И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 9
Текст из файла (страница 9)
Использование же теоремы единственности весьма облегчает решение ряда электростатических задач. Если решение задачи удовлетворяет уравнению Лапласа (или Пуассона) и граничным условиям, то можно утверждать, что оно является правильным и единственным, иаким бы способом (хотя бы путем дотации) мы ни нашли его. 49 Пример. 77окаватгь нто поле в пустел полости проводника отсутствует.
Г(отенциал е в полости должен удовлетворять уравнению Лапласа (2,9) н на стенках полости принимать какое-то зив. ченне сре. Решение уравнения Лапласа, удовлетворяющее этому условию, можно угадать сразу: Ч~ = <ре. Согласно теореме единственности других решений быть не может. Поэтому Е= — Хтр=о. Метод изображений. Это искусственный метод, позволяющий в ряде случаев (к сожалению, немногих) рассчитать электрическое поле достаточно просто. Рассмотрим идею этого метода на самом простом примере, когда точечный заряд в находится около безграничной проводящей плоскости (рис. 2.7, а). е) Рес. 2.7 Идея метода заключается в том, что мы должны найти другую задачу, которая решается просто и решение которой или часть его может быть использовано.
В нашем случае такой простой задачей является задача с двумя зарядами д и — д. Поле этой системы известно (его зквипотенциали и линии вектора Е показаны иа рис. 2.7, б) . Совместим со средней эквипотенциальной поверхностью (ее потенциал р = 0) проводящую плоскость и уберем заряд — д. Согласно теореме единственности поле в верхнем полупростраистве останется прежним. Действительно, на проводящей плоскости и всюду в бесконечности ~е = О, точечный же заряд в можно рассматривать как предельный случай малого сферического проводника, радиус которого стремится к нулю, а потенциал — к бесконечности. Таким образом, в верхнем полу- пространстве граничные условия для потенциала остались теми же, стало быть, тем жеЬсталось и поле в этой области (рис.
2.7, в) Заметим, что к этому выводу можно прийти, исходя и в) б) 1 нз свойств замкнутой проводящей оболочки (см. $2.4), поскольку оба полупространства, разделенные проводящей плоскостью, в электрическом отношении независимы друг от друга, удаление заряда — о никак не скажется на поле в верхнем полупространстве, оно останется прежним. Итак, в рассматриваемом случае поле отлично от нуля только в верхнем полупространстве, и для вычисления этого поля достаточно ввести фиктивный заряд-изображение д' = — д, противоположный по знаку заряду д, поместив его по другую сторону проводящей плоскости на таком же расстоянии от нее, что и заряд д.
Фиктивный заряд д' создает в верхнем полупространстве точно такое же поле, как и индуцированные заряды на плоскости. Именно это подразумевают, когда говорят, что фиктивный заряд заменяет собой «действие» всех индуцированных зарядов. Надо только иметь в виду, что «действие» фиктивного заряда распространяется лишь на то полупространство, в котором находится действительный заряд д. В другом полупространстве поле отсутствует, Резюмируя, можно сказать, что метод изображений по существу основан на подгонке потенциала под граничные условия: мы стараемся найти другую задачу (конфигурацию зарядов), у которой конфигурация поля в интересуюшей нас части пространства была бы той же, Если это удается сделать с 1 помощью достаточно простых конфигураций, то метод изображений оказывается ! весьма эффективным.
Рассмотрим еше один пример. 1 1 Пример. Точечный заряд о 1 на~одится между двумя прово- дяисими взаимно перпендикуР«. лярными полуплоскостями (рис. 2.8, а). Найти расположение точечных фиктивных зарядов, действие которых на заряд д будет эквивалентно действию всех индучирооанных зарядов на данных полуплоскостях.
Нужно найти систему из точечных зарядов, у которой эквиаотенциальные поверхности с « = 0 совпадали бы с проводящими полуплоскостями. Одним и двумя фиктивными зарядами здесь не обойтись, таких зарядов должно быть три (рнс. 2.8, б). Только при такой конфигурации системы из четырех зарядов можно осуществить необходимую «подгонку» — обеспечить, чтобы иа проводящих полуплоскостях потенциал был равен нулю. Именно эти три фиктивных заряда и создают то же пол< внутри «прямого угла», что и заряды, иидуцнрованные нс проводяших полуплоскостях. Найдя эту конфигурацию точечных зарядов (другую зада. чу), можно затем просто решить ряд других вопросов, например найти потенциал н напряженность поля в любой точке внутри «прямого угла», силу, действуюжую иа заряд д, и др. $2.6. ЭЛЕКТРОЕМКОСТЬ.
КОНДЕНСАТОРЫ Электроемкость уединенного проводника. Рассмотрим какой-либо уединенный проводник, т. е. проводник, удаленный от других проводников, тел и зарядов. Опыт показывает, что между зарядом а такого проводника и его потенциалом р (потенциал на бесконечности мы условились считать равным нулю) существует прямая пропорциональностги ~рею а. Следовательно, д/~р не зависит от заряда а, для каждого уединенного проводника это отношение имеет свое значение. Величину С= д/~р (2.10) называют э л е к т р о е м к о с т ь ю уединенного проводника (сокрашенно е м к о с т ь ю).
Она численно равна заряду, сообшение которого проводнику повышает его потенциал иа единицу. Емкость зависит от размеров и формы проводника. Пример. Дойти емкость уединенного нроводника, имеющего форму шара радиусом )Т. Для этого, как видно из формулы (2.!О), надо мысленно зарядить данный проводник зарядом д н вычислить его потея. пиал ~. Согласно (1.23) потенциал шара Г 4 ! а ф=~ Е,де= — —,дг= — —. 4неь 1 г«4иеь А и й После подстановки полученного результата в (2.10) найдем С = 4неьй. (2Д 1) За единицу емкости принимают емкость такого проводника, потенциал которого изменяется на 1 В при сообщении ему заряда 1 Кл.
Эту единицу емкости называют ф а р а д о м (Ф). Фаран — очень большая величина: емкостью 1 Ф обладал бы уединенный шар радиусом 9 мли. км, что в 1500 раз больше радиуса Земли (емкость Земли С = 0,7 мФ). На практике чаше всего приходится встречаться с емкостями в интервале от 1 мкФ до 1 пФ. Конденсаторы. Если проводник не уединен, то его емкость будет существенно увеличиваться при приближении к нему других тел. Это обусловлено тем, что поле данного проводника вызывает перераспределение зарядов на окружающих телах — появление индуцированных зарядов. Пусть заряд проводника д ) О. Тогда отрицательные индуцкрованные заряды оказываются ближе к проводнику, нежели положительные. Поэтому потенциал проводника, являющийся алгебраической суммой потенциала собственных зарядов и зарядов, индуцированных на других телах, уменьшится прн приближении к нему других незаряженных тел.
А значит, его емкость увеличится. Это позволило создать систему проводников, которая обладает емкостью, значительно большей, чем уединенный проводник, и притом не зависящей от окружающих тел. Такую систему называют к о н д е н с а т о р о м. Простейший конденсатор состоит из двух проводников (обкладок), расположенных на малом расстоянии друг от друга. Чтобы внешние тела не оказывали влияния на емкость конденсатора, его обкладки располагают так относительно друг друга, чтобы поле, создаваемое накапливающимися на них зарядами, было сосредоточено практически полностью внутри конденсатора. Это означает, что линии вектора Е, начинающиеся на одной обкладке, должны заканчиваться на другой, т.
е. заряды на обкладках должны быть одинаковы по модулю и противоположны по знаку (д и — д). Основной характеристикой конденсатора является его емкость. В отличие от емкости уединенного проводника под емкостью конденсатора понимают отношение заряда конденсатора к разности потенциалов между обкладками (эту разность называют напряжением): (2.12) Под зарядом д конденсатора имеют в виду заряд, расположенный на положительно заряженной обкладке. Естественно, емкость конденсатора измеряют также в фарадах.
Емкость конденсатора зависит от его геометрии (размеров и формы обкладок), от зазора между ними и от заполняющей конденсатор среды. Найдем выражения для емкости некоторых конденсаторов, считая, что между обкладками находится вакуум. 53 Емкость плоского конденсатора. Этот конденсатор состоит нз двух параллельных пластин, разделенных зазором шириной И. Если заряд конденсатора д, то согласно (1.11) напряженность поля между его обкладками Е= = о/е,, где а = д/5, 5 — площадь каждой пластины.
Следовательно, напряжение между обкладками () = ЕЬ = 4Ь/Е,з. После подстановки этого выражения в (2.12) получим С= ив/д (2.13) Этот расчет был проведен без учета искажения поля у краев пластин (без учета краевых эффектов). Емкость реального плоского конденсатора определяется полученным выражением тем точнее, чем меньше зазор И по сравнению с линейными размерами пластин. Емкость сферического конденсатора. Пусть радиусы внутренней и внешней обкладок конденсатора равны соответственно а и Ь. Если заряд конденсатора д, то напряженность поля между обкладками определяется по теореме Гаусса: ! Е, = — —,. 4ллп г~ Напряжение на конденсаторе 2 и=~ Е,нг= — '( — — — ). а Отсюда легко видеть, что емкость сферического конденсатора аь С=4 (2.14) 0'ь л' Полезно убедиться, что в случае малого зазора между обкладками, т.
е, при условии Ь вЂ” а « а (или Ь), полученное выражение переходит в (2.13) — в выражение для емкости плоского конденсатора. Емкость цилиндрического конденсатора. Рассуждая так же, как и в случае со сферическим конденсатором, получим 2ллл! С = 1„(Ь/.) (2.15) где ( — длина конденсатора; а н Ь вЂ” радиусы внутренней и наружной цилиндрической обкладок. Здесь так же, как и в предыдущем случае, при малом зазоре между обкладками полученное выражение переходит в (2.13). 54 Вопроса о влиянии среды на емкость конденсатора мы коснемся в 2 3.7. Задачи ° 2Д. О нахождении потенциала.
Точечный заряд д находится на расстоянии г ог центра О незаряженного сферического проводящего слоя, внутренний и наружный радиусы которого равны соответственно а и Ь. Найти потенциал в точке О, если г < а. Р е ш е н и е. В результате электростатической индукции на внутренней поверхности слоя выступят, допустим, отрицательные заряды, а на наружной — положительные (рис. 2.9). Согласно принципу суперпозиции искомый потенциал в точке О можно представить как где первый интеграл берется по всем индуцированным зарядам на внутренней поверхности слоя, а второй интеграл — по всем зарядам на внешней поверхности слоя. Иэ этого выражения следует: Заметим, что так просто потенциал в полости можно найти только в точке О, поскольку только от этой точки все индуцированные заряды одного знака находятся на одинаковом расстоянии и их распределение (нам не известное) не играет роли.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
