И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Энергия конденсатора. Пусть д и гр ь — заряд и потенциал положительно заряженной обкладки конденсатора. 91 Согласно формуле (4.4) интеграл можно разбить на две части — для одной н другой обкладок. Тогда )г= '/ (ч,ф„+ ч т ). Так как а = — д ч.,то /н) (т л я — ) /2ДК где а = а е — заряд конденсатора, (/ — разность потенциалов на его обкладках. Приняв во внимание, что С = = а/(/, получим следующие выражения для энергии конденсатора: (4.7) Здесь надо заметить, что эти формулы определяют п о л н у ю энергию взаимодействия: не только энергию взаимодействия зарядов одной обкладки с зарядами другой, но и энергию взаимодействия зарядов внутри каждой обкладки.
А если есть диэлектрик? Мы сейчас убедимся, что формулы (4.6) и (4.7) справедливы и при наличии диэлектрика. С этой целью рассмотрим процесс зарядки конденсатора как перенос заряда малыми порциями й~' с одной обкладки на другую. Элементарная работа, совершенная нами прн этом против сил поля, запишется как ЬА = Г/' ШР = (Ч'/С) ел', где (/' — разность потенциалов между обкладками в мо.
мент, когда переносится очередная порция заряда бд'. Проинтегрировав это выражение по д' от О до д, получим А = д'/2С, что совпадает с выражением для полной энергии конденсатора. Значит, совершаемая нами работа против сил электрического поля целиком идет на создание энергии йт заряженного конденсатора. Кроме того, полученное выражение для работы А справедливо и в том случае, когда между обкладками конденсатора имеется произвольный диэлектрик.
Этим самым мы доказали справедливость формул (4.7) и прн наличии диэлектрика. Все сказанное относится, очевидно, и к формулам (4.6) . 92 э 4.3. ЭНЕРГИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯ 0 локализации энергии. Формула (4.4) определяет электрическую энергию й7 любой системы через заряды и потекциалы. Но, оказывается, энергию Ге' можно выразить также и через величину, характеризующую само электрическое поле,— через напряженность Е.
Убедимся в этом сначала на простейшем примере плоского конденсатора, пренебрегая искажением поля у краев пластин (краевым эффектом). Подстановка в формулу йт=С(/'/2. выражения С = еее5/6 дает ССН ее 5СП ее т О~' Вг = — = — = — ~ — ) 56. 2 2 2 ~Н) А поскольку (//Ь = Е и 5п = )т (объем между обкладками конденсатора), то /но~я ) (4.3) Полученная формула справедлива дл я однородного поля, заполняющего объем Р. В обшей теории доказывается, что энергию йт можно выразить через Е (в случае если диэлектрик и з о т р о пи ы й) по формуле (4.9) плотностью ерЕ~ Ы = 2 2 (4л 0) 93 Подынтегральное выражение в этом уравнении имеет смысл энергии, заключенной в объеме а(т. Это подводит нас к весьма важной и плодотворной физической идее о локализации энергии в самом поле.
Данное предположение нашло опытное подтверждение в области переменных во времени полей. Только там встречаются явления, которые можно истолковать на основе идеи о локализации энергии в поле. Именно переменные поля могут существовать независимо от возбудивших их электрических зарядов и распространяться в пространстве в виде электромагнитных волн. И опыт показывает, что электромагнитные волны переносят энергию — уже это заставляет нас признать, что носителем энергии является само поле.
Из последних двух формул следует, что электрическая энергия распределена в пространстве с объемной Заметим, что эта формула справедлива только в случае бб изотропного диэлектрика, для которого выполняется соотношение Р = кззЕ. Лля анизотропных диэлектриков дело обстоит сложнее. Еще об обосновании формулы (4.9). Энергия уединенного заряженного проводника, как известно, есть Вг = ккгг2, Рнс. 4.2 Покажем, что это так, исходи из идеи о локализации энергии в поле.
Рассмотрим произвольный положи. тельно заряженный проводник. Выделим мысленно бесконечно малого сечения трубку, ограниченную линиями вектора Е (рнс. 4.2), и в ней возьмем элементарный объем бУ = бб б!. В этом объеме заключена энергия — Мб!= — Еба Е!) 0Ы 2 2 Теперь найдем энергию, локализованную во всей выделенной нами трубке. Для этого проинтегрируем последнее выражение, учитывая, что произведение (У 45 одинаково во всех сечениях трубки, и поэтому его можно вынестн за знак интеграла: б 97 = — ~ Е й! = ~р, Обб г (Убб 2 ~ 2 л где А — начало трубки.
Остается сделать последний щаг — проинтегрировать полученное выражение по всем трубкам, и ны найдем энергию, локализованную во всем поле. Принимая во внимание, что потенциал и одинаков у торцов всех трубок (они ведь начинаются на поверкности проводника), запишем где интегрирование проводится по замниутой поверхности, соипадающей с одной из эквипотенциальных поверхностей. По теореме Гаусса этот интеграл равен заряду д на проводнике, и мы получим окончательно 9' = кгг/2, что и требовалось доказать.
Рассмотрим два примера, иллюстрирующих возможности и преимущества, которые дает использование идеи о локализации энергии в поле. Пример 1. Точечный заряд д находится в центре шарового слоя из однородного диэлектрика с яроницаемостью к. Внутренний и наружный радиусы слоя равны соответственно а и Ь. Найти электрическую энергию, заключенную в данном диэлектрическом слое. Мысленно выделим в диэлектрике очень тонкий концентрический сферический слой радиусом от г до г + бг. Энергия, локализованная в этом слое: еь*Е' бдг = 4пгг зг, 2 где Е = д~/4яеьег~. Проинтегрировав предыдущее выражение по г от а до Ь, получим Пример 2. Найти работу, которую надо совергиигь против электрических сил, чтобы удалить диэлектрическую плистинку из плоского заряженного конденсатора. Предполагается, что заряд у конденсатора остается неизменным и диэлектрик заполняет все пространство между обкладками.
Емкость конденсатора бгз диэлектрика равна С. Работа против электрических снл в этой системе пойдет на приращение ее электрической энергии: А = Л Ю = %7, — Вг,, где 77, — энергия поля между обкладками конденсатора прн наличии диэлектрика; 1че — то же, но прн отсутствии диэлектрика. Имея в виду, что модуль вектора П не изменится в результате извлечения пластины, т. е. Рг = Р, = о, запишем где Рех д'Г А= Вге — Вг,=~— 2еь 2еье) 2С т, е)' где 1г= 56 н С= ее5/й; Я н Д вЂ” плошадь каждой обкладки н расстояние между ними. Работа поля при поляризации диэлектрика.
Анализируя формулу (4.10) для объемной плотности энергии, мы замечаем, что при одном и том же значении Е величина щ прн наличии диэлектрика оказывается в е раз больше, чем при отсутствии диэлектрика. Иа первый взгляд это кажется странным: ведь напряженность поля в обоих случаях мы поддерживаем одной н той же. Как мы сейчас увидим, все дело в том, что при создании поля в диэлектрике оно совершает дополнительную работу, связанную с поляризацией. И под энергией поля в диэлектрике следует понимать всю энергию, которую нужно затратить на возбуждение электрического поля, а она склады- вается из собственной электрической энергии и той дополнительной работы, которая совершается при поляризации диэлектрика.
Чтобы в этом убедиться, подставим в (4.10) вместо 0 величину е„Е + Р, тогда Е,Е' ЕР в = — + —. 2 2 ' (4.11) Первое слагаемое здесь совпадает с плотностью энергии поля Е в вакууме. Остается проверить, что «дополнительная» энергия ЕР/2 связана И ! с поляризацией диэлектрика, Подсчитаем работу, кото!=1, -1- рую совершает электрическое поле на поляризацию единицы объема диэлектрика, т. е. на смещение зарядов р ь и р соответственно по и против поля — при возрастании напряженности от Е до Е + г)Е.
Пренебрегая членами второго порядка малости, запишем 6А=р „Еп! +р Ед! где б! „н г)1 — дополнительные смещения при увеличении поля на г)Е (рнс. 4.3). Учитывая, что р = — р получаем 6А=Р (41 — д! ) Е=р' Ш.Е, где д1 = Л.г — г)1 — дополнительное смещение положительных зарядов относительно отрицательных. Согласно (3.4) р г(1= !)Р, и ЬА = Едр. (4.12) Так как Р = ке,Е, то ЬЛ=Е хе 4Е=д( )=4( — ). Отсюда вся работа на поляризацию единицы объема диэлектрика А = ЕР!2, (4.13) что совпадает со вторым слагаемым формулы (4.1!). Таким образом, объемная плотность энергии ш = = Е0/2 включает в себя собственную энергию поля е,Е'/2 и энергию ЕР/2, связанную с поляризацией вещества.
4 4.4. СИСТЕМА ДВУХ ЗАРЯЖЕННЫХ ТЕЛ Представим себе систему из двух заряженных тел в вакууме. Пусть одно тело создает в окружающем пространстве поле Еь а другое — поле Е,. Результирующее поле Е = Е, + Е, и квадрат этой величины Е' = Е', + Е', + 2Е,Е,. Поэтому полная энергия Ж' данной системы согласно (4.9) равна сумме трех интегралов: е„Е', е ееЕее хе=~ д$ +) дУ+~ ееЕ ЕздУ (414) что совпадает с формулой (4.5) и раскрывает полевой смысл входящих в нее слагаемых.
Первые два интеграла в (4.14) представляют собой собственную энергию первого и второго заряженных тел ()р', и йге), последний интеграл — энергию их взаимодействия()р„). Отметим следующие важные обстоятельства в связи с формулой (4.!4). Е Собственная энергия каждого заряженного тела— величина существенно положительная. Положительной является всегда и полная энергия (4.9) — это сразу видно из того, что под интегралом находятся существенно положительные величины. Энергия же взаимодействия может быть как положительной, так и отрицательной. 2. При всех возможных перемещениях заряженных тел, не изменяющих конфигурации зарядов на каждом теле, собственная энергия тел остается постоянной, и поэтому ее можно считать аддитивной постоянной в выражении для полной энергии К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
