И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Следствия. Итак, если однородный диэлектрик заполняет все пространство, занимаемое полем, то напряженность Е поля будет в е раз меньше напряженности Е, 78 поля тех же сторонних зарндов, но при отсутствии диэлектрика. Отсюда следует, что потенциал ф во всех точках также уменьшается в е раз: в = т /е, (з.зз) где <ре — потенциал поля в отсутствие диэлектрика. Это же относится и к разности потенциалов 4Г = У„/м (з.зз) где (/ь — разность потенциалов в вакууме, без диэлектрика.
В простейшем случае, когда однородный диэлектрик заполняет все пространство между обкладками к о ид е и с а т о р а, разность потенциалов (/ между его обкладками будет в е раз меньше, чем при отсутствии диэлектрика (разумеется, при том же значении заряда д на обкладках). А раз так, то емкость конденсатора (С = с//(/) при заполнение его диэлектриком увеличится в е раз: (3.34) С'= еС, где С вЂ” емкость конденсатора без диэлектрика.
Следует обратить внимание на то, что эта формула справедлива при заполнении всего пространства между обкладками конденсатора и без учета краевых эффектов. Ззкачя ° 3.1. Полнрнзованность диэлектрика н связанный заряд. Точечный сторонний заряд о находится в центре сферического слоя неоднородного изотропного диэлектрика, проницаемость которого изменяется только в радиальном направлении по закону е = а/г, где а — постоянная, г — расстояние от центра системы. Найти объемную плотность р' связанных зарядов как функцию г внутри слоя.
Р е ш е н и е. Воспользуемся уравнением (3.6), взяв в качестве замкнутой поверхности сферу радиусом г, центр которой совпадает с центром системы. Тогда 4пг' Р, = — д' (г), где у'(г) — свнззнный заряд внутри этой сферы. Запишем дифференциал этого выражения: 4п й (/зр ) = — ду Здесь бд' — связанный заряд в тонком слое между сферами один торец ноторого совпадает со средней плоскостью пластины. Пусть площадь сечения этого цилиндра равна 5, тогда РЕ = РЯ, Р = р1, Е = р1/еее (1( а), РБ = РЗа, Р= ра, Е= ра/ее (1> а). Графики функций Е, (х) н ге (х) показаны на рис.
3.11. Полезно убедиться, что график Е,(х) соответствует производной — дц~/дх. 2. Согласно (3.13) поверхностная плотность связанного заряда е — 1 а' = Р„= пе Е„= (е — 1) Ра/е = — Ри > О. е е Этот результат справедлив для обеях поверхностей пластины. Таким образом, если сторонний заряд р - О, то на обеих поверхностях пластины выступит также положительный связанный заряд. Для определения объемной плотности связанного заряда воспользуемся уравнением (3.9), которое в нашем случае будет иметь наиболее простой внд: д Ге — 1 т е — 1 дх дх (, е ) е Р Отсюда видно, что связанный заряд распределен по объему равномерно и имеет знак, противоположный стороннему заряду.
° 3.3. Однородный диэлектрик имеет вид сферического слоя, внутренний и внешний радиусы которого равны а и Ь. Изобразить примерные графики напряженности Е и потенциала ф электрического поля как функции расстояния г от центра системы, если диэлектрику сообщили положительнгнй сторонний заряд, распределеннгнй равномерно: !) по внутренней поверхности слоя; 2) по объему слоя. Р е ш е н и е. !. Воспользуемся теоремой Гаусса для вектора Р, взяв в качестве замкнутой поверхности сферу радиусом г: 4ягей = в, где ц — сторонний заряд внутри этой сферы. Отсюда следует, что Р(г< а) = О, Р(г>а) = д/4яг . Искомая напряженность Е (г ~ а) = О, Е (г > а) = Р/еее.
График зависимости Е(г) показан на рнс. 3.12, а. На этом же рисунке изображен и график зависимости еь от г. График ф(г) должен иметь такой внд, чтобы производная дф/дг, взятая с обратным знаком, соответствовала графику функции Е (г). 81 При этом должно быть учтено и условие нормировки: у- О При г — ь ьь Следует обратить внимание на то, что график р (г) является непрерывным. В местах конечных разрывов функции Е (г) график !Р (г) испытывает лишь изломы. 2.
В данном случае согласно теореме Гаусса 4яг'0 = '/~ (г" — а') р, где р — объемная плотность стороннего заряда. Отсюда ат Е= — =— ее Заде Н Соответствующие графики зависимостей Е(г) и !Р(г) показаны на рис. 3.!2, б. ° 3.4. Сторонние заряды равномерно распределены с объемной плотностью р ) О по шару радиусом а иэ однородного диэлектрика с проницаемостью е. Найти; 1) модуль вектора Е как функцию расстояния г от центра шара, изобразить примерные графики функции Е(г) и потенциала ~Р(г); 2) поверхностную и объемную плотности связанных зарядов. Р е ш е н и е. 1.
Для определения Е воспользуемся теоремой Гаусса для вектора Р, поскольку задано распределение лишь сторонних зарядов: г(а, 4пг'0= /экстр, 0= — г, Е= — = — г, 4 Р Р Р 3 ' ееа Зеео Ра' Р Раз ! ~ а, 4 "0 = '/, "Р, 0 = 3, ' ., Зеь , ' Графики функций Е (г) и гр (г) показаны на рис. 3.13. 2.
Поверхностная плотность связанного заряда ь — ! Ра в' = Р„= — —. е 3 /(ля нахождения объемной плотности связанных зарядов достаточно повторить рассуждения, которые привели нас к формуле (3,11), и мы получим е — ! Р = Р. (!) ь Этот результат можно получить и иначе — с помощью уравнения (3.9). А именно, так как Р = кеьЕ и к не зависит от координат (внутри шара), то р ' = — ~7 ° Р = — кеь ~7 ° Е, где зету ° Е= р+р'. Поэтому р'= — х(р+р'), откуда и следует (1). ° 3.5. Емкость проводника. Найти емкость шарового проводника радиусом а, окруженного примыкающим к нему слоем однородного диэлектрика с наружным радиусом Ь и про- ницаемостью е. Изобразить примерные графики зависимостей поля Е(г) и потенциала гр(г), где г — расстояние от центра шара, если проводник заряжен положительно. г 0 в Ф г 0 в Рис.
3.13 Ряс. 3.14 Р е ш е н и е. По определению емкость С = д/ер. Найдем потенциал гр проводника, мысленно сообщив ему заряд йп ь В= ~ Е, йг = — ~ — Дг+ — ~ — Дг 1 г в 1 г в 4ке ~ еге 4пе ~ ге После интегрирования этого выражения получим: 4ке„е Графики зависимостей Е (г) и ~р (г) показаны иа рис, 3.14. ° 3.6. Емкость конденсатора. Сферический конденсатор с радиусами обкладок а и Ь, где а ( Ь, заполнен изотропным, но неоднородным диэлектриком, проницаемость которого зависит от расстояния г до центра системы как е = а/г, и — постоянная.
Найти емкость такого конденсатора. Р е ш е н и е. Согласно определению емкости конденсатора (С = у/(/) задача сводится к нахождению разности потенциалов (/ при заданном заряде йс ь !Г=~ Ейг, (1) ь где предполагается, что внутренняя обкладка имеет заряд д ) О. Определим Е с помощью теоремы Гаусса для вектора Рм !з ! д ! в 4кгеВ = д, Е = — = — — = — —. ее 4яеь еге 4пе аг ' (!) и со- После подстановки последнего выражения в ответствующего интегрирования найдем: д Ь 4яееа и= 1п —, С= 4яе,и а 1п (Ь/а) ° 3.7.
Теорема Гаусса и принцип суперпозиция. Имеется диэлектрический шар, который сохраняет состояние поляризации после выключения внешнего электрического поля. Если шар поляриэован однородно, то напряженность поля внутри него Е' = = — Р/Зеь, где Р— поляризованность. 1. Получить эту формулу, считая что т а к поляризованный шар есть результат малого сдвига всех положительных зарядов диэлектрика относительно всех л отрицательных зарядов. 2.
Восполь- 1~,Г зовавшись этой формулой, найти напряженность Еь поля в сферической полости внутри безграничного статически поляризованного (Р) диэлектрика, если вдали от полости напряженность в диэлектрике равна Е. Рис. 3.!5 Р е ш е н и е. 1. Представим такой шар в виде двух шаров одинакового радиуса, имеющих равномерно распределенные заряды с плотностями р и — р. Пусть в результате малого сдвига центры шаров сместились относительно друг друга на расстояние 1 (рис. 3.15). Тогда в произвольной точке А внутри шара Е'=Е +Е = — (г — т )= — —, с р! Зе„+ Зеь' где использовано, что напряженность поля внутри равномерно заряженного шара Е = рг/Зеь, это непосредственно следует из теоремы Гаусса.
Остается учесть, что согласно (3.4) р1= Р. 2. Создание сферической полости в диэлектрике эквивалентно удалению шарика нз поляризованного вещества. Поэтому по принципу суперпознции поле Е внутри диэлектрика может быть представлено как сумма Е = Е'+ Еь. Отсюда Е = Š— Е'=- Е+Р/Зе. Т. е. поле в сферической полости больше поля Е в диэлектрике на величину Р/Зе ь. ° 3.8.
Граничные условия. Вблизи точки А (рис. 3.16) грини цы раздела диэлектрик — вакуум напряженность электрического поля в вакууме равна Еь, причем вектор Еь составляет угол ссь с нормалью к поверхности раздела в данной точке. Проницаемость диэлектрика е. Найти отношение Е/Еь, где Е— напряженность поля внутри диэлектрика вблизи точки А. Р е ш е н н е. Напряженность поля внутри диэлектрика Е =.й,'+ Е'„.
84 Воспользовавшись условиями (3.22) и (3.24) иа границе раздела диэлектриков, найдем: Е,=Е„япа, Е„=Р„/ее =Е„/е=Е соьа/е, где Ео„— нормальная составляющая вектора Вь в вакууме. Подставив зти выражения в (1), получим ) соь' а, )' Е,-7 оо т.е. Е(Ео. ° 3.9. Точечный заряд о) накодится в вакууме на расстоянии ! от плоской поверхности однородного диэлектрика, д и й с!о Ео О Рнс. 3.17 Рис. 3.18 заполняюи)его все полупространство. Проницаемость диэлектрика е. Найти: !) поверкностную плотность связаннык зарядов как функцию расстояния г от точечного заряда д, исследовать полученный результат; 2) суммарный связанный заряд на поверкности диэлектрика.
Р е ш е н и е. 1. Воспользуемся непрерывностью нормальной составляющей вектора 0 на границе диэлектрика (рис. 3.17): Ры = Ры, Ео„= еЕы или 1 д а' ! 1 а а' х — — — соь О+ — = е — — — саь Š—— 4к ее то йео ( 4кео то 2ео/ где слагаемое а'/2ео — зто составляющая напряженности поля, создаваемая вблизи рассматриваемого участка плоскости, на котором поверхностная плотность заряда равна а'.
Из последнего уравнения следует, что е — 1 а! о' = — — —. с+ 1 2яг' Здесь учтено, что соь 6= !/г. При 1-ь0 величина а'-ь0, т. е. если заряд е) находится на самой границе раздела, то поверх- 85 постный заряд на плоскости отсутствует. 2. Рассмотрим тонкое кольцо иа границе раздела с центром в точке О (рис. 3.17). Пусть внутренний и внешний радиусы этого кольца г' и г'+ йг'. Поверхностный связанный заряд в пределах данного кольца до' = о' ° 2яг' дг'. Из рисунка видно, что г = 1 + г', откуда г дг = г' дг', и выражение для до' с учетом (1) приобретет вид е — ! йг йд' = — — д! —. е+! д Проинтегрировав это уравнение по г от ! до оь, получим г — 1 в' = — — ч.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
