И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Тогда (3.10) после сокращения на д)т примет вид р' - — р. (зл !) !+к Отсюда следует, что в однородном диэлектрике р'=О, если р = О. Таким образом, если в произвольное электрическое поле поместить однородный нзотропный диэлектрик какой угодно формы, можно быть уверенным, что при его поляризации появятся только поверхностные связанные заряды, объемные же избыточные связанные заряды во всех точках такого диэлектрика будут равны нулю.
Граничные условия для вектора Р. Рассмотрим поведение вектора Р на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков. Мы только что установили, что у таких диэлектриков объемного избыточного связанного заряда нет и в результате поляризации появляется только поверхностный связанный заряд. Найдем связь между поляризованностью Р и поверхностной плотностью о' связанных зарядов на границе раздела диэлектриков.
Для этого воспользуемся свойст- вом (3.6) поля вектора Р. Возь- л чем в качестве замкнутой поверхности небольшой плоский ци- а дМ линдр, торцы которого расположим по разные стороны границы 1 раздела (рис. 3.3) . Высоту цилиндра будем предполагать ни- та' чтожно малой, а площадь Л5 каждого торца настолько малой, Рис. 3.3 что во всех точках каждого торца цилиндра вектор Р был бы одинаков (это же касается и поверхностной плотности а' связанного заряда).
Пусть п — общая нормаль к границе раздела в данном месте. Условимся всегда проводить вектор и от диэлектрика 1 к диэлектрику 2. Пренебрегая потоком вектора Р сквозь боковую поверхность выбранного нами цилиндра, запишем согласно (3.6): Ры Л5 + Р,„,ЬБ = — а' Ь5, где Р,„и Рьс — проекции вектора Р в диэлектрике 2 на нормаль и и в диэлектрике 1 на нормаль п' (рис. 3.3). Учитывая, что проекция вектора Р на нормаль п' равна с обратным знаком проекции этого вектора на противоположную (общую) нормаль и, т. е, Р;„,= — Рои перепишем предыдущее уравнение после сокращения на Л5 в следующем виде: Ры — Ры = — а'. (3.12) Это значит, что на границе раздела диэлектриков нормальная составляющая вектора Р испытывает разрыв, величина которого зависит от а'. В частности, если среда 2 вакуум, то Ры = О, и условие (3.12) приобретает более простой вид: а'= Р„ (3.13) где Є— проекция вектора Р на внешнюю нормаль к поверхности данного диэлектрика.
Знак проекции Р„определяет и знак поверхностного связанного заряда а' в данном месте. Последнюю формулу можно представить в другом виде, а именно в соответствии с формулой (3.5) можно записать: а' = иииЕ„ (3.14) где Е„ — проекция вектора Е (внутри диэлектрика вблизи от его поверхности) иа внешнюю нормаль.
Здесь также знак Е „определяет знак а'. и > $3еи ВЕКТОР 0 Теорема Гаусса для поля вектора О. Поскольку источниками поля Е являются все электрические зарнды— сторонние и связанные, теорему Гаусса для поля Е можно записать так: Едз(4+4)рр (3.13) где д и д' — сторонние и связанные заряды, охватываемые поверхностью Я. Появление связанных зарядов р7' усложняет дело, и формула (3.15) оказывается малополезной для нахождения поля Е в диэлектрике даже при «достаточно хорошей» симметрии.
Действительно, эта формула выражает свойства неизвестного поля Е через связанные заряды е)', которые в свою очередь определяются неизвестным полем Е. Это затруднение, однако, можно обойти, если выразить заряд д' через поток вектора Р по формуле (3.6), Тогда выражение (3.15) можно преобразовать к такому виду: С)Р ( е„Е + Р) д 3 = д,„„,.
(3.13) Величину, стояшую под интегралом в скобках, обозна- чают буквой О. Итак, мы нашли вспомогательный вектор 0: (3.17) 0=е Е+Р, поток которого сквозь произвольную замкнутую поверх- ность равен алгебраической сумме сторонних зарядов, охватываемых этой поверхностью: е и ф О33=4,„е„. (здв) Замечание о поле вектора Р. Соотношения (3.6) и (3.13) нередко дают основание ошибочно думать, что поле вектора Р зависит только от связанных зарядов. На самом деле это не так. Г!оле вектора Р, как н поле Е, зависит от в с е х зарядов, как связанных, так и сторонних, об этом говорит хотя бы уже тот факт, что векторы Р и Е связаны друг с другом соотношением Р = хе,Е.
Связанные заряды определяют не поле вектора Р, а лишь поток этого вектора сквозь замкнутую поверхность 5. Более того, этот поток определяется не всеми связанными зарядами, а только теми, которые охватывает поверхность 5. Это утверждение называют т е о р е м о й Г а у с с а для поля вектора О. Заметим, что вектор 0 представляет собой сумму двух совершенно различных величин: е,Е и Р. Поэтому он действительно вспомогательный вектор, не имеющий какого-либо глубокого физического смысла. Однако свойство поля вектора 0, выражаемое уравнением (3.18), оправдывает введение этого вектора: во многих случаях он значительно упрощает изучение поля в диэлектриках*, Соотношения (3.17) и (3.!8) справедливы для любого диэлектрика, как изотропного, так и анизотропного.
Как видно из выражения (3,17), размерность вектора 0 та же, что и вектора Р. Единицей величины 0 служит кулон на квадратный метр (Кл/м') . Дифференциальная форма уравнения (3,18): (3.19) т. е, дивергенция поля вектора 0 равна объемнон плотности стороннего заряда в той же точке. Это уравнение можно получить из (3.18) тем же спсобом, как это было проделано в случае поля Е (см. с. 21!. Достаточно в проводимых там рассуждениях заменить Е на 0 и учесть лишь сторонние заряды. В тех точках, где дивергенция 0 положительна, мы имеем н с т о чн и к и поля 0 (р ) О), а в тех точках, где она отрицательна, — с т ок и поля 0(р ( О).
Связь между векторами 0 и Е. В случае изотропных диэлектриков поляризованность Р = и в,Е. Подставив это соотношение в (3.17), получим 0 = е, (! + н) Е, или 0 = е,еЕ. (3.20) где е — диэлектрическая проницаемость вещества; в = 1 + х. (3.21) Диэлектрическая проницаемость и (как и х) является основной электрической характеристикой диэлектрика, Для всех веществ в) 1, для вакуума е = 1.
Значения в зависят от природы диэлектрика и колеблются от величин, весьма мало отличающихся от единицы (газы) до нескольких тысяч (у некоторых керамик). Большое значение и имеет вода (и = 81). Величину 0 часто называют электрическим смешением или электрической индукцией, однако мы не будем пользоваться этими терминами, чтобы лишний раз подчеркнуть вспомогательный характер вектор а О. 71 Из формулы (3.20) видно, что в изотропных диэлектриках вектор 0 коллцпеарен вектору Е, В анизотропных же диэлектриках эти векторы, вообще говоря, не коллинеарны. Поле вектора 0 наглядно можно изобразить с помощью линий вектора О, направление и густота которых определяются точно так же, как и для линий вектора Е.
Линии вектора Е могут начинаться и заканчиваться как на сторонних, так и на связанных зарядах; мы говорим, что источниками и стоками поля Е являются л юб ы е заряды. Источниками же и стоками поля вектора 0 являются только с т о р о и н и е заряды: только на них могут начинаться и заканчиваться линии вектора О. Через области поля, где находятся связанные заряды, линии вектора 0 проходят не прерываясь. Замечание о поле вектора О. Ноле вектора 0 зависит, вообще говоря, как от сторонних, так и от связанных зарядов (как и поле вектора Е). Об этом говорит уже соотношение 0 = е,еЕ. Однако в некоторых случаях поле вектора 0 определяется только сторонними зарядами. Именно для таких случаев вектор 0 является особенно полезным.
Вместе с тем это дает повод довольно часто ошибочно думать, что поле 0 якобы зависит всегда только от сторонних зарядов и неверно трактовать законы (3.18) и (3.19). Эти законы выражают только определенное свойство поля вектора О, само же поле этого вектора они не определяют. Проиллюстрируем вышесказанное на нескольких примерах.
Пример 1. Точечный сторонний заряд д находится е центре шара радиусом а иэ однородного иэотропного диэлектрика проницаемости е. Найти напряженность Е поля как функцию расстояния г от центра данного шара. Симметрия системы позволяет для решения интересующего нас вопроса использовать теорему Гаусса для вектора О (воспользоваться аналогичной теоремой для поля Е здесь не представляется возможным, поскольку нам ие известен связанный заряд). Для сферы радиусом г с центром в точке нахождения заряда д можно записать: 4лт'Р, = д, Отсюда находим Р, и по формуле (3.20) искомую напряженность Е: ! е ! д Е, (т ( а) = —, Е (т ) а) = — —.
4леь ет 4ле тэ Графики зависимостей Р (т) н Е (т) показаны на рнс. 3.4. Пример 2, Пусть система состоит из точечного заряда а ) 0 и произвольного куска однородного изотропнога ди- электрика (рис. 3.6), еде 5 — некоторая замкнутая поверхность. Выясним, что произойдет с полем векторов Е и Р, а также с их потоками сквозь поверхность 5, если диэлектрик удалить. В любой точке пространства поле Е обусловлено как зарядом й д, так и связанными зарядами по- Г ляризованного диэлектрика.
Так как в нашем случае 0 = тьеЕ, то это относится и к полю вектора 0: оно также определяется как сто- й г ранним зарядом д, так и связанными зарядамн диэлектрика. Удаление диэлектрика приведет к изменению поля Е, а Рис. ЗЛ значит, и поля Р.
Изменится и поток вектора Е сквозь поверхность 5, так как внутри этой поверхности исчезнут отрицательные связанные заряды. Поток же вектора 0 сквозь поверхность 5 остается прежним, несмотря на изменение самого поля Р. Пример 3. Рассмотрим систему, в которой кет сторонних зарядов, ко имеются только связанные заряды. Такой системой может быть, например, шар из электрета (см. сноску на с. 63). На рис.
3.6, а показано пале Е такой системы. Что можно сказать о соответствующем поле вектора Ру '.2 Я~ г)онооР б) бонов Г а) Рис. 3.3 Рис. 3.6 Прежде всего отсутствие сторонних зарядов означает, что нет источников поля 0: линии вектора Р нигде не начинаются и нигде не кончаются. Но поле 0 есть, оно показано на рис. 3.6, б. Вне шара направления линий векторов Е и 0 совпадают, внутри же шара их направления противоположны: здесь соотношение 0 = еееЕ уже несправедливо, и 0 = еьЕ+ Р. Е 3.3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
