И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 17
Текст из файла (страница 17)
В этих случаях изменения Ф' определяются всецело только изменениями взаимной энергии Ф' „. В частности, именно так ведет себя энергия системы двух точечных зарядов при изменении расстояния между ними. 3. В отличие от вектора Е энергия электрического поля — величина не адднтивная, т. е. энергия поля Е, являющегося суммой полей Е, и Е„вообще говоря, не равна сумме энергий обоих полей из-за взаимной энергии %'д.
В частности, при возрастании всюду Е в л раз энергия поля увеличивается в л' раз. й 4.в. силы пни идличии диэлпктпикд Электрострикция. Опыт показывает, что на диэлектрик к электрическом поле действуют силы (их иногда называют пондеромоторными). Эти силы возникают и в тех случаях, когда диэлектрик в целом не заряжен. Причиной их возникновения является в конечном счете действие неоднородного электрического поля на дипольные молекулы поляризованного диэлектрика (как известно, на диполи в неоднородном электрическом поле действует сила, направленная в сторону возрастания данного поля), Причем эти силы обусловлены неоднородностью не только макрополя, но и микрополя, создаваемого в основном ближайшими молекулами поляризованного диэлектрика.
Под действием указанных электрических сил поляризованный диэлектрик деформируется. Это явление называют э л е к т р о с т р и к ц и е й. Вследствие электрострикции в диэлектрике возникают механические напряжения. Все это приводит к тому, что на проводник, находящийся в поляризованном диэлектрике, действует не только электрическая сила, зависящая от зарядов на проводнике, но и дополнительная механическая сила со стороны диэлектрика. В общем случае влияние диэлектрика на результирующую силу, испытываемую проводником, не может быть учтено никакими простыми соотношениями, и задача вычисления сил с одновременным исследованием механизма их возникновения, как правило, оказывается весьма сложной. Однако во многих случаях этн силы можно вычислить достаточно просто без детального анализа нх происхождения — с помощью закона сохранения энергии.
Энергетический метод определения сил. Этот метод является наиболее общим. Он позволяет, отвлекаясь от причин возникновения сил, автоматически учитывать все силовые взаимодействия (электрические и механические) и поэтому приводит к правильному результату. Покажем, в чем суть энергетического метода расчета сил. Наиболее просто обстоит дело в случае, когда заряженные проводники отключены от источников напряжения. В этом случае заряды на проводниках остаются постояннымн, н мы можем утверждать, что работа А всех внутренних сил системы при медленных перемещениях проводников и диэлектриков совершается целиком за счет убыли электрической энергии ((7 системы (или ее поля).
Здесь предполагается, что при указанных перемещениях не происходит преобразования электрической энергии в другие формы, или, точнее, считается, что такие преобразования пренебрежимо малы. Таким образом, для бесконечно малых перемещений можно записать 5А = — д)Г),, (4.15) где символ д подчеркивает, что убыль энергии системы должна быть вычислена при постоянных зарядах на проводниках. Уравнение (4.15) является исходным для определения сил„действующих на проводники и диэлектрики в электрическом поле.
Делается это, например, так. Пусть нас интересует сила, действующая на данное тело (проводник нлн диэлектрик). Совершим бесконечно малое поступательное перемещение ох этого тела в интересующем нас направлении Х. Тогда работа искомой силы Г на перемещении бх есть 6А = Р„дх, где Є— проекция силы Г на положительное направление оси Х.
После подстановки последнего выражения для бА в (4.15) и деления на дх полччим (4.16) Следует обратить внимание вот на что. Сила, как известно, зависит только от положения тел и распределения зарядов в данный момент. Она не может зависеть от того, как будет развиваться энергетический процесс в том случае, если система придет в движение под действием сил. А это значит, что для вычисления Е„ по формуле (4.16) нет надобности подбирать такой режим, при котором обязательно все заряды проводников оставались бы постоянными (д = сопз1), Надо просто найти приращение 5%' при условии, что д = сопз1, а это— чисто математическая операция. Заметим, что если перемещения проводить при постоянном потенциале на проводниках, то соответствующий расчет приводит к другой формуле для силы: г„= = + дЮ'/дх), Однако — и это важно — результат расчета Р„по этой формуле или по (4.16) оказывается одинаковым, как и должно быть.
Поэтому мы ограничимся в дальнейшем использованием только формулы (4.16) и будем применять ее для любых условий, включая и такие, где при малых перемещениях д ~= сопз1. Нас это 4~ 99 не должно смущать: производную д((2/дх мы в подобных случаях будем вычислять при д = сопз1. Пример. Найти силу, действующую на одну иэ обкладок плоского конденсатора в жидком диэлектрике, если расстояние между обкладками ее, емкость конденсатора в этих условиях С и на нем поддерживается напряжение К В данном случае прн мысленном раздвнженнн обкладок постоянным оказывается напряжение (/, а заряд д конденсатора меняется (это йидно нз соотношения С = д/Се). Несмотря на это, расчет силы мы будем проводить в предположении, что д = сонэ(, т.
е. по формуле (4.16). Здесь наиболее подходящим выражением для энергии конденсатора явля. ется следующее: -и 9 Ч ат = — = — х, 2С 2ее 5 о Рнс. 4.4 где е — проницаемость диэлектрика, 5 — плошадь каждой обкладки, х— расстояние между ними (х = П). Выберем далее положительное направление осн Х, как показано на рнс. 4.4. Согласно (4.!6) сила, действующая на верхнюю обкладку конденсатора: ав ) ч' Р (1) дх ~ 2еее5 ' Здесь знак минус указывает на то, что вектор т направлен в отрицательную сторону оси Х, т. е. сила имеет характер притяжения. Учитывая, что д = о5 = 05 = ее Е5 и Е = (I//е, преобразуем (1) к виду Отсюда следует, что два точечных заряда д, и ун находящиеся на расстоянии т друг от друга внутри безграничного жидкого или газообразного диэлектрика, взаимодействуют с силой Р„= — С(/'/2)е.
Силы в жидком диэлектрике. Из формулы (1) предыдущего примера видно, что сила взаимодействия обкладок плоского конденсатора в жидком диэлектрике в е раз меньше, чем в вакууме (где е = 1). Этот результат, как показывает опыт, можно обобщиттн при заполнении всего пространства, где есть электрическое поле, жидким илн газообразным диэлектриком силы взаимодействия между заряженными проводниками (при неизменных зарядах на них) уменьшаются в е раз: р= ре/е. (4л 7) Р= —— !4,4,1 (4.18) 4л~о ем т.
е. тоже в е раз меньшей, чем в вакууме. Эта формула выражает закон Кулона для ~очечных зарядов в безграничном диэлектрике. Следует обратить особое внимание на то, что в последнем законе под точечными подразумеваются сторонние заряды, сосредоточенные на микроскопических телах, размеры кОторых малы по сравнению с расстоянием между ними. Таким образом, закон (4.!8) в отличие от закона Кулона в вакууме имеет весьма ограниченную область применения: диэлектрик должен быть однородным, безграничным, обязательно жидким или газообразным, а взаимодействующие тела — точечными в макроскопическом смысле. Интересно, что в однородном жидком или газообразном диэлектрике, заполняющем все пространство, где есть поле, как напряженность Е, так и сила Г, действующая на точечный заряд д, в а раз меньше Е, и Г, при отсутствии диэлектрика.
А это значит, что сила Г, действующая на тОчечный заряд д, определяется в этом случае такой же формулой, как и в вакууме: г = дЕ, (4.19) где Е напряженность поля в диэлектрике в том месте, куда помещают сторонний заряд д. Только в этом случае по силе Г формула (4.(9) позволяет определить поле Е в диэлектрике. Следует обратить внимание, что на сам сторонний заряд — он сосредоточен иа каком-то небольшом теле — будет действовать другое поле — не то, что в самом диэлектрике. И тем не менее, формула (4,!9) дает, как это ни удивительно, верный результат. Поверхностная плотность силы.
Речь пойдет о силе, действующей на единицу поверхности заряженного проводника в жидком или газообразном диэлектрике. Рассмотрим с этой целью плоский конденсатор в жидком диэлектрике. Пусть конденсатор заряжен и отключен от источника напряжения — чтобы заряд конденсатора и поле Е внутри него не менялись при раздвигании обкладок. Вернемся к рис.
4.4. Энергия конденсатора — это энергия поля внутри него. В соответствии с (4.9) она равна %'='/1 Е05х, где 5 — площадь каждой обкладки, х — расстояние между ними (Зх — объем, занимаемый полем). Согласно (4.(6) сила, действую1цая на верхнюю обкладку, Е,= — дК/дх) = — '/«Е05 откуда поверхностная плотность силы ип Е 2 (4.20] Мы получили интересный и важный результат, имеющий общий характер (в жидком или газообразном диэлектрике) . Оказывается, поверхностная плотность силы, действующей на проводник, равна объемной плотности электрической энергии вблизи поверхности. Направлена эта сила всегда по нормали к поверхности, причем наружу проводника (стремясь его растянуть) независимо от знака поверхностного заряда.
Задачи ° 4.1. Энергия взаимодействия. Точечный заряд д находится на расстоянии 1 от безграничной проводящей плоскости, Найти энергию взаимодействия (е' этого заряда с зарядами, индуцированными на плоскости. Р е ш е н н е. Мысленно «заморозим» распределенный по плоскости заряд, и в этик условиях переместим точечный заряд ц в бесконечность. Заряд д при этом будет перемещаться в потенциальном погге, которое эквивалентно полю неподвижного точечного фиктивного заряда — д, расположенного на неизменном расстоянии 1 по другую сторону от плоскости.
И мы сразу можем написать ,г ят = — —— 4ле«21 1 чье пг 4ле, 2й,, ' !02 ° 4.2. Собственная, взаимная н полная энергии. Системи состоит из двух концентрических металлических оболочек радиусими й, и йэ с соответствующими зарядами у, и фг. Найти собственную энергию Ж', и (ее каждой оболочки, энергию (««„взиимодеггсгвил оболочек и полную электрическую энергию ()т данной системы, если Еге ) йо Р е ш е н н е.
Собственная энергия каждой оболочки согласно (4.6) равна дф/2, где Чг — потенциал оболочки, обусловленный только зарядом д на ней, т. е. цг = д/4леэй, где й— радиус оболочки. Таким образом, собственная энергия каждой оболочки Энергия же взаимодействия заряженных оболочек равна заряду у одной из них, умноженному на потенциал ~, который создает заряд другой оболочки в месте нахождения заряда д: И?.ч = д(р В нашем случае(йэ ) )1) В 1 Вчт 4кг кт 4пгь йг Полная электрическая энергия системы 1 ~~ 42 Ч~вт 4пво 1, 2А' 2рт Уг ) ° 4.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
