записать выражение (б,33) в проекциях на это направление, и мы получим дВ, Р =р дл ' где дВ„/дл — производная соответствующей проекции вектора В опять же по направлению нормали и к контуру (нли по р ). Пример. Пусть элементарный контур с током, имеющий магнитный момент р, расположен перпендикулярно оси симметрии неоднородного магнитного поля, причем вектор р г49 в направлении вектора В. Выберем положительное направление оси Х, как показано на рис. 6.13.
Так как в направлении вектора р,„ приращение проекции В„ будет отрицательным, та Р„ ( О. Значит, вектор Г направлен влево — в сторону, где В больше. Если же контур с током (и вектор р ) повернуть на 90' так, чтобы центр контура совпал с осью симметрии поля В, то в этом положении Е„ = О, а вектор Р будет направлен перпендикулярно осн Х, причем в ту же сторону, что и р . 6 6,7. МОМЕНТ СИЛ, ДЕЙСТВУЮЩИХ НА КОНТУР С ТОКОМ Рассмотрим плоский контур с током Т в о д н о р о ди о м магнитном поле В. Выше (см.
с. 148) мы выяснили, что результирующая сила (6.31), которая действует на контур с током в однородном магнитном поле, равна нулю. А из механики известно, что если результирующая сил, действующих на любую систему, равна нулю, то суммарный момент этих сил не зависит от точки О, относительно которой определяют моменты этих сил. Раз так, можно просто говорить о результирующем моменте амперовых сил в нашем случае. По определению, результирующий момент амперовых сил М=ф [г,бр), (6.36) где г(Г дается формулой (6.29). Если провести расчет по формуле (6.35) — он довольно громоздок и мало интересен, поэтому мы не будем его приводить,— то оказывается, что для произвольной формы контура с током этот момент сил можно представить как (6.36) где р — магнитный момент контура с током (для плоского контура р = 15п) и, Из (6.36) видно, что момент М амперовых сил, действующих на контур с током в однородном магнитном поле, перпендикулярен как вектору р, так и вектору В.
Модуль вектора М равен М = рмВ 3!и а, где а — угол между векторами р и В. В тех случаях, когда рмТТ В, " Если виток не плоский, то его магнитный момент р =!)66, гпе интеграл берется по поверхности 3, натянутой на контур с током. Этот интеграл не зависят от выбора поверхности 3, а зависит только от контура, на который она натянута. 1бо момент сил М = О, и нетрудно убедиться в том, что положение контура будет устойчивым. Если р,„(1.
В, то тоже М = О, но такое положение контура является неустойчивым: малейшее отклонение от этого положения приведет к появлению момента сил, стремящегося отклонить контур еще больше от начального положения. Пример. Убедимся в справедливости формулы (6.36) иа простейшем случае примоуголыюго контура с током (рис. 6.! 4).
Как видно из данного рисунка, силы, действующие иа сто. роны а, перпендикулярны им и вектору В, поэтому эти силы направлены горизонтально (па рисунке оии ие показаны) и стремится только растянуть (или сжать) контур. Стороны Ь перпендикулярны В, поэтому иа каждую из иих действует сила Р = гэй. Эти силы стремятся повернуть контур так, чтобы его вектор р,„ оказался сопаправлеипым с вектором В. Стало быть, иа контур действует пара сил, момент которой равен произведению плеча пары а з)п гг на Ь', т.
е. М = !ЬВа Мп и. Учитывая, что аЬ вЂ” это площадь, ограиичеииаи копгурокь и!Ьа = р,„, получим М=Р„,В51пя, что в векторной форме записывается Г как (6.36). Рис. б 14 В заключение необходимо отметить, что выражение (6.36) справедливо н для неоднородных магнитных полей. Надо только, чтобы размеры контура с током были достаточно малы. Тогда влиянием неоднородности на вращающий момент М можно пренебречь. Именно это относится к элементарному контуру с током. Во внешнем неоднородном магнитном поле элементарный контур с током ведет себя аналогично тому, как н электрический диполь во внешнем неоднородном электрическом поле: он будет поворачиваться к положению устойчивого равновесия (при котором р ТТ В) и, кроме того, под действием результирующей силы Г втягиваться туда, где индукции В больше.
й 6.8. РАБОТА ПРИ ПЕРЕМЕЩЕНИИ КОНТУРА С ТОКОМ Когда контур с током находится во внешнем магнит- 151 ном и поле — мы будем предполагать, что оно постоянное, — — на отдельные элементы контура действуют амперовы силы, а поэтому при перемещении контура эти силы будут совершать работу. В этом параграфе мы покажем, что работа, которую совершают амперовы силы прн элементарном перемещении контура с током !, определяется как (6.37) ЬА = 16Ф, где ЙФ вЂ” приращение магнитного потока сквозь контур при данном перемещении. Доказательство этой формулы проведем в трн этапа.
! . Сначала рассмотрим частный случай: контур (рис. 6.15) с подвижной перемычкой длины 1 находится в однородном магнитном поле, перпендикулярном плоскости контура и направленном за плоскость рисунка. На перемычку согласно (6.29) действует амперова сила Е= ПВ. При перемещении перемычки вправо на дх эта сила совершает положительную работу ВА = Г 6х = / В! 6х = ГВ 65, (взв) где с)5 — приращение площади, ограниченной контуром. Для определения знака магнитного потока Ф условцмся всегда брать нормаль и к поверхности, ограниченной контуром, так, чтобы она образовывала с направлением тока в контуре правовинтовую систему (см.
рнс. 6.15), При этом ток У будет всегда величиной положительной. l Поток же Ф может быть как положительным, так и отрицательным. Но в нашем случае как Ф, В,п так и дФ = В с)5 являются величинами положительными (еслн бы поле В было направлено на Рис, б.гв нас илн перемычка перемещалась бы влево, то в обоих случаях дФ = 0). Как бы то нн было, в любом из этих случаев выражение (6.38) можно представить в виде (6.37). 2. Полученный результат справедлив и для произвольного направления поля В.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
