И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Именно квазистационарные токи можно описывать законами постоянного тока, если только их применять к мгновенным значениям величин. А теперь обратимся к процессам разрядки и зарядки конденсатора, предполагая токи в этих процессах квази- стационарными. 124 Разрядка конденсатора. Если обкладки заряженного конденсатора емкости С замкнуть через сопротивление )т, то через него потечет ток. Пусть /, д, (/ — мгновенные значения тока, заряда положительной обкладки и разности потенциалов между обкладками (напряжения).
Считая ток I положительным, когда он течет от положительной обкладки к отрицательной (рис, 5.10), запишем ! — дд/й. Согласно закону Ома для внешнего участка цепи, содержащего сопротивление )с: Л1= и. Учитывая, что /= — дд/б( и (/= д/С, преобразуем предыдущее уравнение к виду дч ч — + — =о. ш лс (5.25) где дс — начальный заряд конденсатора, а т — постоянная, имеющая размерность времени: т= яи.
(5.27) Эту постоянную называют в р е м е н е м р е л а к с ац и и. Из (5.25) видно, что т есть время, за которое заряд конденсатора уменьшается в е раз. 1 Ю Рнс. 5 12 Рнс. 5.11 Рнс. 5.10 Продифференцировав (5.26) по времени, найдем закон изменения тока: 1= — — д= 1сс-ч, оч ,11 с (5.28) где 1с= дс/т — сила тока в момент(= О. 125 В атом дифференциальном уравнении переменные разделяются, н после интегрирования мы получим а=нее "', (5.28) На рис. 5.11 показан графин зависимости !! (!)— заряда на конденсаторе от времени. График зависимости ! (!) имеет такой же вид.
Зарядка конденсатора. Рассмотрим цепь, содержащую последовательно соединенные конденсатор С, сопротивление !е и источник э, д, с. Ж (рис. 5.12). Первоначально конденсатор не заряжен (ключ К разомкнут). В момент ! = 0 ключ замкнули, и в цепи пошел ток, заряжающий конденсатор. Увеличивающиеся заряды на обкладках конденсатора будут все в большей степени препятствовать прохождению тока, постепенно уменьшая его. Теперь ток в цепи будем считать положительным, когда он течет в направлении к положительно заряженной обкладке конденсатора: ! = с(д/с(!. Применим закон Ома для неоднородного участка цепи к участку ! И~2: кг= Ф1 — Фс+ я где под )т понимается полное сопротивление этого участка, включая внутреннее сопротивление источника э.
д. с. Учитывая, что ! = 1)ч/ц! и ср, — ср, = = (/ = д/С, перепишем предыдущее уравнение в виде Гс 59 и — д/С д! я Разделение переменных дает Над я — д/с Рис, 5.13 Проинтегрировав это уравнение с учетом начального условия (!! = 0 прн ! = 0), получим Яс1 (! — ~ ) = — !. откуда д=д (1 — е ч'). (5.291 Здесь д = 5'С вЂ” предельное значение заряда на конденсаторе (при ! - о ), т = )сС. Закон изменения тока со временем г= — =!е н', 59 о (5.30) где !, = и/!с. 125 Графики зависимостей //(1) и 1(1) показаны на рис. 5.! 3.
Задачи ° 5РЕ Сопротивление проводнщей среды. Металлический шар радиусом а окружен концентрической тонкой металлической оболочкой радиусом Ь. 1/ространство между этими электродами заполнено однородной слабо проводящей средой с удельным сопропгвлением р. Найти сопротивление межэлектродного промежутка.
Р е ш е н и е, Выделим мысленно тонкий сферический слой между радиусами г и г + дг. Линии тока во всех точках этого слоя идут перпендикулярно ему, поэтому такой слой можно рассматривать как цилиндрический проводник длиной дг с площадью поперечного сечения 4пг . Воспользовавшись формулой (5.9), запишем йг й// = и —. 4пгт Проинтегрировав это выражение по г от а до Ь, получим ° 5.2. //ва металлических шарика одинакового радиуса а находятся в однородной слабо проводящей среде с удельным сопротивлением р. Найти сопротивление среды между итариками при условии, что расстояние между шариками значительно больше ик размеров.
Р е ш е и и с. Мысленно зарядим шарики + д и — д. Поскольку шарики находятся далеко друг от друга, электрическое поле вблизи поверхности каждого иэ иих определяется практически только зарядом прилегающего шарика, причем его заряд можно считать распределенным равномерно по поверхности. Окружив шарик с положительным зарядом концентрической сферой, непосредственно прилегающей к его поверхности, запишем выражение для тока, протекающего через эту сферу: / = 4яа'/, где / — плотность тока. Воспользовавшись законом Ома (/ = Е/р) и формулой Е = д/4леьа', получим / = 4/ььп Теперь найдем разность потенциалов между шариками: //= е „вЂ” е = 24/4кь,а. Искомое сопротивление /7 ///1 р/2па.
127 Этот результат справедлив независимо от значения диэлектрической проницаемости среды. ° 5.3. Два проводника произвольной формы находятся в безграничной однородной слабо проводящей среде с удельным сопротивлением р и диэлектрической проницаемостью е. Найти значение произведения ЕС для данной системы, где Е— сопротивление среды между проводниками, С вЂ” взаимная емкость проводников при наличии среды. Р е ш е н и е. Зарядим мысленно проводники зарядами + д и — д. Так как среда между ними слабо проводящая, то поверхности проводников являются эквипотеициальными и конфигурация поля такова же, как и при отсутствии среды. Окружим, например, положительно заряженный проводник замкнутой поверхностью 5, непосредственно прилегающей к поверхности проводника, и вычислим отдельно Я и С: ' ~ г-- ~ (~) Р„й5 ее,ф б„а5 и и Р где интегралы взяты по данной поверхности 5.
При вычислении Е был использован закон Ома ) = оЕ, а при вычислении С— теорема Гаусса. Произведение полученных выражений НС = еье/в = ььер. ° 5А. Условия иа границе проводника. Проводник с удельным сопротивлением р граничит с диэлектриком, проницаемость которого е.
В некоторой точке А у поверхности проводника электрическая индукция равна Р, причем вектор 0 направлен от проводника и составляет угол а с нормалью к поверхности. Найти поверхностную плотность зарядов на проводнике и плотность тока вблизи тачки А. Р е ш е н и е. Поверхностная плотность зарядов на проводнике и = Р „= Р соь а. Плотность тока найдем по закону Ома: ) = Е/р. Из уравнения непрерывности (5,5) следует, что нормальные составляющие вектора ) равны, а так как в диэлектрике )„= О (тока нет), то и в проводнике )„= О.
Стало быть, вектор ) в проводнике касателен его поверхности. Это же относится и к вектору Е внутри проводника. С другой стороны, из теоремы о циркуляции вектора Е следует, что тангенциальные составляющие его по разные стороны границы раздела одинаковы, а значит, Е= Е,= Р зщ а/ааь, где Е, — тангенциальная составляющая поля Е в диэлектрикц. Учитывая все зто, получим Е оз)пи 1 р тьер ° 5.5.
Зазор между обкладками плоского конденсатора заполнен последовательно двумя диэлектрическими слоями 1 и 2 толщиной 1, и 1э с проницаемостями е, и еэ и удельными сопротивлениями р, и рэ. Конденсатор находится под постоянным напряжением 1/, причем электрическое поле направлено от слоя 1 к слою 2. Найти поверхностную плотность сгорании~ зарядов на границе раздела диэлектрических слоев.
Р е ш е н и е. Искомая поверхностная плотность зарядов в= 0„— Ры =ее Š— е еЕ,. Для определения Е, и Еэ воспользуемся двумя условиями: из того факта, что 1, = 1зо следует Е,/р, = Е,/рэ и, кроме того, Е,1, + Е 1 = 1/. Решив два последних уравнения, найдем Е, и Еэ. Их подстановка в (!) приводит к следующему результату: е,р, — е,р, р,1, +р,1 Отсюда видно, что о = 0 при е,р, = еэрэ.
° 5.6. Неоднородный проводник. Длинный проводник круглого сечения площадью 3 сделан из материала, удельное сопротивление которого зависит только от расстояния г до оси проводника как р = а/г, где а — постоянная. По проводнику течет ток 1. Найти: !) напряженность Е поля в проводникег 2) сопротивление единицы длины проводника. Р е ш е н и е. !. Напряженность Е поля по закону Ома связана с плотностью тока 1, а 1 — с током 1, поэтому можно записать 1 = ~ 12зг йт =~ [Е/р) 2пг йт. Напряженность Е одинакова во всех точках сечения данного проводника, т. е. не зависит от г.
В этом легко убедиться, взяв прямоугольный контур внутри проводника так, чтобы одна сторона контура совпадала, например, с осью проводника, и затем применив к этому контуру теорему о циркуляции вектора Е. Таким образом, Е можно вынести из-под интеграла и мы получим в результате интегрирования Е = 2па1/Еь. 2. Сопротивление единицы длины проводника можно определить с помощью формулы 12 Ег/1. Поделив обе части З вЂ” 20 129 этого равенства на длину ! участка проводника, к которому относятся Я и Е/, найдем й, = Е//= 2ла/У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
