И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 10
Текст из файла (страница 10)
0 у, йя Рис. 2ЛО Рис. 2.9 ° 2.2. Система состоит из двух концентрических проводящих сфер, причем на внутренней сфере радиусом й, находится заряд до Кикой заряд дз следует поместить на внешнюю сферу радиусом Ям чтобьч потенциал внутренней сферы стал равным нулю? Как будет зависеть при этом потенциал ~р от расстояния г до центра системы? Изобразить примерный график этой зависимости, если д, ( О. Р е ш е н и е. Запишем выражения для потенциала вне системы(~рц) и в области между сферами(~р): 1 9, + Ча ! о1 еа 4леа где ере — некоторая постоянная. Ее значение легко найти из граничного условия: прис = )г потенциал ~ри — †!. Отсюда ал = Е,/4лЧ,й,.
Из условия ар,()е,) = 0 находим де = — д,йе/йао Зависимость йа (г) будет иметь вид (рис. 2. ! 0): е, ! — й,/й, 4ле г ' ' 4ле ~г й,) ° 2.3. Сила, действующая на поверхностный заряд. Незаряженный металлический шар радиусом )е' поместили во внешнее однородное электрическое поле, в результате чего на поверхности шара появился индунированнечй заряд с поверхностной плотностью о = ое соз 6, где оь — положительная Рис.
2.1! Рнс. 2.!2 постоянная, б — полярньш угол. Найти модуль результируюи!ей электрической силы, которая действует на заряд одного знака. Р е ш е и и е. Согласно (2.5) на элементарную плошадку дЯ действует электрическая сила йр = '/ео Е 45. (!) Из соображений симметрии ясно, что искомая результирующая сила Г направлена по оси Я (рис. 2.!1) и поэтому ее можно представить как сумму (интеграл) проекций элементарных сил (1) на ось Я: 4Р, = 4Р соз О. (2) В качестве площадки Ю целесообразно сразу же взять элемен- тарный пояс, для которого дЯ = 2п/7 з|п б ° Н дй.
Учитывая, кроме того, что Е = о/еь, преобразуем (2) к виду йр, = ( латке/е„) е!и В сое О йв = — ( лией'/ее) сое! О й (сое В). Проинтегрировав это выражение по полусфере (т. е. по соз б от 1 до 0), получим Р = леере/4е ° 2.4. Метод изображений. Точечный заряд д находится на расстоянии ! от безграничной проводящей плоскости. Опре. делить поверхностную плотность зарядов, индуцированных на плоскости как функцию расстояния г от основания перпендикуляра, опущенного из заряда д на плоскость. Р е ш е н и е. Согласно (2.2) поверхностная пяотность зарядов на проводнике связана с электрическим полем вблизи проводника (в вакууме), как о = ееЕ„. Следовательно, задача сводится к нахождению поля Е вблизи проводящей плоскости.
Методом изображений получаем, что в точке Р (рис. 2.12), находящейся на расстоянии г от точки О, поле вблизи плоскости: Е = 2Е, сое а = 2 ч 4ле,л" х Значит, д! в=— 2л (!' + г') где знак минус показывает, что индупнрованный заряд противоположен по знаку точечному заряду ф ! 6 ! ! А -ее 6 Рнс. 2 |4 Рес. 2.|3 ° 2.5. Точечный заряд д находится на расстоянии ! от безграничной проводящей плоскости. Найти работу, котороую совериеит электрическая сила, действующая на заряд д при его медленная удалении на очень больиюе расстояние от плоскости. Р е ш е н и е. По определению работа этой силы при элементарном перемещении бх (рис. 2.13) 6А = Р,ах=в цт йх, 4яео (2х) где выражение для силы получено с помощью метода изображений.
Проинтегрировав это уравнение по х от ( до со, найдем еь г й ет А= — — ~ —, 16пьд ) х' 16ньь1 3 а м е ч а н и е. Попытка решить эту задачу другим способом — через потенциал — приводит к неверному результату (он вдвое отличается от полученного нами). Это связано с тем, что соотношение А = 4(цц — цт) справедливо только для потевциального поля. В системе же отсчета, связанной с проводящей плоскостью, электрическое поле индуцированных зарядов не потенциально: перемещение заряда д приводит к изменению распределения индуцированных зарядов, и их поле оказывается зависящим от времени.
° 2.6. Тонкое проводящее кольцо радиусом й, имеющее заряд д, расположено параллельно проводящей безграничной плоскости на рисстоянии ! от нее, Найти: 1) поверхностную плотность заряда в точке плоскости, расположенной симметрично относительно кольца; 2) потенциал электрического поля в центре кольца. Р е ш е н и е. Легко догадаться, что в соответствии с методом изображений фиктивный заряд — д должен быть расположен на таком же кольце, но по другую сторону проводящей плоскости (рис.
2.14). Действительно, только в этом случае потенциал на средней плоскости между этими кольцами равен нулю, т. е. совпадает с потенциалом проводящей плоскости. Теперь воспользуемся известными нам формулами. 1. Для нахождении о в точке О необходимо согласно (2.2) найти напряженность Е поля в этой точке (рис. 2.14). Выраже.
ние для Е от одного кольца на оси было получено в примере 1 (см. с. 1!), В нашем случае это выражение надо удвоить. В результате 2я (1(т + 1г) 2. Потенциал в центре кольца равен алгебраической сумме потенциалов в этой точке, создаваемых зарядами у и — у: е Ф= — ~ —— ,я- — -) ° 2.7. Три разноименных точечных заряда расположены так, как показано на рис. 2.15, а, где АО — прямой угол, образованный двумя пррводящими полуплоскостями. Модуль каждого заряда равен- ~у), расстояния между ними указаны на рисунке.
Найти: 1) суммарный заряд, индуцированный на проводящих полуплоскостях; 2) силу,. действующую на заряд — д. 58 е у т — — — — — т-у 1 а/2 л ' 0 )е ) , а/2 -- — 4у у 1. Ответ на этот вопрос мы уже получили: — д 2. Сведя систему к четырем точечным зарядам, легко найти и искомую силу как (см. рис. 2.!5, б) 4пт 2ат ° 2.8. Емкость параллельных проводов. Два длинных прямых провода с одинаковым радиусом сечения расположены в воздухе пара лелька друг другу. Расстояние между осями проводов в т( раз больше радиуса сечения каждого провода. Найти емкость проводов на единицу их длины при условии, чта т) )) !.
Р е ш е н и е. Зарядим мысленно оба провода одинаковыми по модулю, но противоположными по знаку зарядами так, чтобы на единицу длины приходился заряд ).. Тогда, по определению, искомая емкость См = Л/(/, (1) и все дальнейшее сводится к нахождению разности потенциалов между проводами. Из рис. 2.16, иа котором показаны графики зависимостей потенциалов ~+ и гр от положительно и отрицательно заряженных проводов, нетрудно понять, что искомая разность потенциалов (/ = (Ь~р„(+ )Лгр ) = 2 (Ь~р !.
(2) Напряженность электрического поля, создаваемого одним из проводов на расстоянии х от его оси, можно легко найти с помощью теоремы Гаусса: Е = й/2яеех. Тогда Ь вЂ” а 2 яеь а 59 Решение. Полу- г плоскости, образующие ут — — 4 угол АОВ, уходят в бесконечность, поэтому нх потенциал ~р = О. Нетруд. но сообразить, что системой, у которой эквипотевциальиые поверхности с гр = О совпадают с провов/ е) дящими полуплоскостями, является та, которая па- рис. 2.15 казана на рис. 2.15, б.
Поэтому действие зарядов, индуцированных на проводящих полуплоскостях, эквивалентно действию фиктивного точечного заряда — д, помещенного в нижний левый угол пунктирного квадрата. где а — радиус сечения провода; Ь вЂ” расстояние между осями проводов. Из (1), (2) и (3) следует, что 5)п и, здесь учтено, что Ь » а. ° 2.9. Четыре одинаковые металлические пластины распо- ложены в воздухе на одинаковом расстоянии Ь друг от друга, причем наружные пластины соединены между собой проводни- 5 2 Рис 2.16 Рнс.
2.17 ком. Площадь каждой пластины 5. Пайти емкость этой системы (между точками 1 и 2, рис. 2ЛУ). Р е ш е н и е. Сообщим пластинам 1 и 2 соответственно заряды дь и — дь. Под действием возникшего между этими пластинами поля рассеяния (краевой эффект) произойдет перемещение заряда в замыкающем проводнике, после чего пластина А зарядится отрицательно, а пластина  — положительно. В пространстве между всеми пластинами возникает электрическое иоле и соответствующее распределение потенциала ~р (рис.
2.18). Заметим, что из симметрии системы следует, что потенциалы в ее середине, а также на наружных пластинах равны нулю. По определению емкость системы в данном случае с= е,115, (1) где (5 — разность потенцкалов между тачками ! к 2, ее н надо найти. Из рис. 2.18 видно, что разность потенциалов между средними пластинами, т. е. (5, вдвое больше разности потенциалов между крайней парой пластин (как слева, так и справа). Это же относится и к напряженности поля: Е = 2Е'.
(2) А так как Е ся о, то мы можем утверждать, что в соответствии с (2) заряд уь на пластине 1 делится на две части: '1э де— на левой стороне пластины ! и '/з у — на правой стороне. Поэтому У = Ей оа/е, = 29 а/Зтс5, н емкость системы (между точками ! и 2) равна Зс„5 С = —. 28 а) й) Рпс. 2.!9 Рис. 2.!8 ° 2.10. Распределение индуцированного заряда.
Точечный заряд д находится между двумя большими параллельными про. водящими пластинами ! и 2, отстоящими друг от друга на рас- стоянии 1. Найти полные заряды д! и ут, наведенные на каждой иэ пластин, если пластины соединены проводом и заряд д расположен на расстоянии 1, от левой пластины ! (рис.
2.19. а). Р е ш е н и е. Воспользуемся принципом суперпозиции. Поместим мысленно на плоскости Р где-то еше такой же заряд д. Ясно, что это удвоит поверхностный заряд иа каждой пластине. Если же на поверхности Р равномерно распределит~ некоторый заряд с поверхностной плотностью а, то электричес- кое поле станет простым для расчета (рнс. 2.!9, 6) Пластины соединены проводом, поэтому разность потен- циалов между ними равна нулю. Отсюда е,„1, + е,.( ! 1,) = о, где Е,„и Ет„— проекции вектора Е на ось Х слева и справа от плоскости Р (рнс. 2.!9, 6). С другой стороны, очевидно, что о= — (о, + о,), где согласно (2.2) а, = есЕьч = есЕ,„и о, = е„Е „= — еьЕ „ (знак минус, так как нормаль п противоположна орту оги Х) Исключив Е„н Е „из этих уравнений, получим е, = — о(! — 1,)/1, о = — а1,/!.
Аналогичный вид имеют и формулы для искомых зарядов у! и дт через заряд д. Решение же этой задачи с помощью метода изображениь весьма затруднительно: необходим бесконечный ряд фиктивных зарядов, располагающихся па обе стороны ат нашего заряда д, и нахождение поля такой системы оказывается слож. иой задачей.
Глава 3 ЭЛЕКТРИЧЕСКОЕ ПОЛЕ В ДИЭЛЕКТРИКЕ ~ ЗЛ. ПОЛЯРИЗАЦИЯ ДИЭЛЕКТРИКА Диэле «трики. Д и э л е к т р н к а м и (или изоляторами) называют вещества, практически не проводящие электрического тока. Это значит, что в диэлектриках в отличие, например, от проводников нет зарядов, способных перемещаться на значительные расстояния, создавая ток. При внесении даже нейтрального диэлектрика во внешнее электрическое поле обнаруживаются существенные изменения как в поле, так и в самом диэлектрике; последнее следует хотя бы из того, что на диэлектрик начинает действовать сила, увеличивается емкость конденсатора при заполнении его диэлектриком и др.
Чтобы понять, почему это происходит, надо прежде всего учесть, что диэлектрики состоят либо из нейтральных молекул, либо из заряженных ионов, находящихся в узлах кристаллической решетки (ионные кристаллы, например, типа )ЧаС!). Сами же молекулы могут быть полярными и неполярнымн. У полярных молекул центр «тяжести» отрицательного заряда сдвинут относительно центра тяжести положительных зарядов, в результате чего они обладают собственным дипольным моментом р.
Неполярные же молекулы собственным дипольным моментом не обладают: у них центры тяжести положительного и отрицательного зарядов совпадают. Поляризация. Под действием внешнего электрического поля происходит п о л я р и з а ц и я диэлектрика. Это явление заключается в следующем. Если диэлектрик состоит из неполярных молекул, то в пределах каждой молекулы происходит смещение зарядов — положительных по полю, отрицательных против поля. ~ели же диэлектрик состоит из полярных молекул, то при отсутствии 62 внешнего поля их дипольные моменты ориентированы совершенно хаотически (из-за теплового движения). Под действием же внешнего поля дипольные моменты ориентируются преимущественно в направлении внешнего поля. Наконец, в диэлектрических кристаллах типа )х(аС1 прн включении внешнего поля все положительные ионы смещаются по полю, отрицательные — против поля Таким образом, механизм поляризации связан с конкретным строением диэлектрика.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
