И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Два небольших металлических шарика радиусими Й, и )1з находятся в вакууме на расстоянии, значительно превышаюгцем их размеры, и имеют некоторый определенный суммарный заряд. При каком отношении д,/дг зарядов на шариках электрическая энергия системы будет минимальной? Какова при этом разность потенциалов между шариками? Р е ш е н и е. Электрическая энергия данной системы ! / 4( вч Ч~!~р Х где йт, и йтэ — собственные электрические энергии шариков (гагр/2); Ч?м — энергия их взаимодействия (д,грз или дтцц); 1— РасстоЯниЯ междУ шаРиками.
Так как дз = Ц вЂ” уо где д — сУммарный заряд системы, то Энергия И? будет минимальной при д(г/ду, = О. Отсюда р, в,~ей й и + 2 где учтено, что 14, и йз значительно меньше 1 и В,/4, = й,/к,. Потенциал каждого шарика (их можно рассматривать как изолированные) гр со д/Й, поэтому из предыдущего равенства следует, что цц = ггэ, т.
е. разность потенциалов при таком распределении равна нулю. ° 4.4. Локализация энергии в поле. Заряд д распределен равномерно по объему шара радиусом й. Полагая диэлектрическую проницаемость всюду равной единице, найти собственную электрическую внергию шара и отношение энергии локализованной внутри шаро, к энергии яте в окружающем пространстве. Р е ш е н н е. Прежде всего найдем с помощью теоремы Гаусса поле внутри и вне шара: г (т~~ й) Ег . (г~~ й). 4 4 4ле йг г 4ле т-" Теперь вычислим собственную электрическую энергию шара: г еоб'~ Г оебгг вг г 1 )(7 = 1Р -1- йт = ~ — 4лгг йг+ ~ — 4лтг йт = — ~ — -(- 1) .
2 2 Злеой 'х 5 о и Отсюда следует, что йт, 1 Здг вт = — —, 4лео бй ' Ф'г 5 Интересно, что отношение (егг/(ее ие зависит от радиуса шара. ° 4.5. Имеется сферическая оболочка, заряженная равномерно зарядом д. В центре ее расположен точечный заряд до, Найти работу электрических сил этой системы при расширении оболочки — увеличении ее радиуса от К! до )ог. Р е ш е н и е. Работа электрических сил равна убыли электрической энергии системы: А = !з', — Ф'г Чтобы найти разность ()г! — (оое, заметим, что при расширении оболочки (рис. 4.5) электрическое поле, а следовательно, и локализованная в нем энергия изменились только в заштри- хованном сферическом слое. Значит, я ео )Р, — йт = ~ — (Ег — Ео) 4лге йт, 2 я) где Е, и Ее — напряженность поля (в заштрихованном слое на расстоянии г от центра системы) до и после расширения оболочки.
С помощью теоремы Гаусса находим ! 4+во ! 4 Е, = — —, Ег= — —. 4лео г' 4лео т' В результате интегрирования получим «(Во+ег2)( 1 1) 3 а м е ч а н и е. Если эту работу искать через потенциал как А = д(гр! — е(ге), где гр — потенциал, создаваемый зарядом де в месте нахождения заряда д, ответ будет другим— неверным. Связано это с тем, что при таком подходе не учитывается та дополнительная работа, которую совершают электрические силы при изменении конфигурации заряда д на расширяющейся оболочке. Рис. 4.5 Рис.
4.6 ° 4.6. Точечный заряд д находится в центре сферического незаряженного проводящего слоя, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно а и Ь. Какую работу произведут электрические силы в данной системе, если заряд в переместить из его первоначального положения через малое отверстие (рис. 4.6) на очень большое рисстояние от сферического слоя2 Р е ш е н и е.
Будем исходить из того, что работа электрических сил равна убыли электрической энергии системы. Последняя же, как известно, локализована в самом поле. Поэтому вопрос сводится, по существу, к выяснению, как изменится само поле в результате этого процесса. Нетрудно сообразить, что поле вокруг заряда д изменится только в сферическом слое с внутренним н наружным радиусами а и Ь. В самом деле, в начальном положении заряда поля здесь не было, а в конечном положении поле в этом слое есть (ведь сам сферический проводящий слой будет находиться далеко от заряда д), Следовательно, искомая работа А = 0 — 1т = — ~ — йФ'.
2 а Имея в виду, что Е= О/4леьт и б'т'= 4лтз бт, получим после интегрирования 4' а — Ь А = — — (О. 8ле аЬ ° 4.7. Работа при раздвижеиии пластин конденсатора. Имеется плоский воздушный конденсатор, площадь каждой обкладки которого равна 3, Какую работу А' против электрических сил надо совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками от х, до хт, если при этом поддерживать 105 неизменным; !) заряд конденсатора, равный о; 2) напряжение на конденсаторе, равное )/? Чему равно приращение электрической энергии конденсатора в обоих случаях? Р е ш е н и е. !.
Искомая работа А'=цЕ,(х,— х,) = — (х,— х), ч' ь где Е, — наприжеиность поля, создаваемого одной обкладкой (Е = и/2еь). Именно в этом поле, перемещается заряд, находищийсн на другой обкладке. Даинаи работа целиком идет иа приращение электрической энергии; Л'т!'= А'. 2.
В этом случае сила, действующаи на каждую обкладку конденсатора, будет зависеть от 'расстояния между ними. Запишем элементарную работу силы, действующей на обкладку при ее перемещении на йх относительно другой обкладки: е,50' йх ЬА'=дЕ йх=— ! 2 х'' где учтено, что д = С)/, Е, = Г//2х и С = сьЯ/х. После ин- тегрировании получим ььйГР г А = — "~ — — — ') ~О. 2 ~х, х) Приращение электрической энергии конденсатора (ь, — С,) гР е„й)Р, 2 2 тх х/ Заметим, что ЛВ'= — А'. Таким образом, раздвигая обкладки, мы совершим положительную работу )против электрических сил), энергия же конденсатора при этом уменьшаетси. Чтобы попить, в чем тут дело, надо обратиться к источнику, поддерживающему неизменной разность потенциалов иа конденсаторе.
Этот источник тоже совершает работу А„„, причем согласно закону сохранения энергии А„„+ А' = Лй?, откуда видно, что Акп = Лй? — А' = = — 2А' «. О. ° 4.8. Силы, действующие между проводниками в диэлектрике. Плоский конденсатор опустили в горизонтальном положении в жидкий диэлектрик с проницаемостью е, который заполнил зазор между пластинами. Ширина зазора и. Затем конденсатор подключили к постоянному напряжению )/. Найти силу /', действуюи)ую на единицу поверхности пластины со стороны диэлектрика.
Р е ш е н и е. Результирующая сила г, которая действует на единицу площади каждой из пластин, может быть представлена как 108 где (ь — электрическая сила, действующая иа единицу площади со стороны другой пластины (оиа представляет собой ие что иное, как силу на единицу площади при отсутствии диэлектрика). В нашем случае )ь = оЕ = от/2ем != !,/м (2) где Š— напряженность поля в месте нахождения одной из пластин, создаваемая зарядами другой пластины. Имея в виду, что о = О = ееь(//Ь, получим после полстановки (2) в (1): Р = !ь (1 — ! /е) = е (е — 1) г (Р/2аг.
Например, при (/= 500 В, й = 1,0 мм и е = 8! (вода) = 7 кПа (0,07 атм). ° 4.9. Сила, действующая на диэлектрик. В цилиндрический конденсатор вводят цилиндрический слой однородного диэлектрика с проницаемостью е, который заполняет практически все пространство мемеду обклидками. Средний радиус обкладок )7, зазор между ними д, причем й « !7. Конденсатор подключен к источнику лосгоннного напряжения (/. Найти силу, втягивающую диэлектрик в конденсатор. Р е ш е и и е.
Воспользовавшись формулой йт = д~/2С для энергии конденсатора, найдем согласно (4.16), что искомая сила дйт! дт дС/дх (тт дС дх 2 С' 2 дх Емкость лаииого конденсатора при условии й « Я определяется формулой для плоского конленсатора, поэтому если диэлектрик адвинут на глубину х, а клина конденсатора (, то ееьх ° 2лй е (! — х) ° 2л!1 е ° 2лй С + — (ьх + ! — х). (2) й и После подстановки (2) в (1) получим Р, = ь„ (е — 1) ~й сР /и. ° 4.10. Конденсатор состоит из двух неподвижньы пластин, имеющих форму полукруга радиусом )7, и расположенной между ними подвижной пластины из диэлектрика с проницаемостью в. Пластина может свободно поворачиваться вокруг оси О (рис.
4.7), ее толщина й, что практически равно расстоянию между неподвижными пластинами. Между пластинами конденсатора поддерживается постоянное напряжение (/. Найти момент сил М относительно оси О, действующий ни подвижную пластину в положении, показанном на рисунке. Р е ш е н и е. Работа, которую совершает момент сил М при повороте пластины на элементарный угол ба, равна убыли электрической энергии системы при о = сопз1 (см. (4.16) ]: 107 М, да = — д()7(е где (Р' = е)~/2С. Поэтому дС/да 2 Се ди' М,= —— (!) да В данном случае С = С, + С„где С, и ф— емкости частей конденсатора без диэлектрика и с диэлектриком. Плошадь сек. тора с углом а определяется как 5 = еегт~/2, поэтому С = е„а!(е/26 + ее (п — а) йе/26.
дС ееес Отсюда — = — (! — е). Подставим да 26 это выражение в формулу (!) и учтем, что С = д/(/, тогда бе е„)Р М,= — — (! — е)= 2 26 ~:,и:..ьм д т:.: э о Рис. 4.7 е йе(/е = — (е — !) — < О. 46 Отрицательное значение М, показывает, что момент этих сил действует по часовой стрелке (против положительного направления отсчета угла а; см. рис, 4.7). Этот момент стремится втянуть диэлектрик внутрь конденсатора.
Заметим, что М, ие зависит от угла а. Однако в положении равновесия, когда а = О, момент М, = О. Это расхождение связано с тем, что при малых углах а нельзя пренебрегать краевыми эффектами, как мы делали прн решении этой задачи. Глава 5 ПОСТОЯННЫЙ ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК й 5.1. ПЛОТНОСТЬ ТОКА. УРАВНЕНИЕ НЕПРЕРЫВНОСТИ !08 Электрический ток.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
