И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 13
Текст из файла (страница 13)
УСЛОВИЯ НА ГРАНИЦЕ Рассмотрим поведение векторов Е и 0 сначала на границе раздела двух однородных нзотропных днэлектрн- 73 ков. Пусть для большей общности на границе раздела этих диэлектриков находится поверхностный сторонний заряд. Искомые условия нетрудно получить с помощью двух теорем: теоремы о циркуляции вектора Е и теоремы Гаусса для вектора 0: ф Е ун = О, $ Гр ЙБ = 4,„у,р Условие для вектора Е. Пусть поле вблизи границы раздела в диэлектрике ! равно Еь а в диэлектрике 2— Е,. Возьмем небольшой вытянутый прямоугольный контур, ориентировав его так, как показано на рис.
3.7. Рис. 3.7 Рис. 3.8 Стороны контура, параллельные границе раздела, долж- ны иметь такую длину, чтобы в ее пределах поле Е в каждом диэлектрике можно было считать одинаковым, а «высота» контура должна быть пренебрежимо малой. Тогда согласно теореме о циркуляции вектора Е Е„1 + Еуср'= О, где проекции вектора Е взяты на направление обхода контура, указанное на рисунке стрелками. Если на нижнем участке контура проекцию вектора Е взять не на орт т', а на общий орт т, то Еус= — Еп и из предыдуще- го уравнения следует, что Еу, — — Е т. е.
тангенциальная составляющая вектора Е оказывает- ся одинаковой по обе стороны границы раздела (не пре- терпевает скачка). Условие для вектора О. Возьмем очень малой высоты цилиндр, расположив его на границе раздела двух ди- электриков (рис. 3.8). Сечение цилиндра должно быть таким, чтобы в пределах каждого его торца вектор 0 был одинаков. Тогда согласно теореме Гаусса для вектора 0 Еуу„ЛЯ + ууу„, ЬЕ = и Ьз, где и — поверхностная плотность стороннего заряда на границе раздела. Взяв обе проекции вектора 0 на общую нормаль п (она направлена от диэлектрика 1 к диэлект- 74 рику 2), получим Рис= — Рьв и предыдущее уравнение можно привести к виду (3.23) Из этого соотношения видно, что нормальная составляющая вектора Р, вообще говоря, претерпевает скачок при переходе границы раздела.
Однако если сторонние заряды на границе раздела отсутствуют (а= 0),то (3.24) в этом случае нормальные составляющие вектора 0 скачка не испытывают, они оказываются одинаковыми по разные стороны границы раздела. Таким образом, если на границе раздела двух однородных изотропных диэлектриков сторонних зарядов нет, то при переходе этой г.раницы составляющие Е, и Р„ изменяются непрерывно, без скачка. Составляющие же Е„и Р, претерпевают скачок.
Преломление линий Е и Р. Полученные нами условия для составляющих векторов Е и Р на границе раздела двух диэлектриков означают, как мы сейчас увидим, что линии этих векторов испытывают на этой границе излом, преломляются (рис. 3.9) . Найдем соотношение между углами а, и ае Если сторонних зарядов на границе раздела нет, то согласно (3.22) и (3.24) Е„= Е2ч е,Е,„= е,Еьт Из рис 3.9 следует, что 12 а /ь/Е, 1~ 22, Ен/Еы Отсюда с учетом предыдущих условии получаем закон преломления линий Е, а значит, и линий 0: М '"2 гг 1да, е, Это означает, что в диэлектрике с большим значением е линии Е и 0 будут составлять больший угол с нормалью к границе раздела (на рис.
3.9 в,) 3,). Пример. Изобразим графически поля Е и Р у границы раздела двух однородных диэлектриков ! и 2, считая, что ег) в, и что стороннего заряда на этой поверхности нет. Так кзк ез) е,, то согласно (3.25) аз) а, (рис. 339). 75 Далее, из равенства тангенциальной составляющей вектора Е нетрудно сообразить с помощью рис. 3.9, что по модулю Е (Еи лмее Леле Р Рис. 3.10 Рис. 3.9 т. е. линии вектора Е в диэлектрике 7 должны быть гуще, это и показано на рис. 3.10.
Из равенства же нормальных со. ставляющнх вектора 0 также нетрудно заключить, что по модулю Рх) Ри т. е. линии вектора 0 должны быть гуще в диэлетрике 2, Мы видим, что в нашем случае линии вектора Е испытывают преломление н, кроме того, терпят разрыв (из-за наличия связанных зарядов), линии жс вектора 0 испытывают только преломление, без разрыва (так как сторонних зарядов на границе нет).
Условие на границе проводник — диэлектрик. Если среда 7 — проводник, а среда 2 — диэлектрик (см. рис. 3.8), то из формулы (3.23) следует, что (3.26) 0„= щ где п — внешняя по отношению к проводнику нормаль (двойка в индексе здесь опущена, поскольку она не существенна в данном случае). Убедимся в справедливости формулы (3.26). В состоянии равновесия электрическое поле внутри проводника Е = О, значит, и поляризованность Р = О.
А это, в свою очередь, означает согласно (3.17), что и вектор 0 = О внутри проводника, т. е. в обозначениях формулы (3.23) О, = О и Р,„= О. Остается Р,„= о.. Связанный заряд у поверхности проводника. Если к заряженному участку поверхности проводника прилегает однородный диэлектрик, то на границе этого диэлектрика с проводником выступают связанные заряды некоторой плотности о' (напомним, что для однородного диэлектрика объемная плотность связанных зарядов р' = 76 = 0).
Применим теперь теорему Гаусса к вектору Е— аналогично тому, как это было сделано при выводе формулы (2.2). Имея в виду, что на границе раздела проводника с диэлектриком есть как сторонние, так и связанные заряды (и и а'), придем к следующему выражению: Е„= (о + и')/е,. С другой стороны, согласно (3.2б) Е„= 0„/све= а/ее,. Из этих двух уравнений находим: о/в = о + о', откуда (3.27) Видно, что поверхностная плотность а' связанного заряда в диэлектрике однозначно связана с поверхностной плотностью о стороннего заряда на проводнике, причем знаки этих зарядов противоположны. $ з.в, пОле В ОднОРОднОм диэлектРНКе Еще в $2.1 было отмечено, что определение результирующего поля Е в веществе сопряжено с большими трудностями, поскольку мы не знаем заранее, как распределяются индуцированные заряды в веществе.
Ясно только, что распределение этих зарядов зависит от природы и формы вещества, а также от конфигурации внешнего поля Ео. Поэтому в общем случае решение вопроса о результирующем поле Е в диэлектрике наталкивается на серьезные трудности; определение макрополя Е' связанных зарядов в каждом конкретном случае представляет собой, вообще говоря, сложную самостоятельную задачу — универсальной формулы для нахождения Е', к сожалению, нет.
Исключение составляет случай, когда все пространство, где имеется поле Ем заполнено однородным изотропным диэлектриком. Рассмотрим этот случай более подробно. Представим себе заряженный проводник (или проводники) в вакууме — обычно сторонние заряды располагают на проводниках. Как мы уже знаем, в состоянии равновесия поле внутри проводника Е = О, это при определенном и единственном распределении поверхностного заряда а. Пусть в окружающем проводник пространстве создано при этом поле Е,.
Теперь заполним все пространство, где есть поле, однородным диэлектриком. В таком диэлектрике вслед- 77 стане его поляризации появятся только поверхностные связанные заряды и' — на границе с проводником, причем заряды о' однозначно связаны со сторонними зарядами и на поверхности проводника согласно (3.27). Внутри же проводника поле по-прежнему будет отсутствовать (Е = О). Это значит, что распределение поверхностных зарядов (сторонних и + связанных а') на границе раздела проводника и диэлектрика будет подобно прежнему распределению сторонних зарядов (и), и конфигурация результирующего поля Е в диэлектрике останется той же, что и при отсутствии диэлектрика.
Изменится только значение поля в' каждой точке. Согласно теореме Гаусса а + а' = е Е„, где Е„= = О„/ее е = и/ез,, поэтому а+ а' = е/е, (8.28) Но если заряды, создающие электрическое поле, всюду на границе раздела уменьшились в е раз, значит, и само поле Е тоже стало всюду меньше поля Е, во столько же раз; (3.29) Е=Е /е. Умножив обе части этого равенства на еее, получим и и,, (з.зо) поле вектора 0 в рассматриваемом случае не меняется.
Формулы (3.29) и (3,30), оказывается, справедливы и в более общем случае, когда однородный диэлектрик целиком заполняет объем между эквипотенциальными поверхностями поля Ее сторонних зарядов (или внешнего поля). И здесь внутри диэлектрика Е = Е,/е и (У = Ое. В указанных случаях напряженность Е поля связанных зарядов находится в простой связи с поляризованностью Р диэлектрика, а именно Е' = — Р/ее. (3.31) Это соотношение легко получить из формулы Е = Е,+Е', если учесть, что Ее = еЕ и Р = як еЕ. В других случаях, как уже было отмечено, дело обстоит значительно сложнее, и формулы (3.29) — (3.31) становятся не справедливыми.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
