И.Е. Иродов 'Электромагнетизм. Основные законы' (510777), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Ничтожная поправка к электрической силе! Но дело в том, что в данном случае магнитная сила — это практически в с я действующая сила, ибо электрические силы исчезли в результате почти идеального баланса отрицательных и положительных зарядов в проводах. Этот баланс намного точнее чем 1О ", и «ничтожная» магнитная сила оказывается, по существу, единственной.
А участие громадного числа зарядов в создании тока компенсирует малость этого члена. Другими словами, избыточные заряды на проводах ничтожно малы по сравнению с суммарным зарядом носителей тока. Поэтому магнитные силы в данном случае намного превосходят электрические силы, действующие на избыточные заряды проводов. $6«Ь ЗАКОН БИΠ— САВАРА Принцип суперпозиция. Опыт дает, что для магнитного поля, как и для электрического, справедлив принцип суперпозиции: магнитное поле, создаваемое несколькими движущимися зарядами или токами, равно векторной сумме магнитных полей, создаваемых каждым зарядом или током в отдельности: (6.6) Закон Био — Савара.
Рассмотрим вопрос о нахождении магнитного поля, создаваемого постоянными электрическими токами. Этот вопрос будем решать, исходя из закона (6.3), определяющего индукцию поля В равномерно движущегося точечного заряда. Подставим в (6.3) вместо д заряд р бУ, где дУ вЂ” элементарный объем, р— объемная плотность заряда, являюшегося носителем тока, и учтем, что ру =) согласно (5.2). Тогда формула (6.3) приобретет следующий вид: 1'о [)г) дк 4л го (вд) Если же ток 7 течет по тонкому проводу с площадью поперечного сечения Л5, то 1 дУ = )лз д! = ! ш, где 61 — элемент длины провода.
Введя вектор д! в направлении тока 1, перепишем предыдущее равенство так: 1 4 У = 1 о(1. (6.8) Векторы ) бУ и ! 61 называют соответственно о б ъ е мным и линейным элементами тока. Произведя в формуле (6.7) замену объемного элемента тока на линейный, получим дв=— 1'о 1) 41, г) 44п го (6.9) Формулы (6.7) н (6.9) выражают з а ко н Б и о — С а- вара. Полное поле В в соответствии с принципом суперпозиции определяется в результате интегрирования выражений (6.7) или (6.9) по всем элементам тока: (влв) Расчет по этим формулам индукции магнитного поля тока произвольной конфигурации, вообще говоря, сложен. Однако расчет значительно упрощается, если распределение тока имеет определенную симметрию, Приведем несколько простейших примеров на нахождение индукции магнитного поля тока.
Пример 1. Магнитное поле прямого тока, т е. тока, теку- щего по тонкому прямому проводу бесконечной длины (рис. 6.3). Согласно (6.9) в произвольной точке А векторы йВ от всех элементов тока имеют одинаковое направление — за плоскость рисунка. Поэтому сложение вскторов оВ можно заменить сложснием их модулей 6В, причем Ню 14!сова 4В=— 4л Из рисунка видно, что о! соз а= г ю)а и г = Ь/соь а.
Поэтому. Н ю ! соз а да дВ =— 4я Ь Интегрируя последнее выражение по вссм элементам тока, что эквивалентно интегрированию по а от — и/2 до п/2, находим Ню 2! В = — —. 4л Ь' (6.11) Пример 2. Магнитное поле на оси кругового тока. 1.1а рис 6.4 показан вектор йВ от элемента тока ! 61, находящегося справа. От всех элементов тока будет образовываться конус векторов дВ, и легко сообразить, что результирующий вектор В в точке А будет направлен вверх по оси 2. Это значит, что для нахождения модуля вектора В достаточно сложить проекции векторов дВ на ось У.
)хаждая такая проекция имсст вид », !6! 4В, = ЬВ соз й = — — соз 6, 4л г' где учтено, что угол между элементом 61 и радиусом-вектором г равен и/2, поэтому синус ранен единице. Интегрируя это выражение по всем о! (это даст 2лю2) н учитывая, что аВ,В Рнс. 6.3 Рнс. 6.4 138 2! 1/2 соз р = й)г и г = ~г + й ), получаем Ьь 2лй'! (г+ Я2) ! !6.! 2) Отсюда следует, что в центре витка с током (г = 0) и иа рас- стоянии г >) й модуль вектора В равен Ьа 2л! Ро 2лЯЧ В, = — —, В, ж — —.
4л Я ' *ил 4л лз (6.13) 4 6.3. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МАГНИТНОГО ПОЛЯ Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами, Эти свойства, связанные также с потоком и циркуляцией векторного поля, и выражают основные законы магнитного поля. Прежде чем перейти к их изучению, несколько слов о графическом представлении поля В. Как и любое другое векторное поле, поле В может быть представлено наглядно с помощью линий вектора В.
Их проводят обычным способом — так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора В, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора В в данном месте. Полученная таким образом геометрическая картина позволяет легко судить о конфигурации данного магнитного поля и сильно облегчает анализ некоторых ситуаций. А теперь обратимся к основным законам магнитного поля — теореме Гаусса н теореме о циркуляции. Теорема Гаусса для поля В. Поток вектора В сквозь любую замкнутую поверхность равен нулю: ф Вез=о. 139 Эта теорема является, по существу, обобщением опыта. Она выражает собой и постулативной форме тот экспериментальный факт, что линии вектора В не имеют ни начала, ни конца.
Поэтому число линий вектора В, выходящих из любого объема, ограниченного замкнутой поверхностью 5, всегда равно числу линий, входящих в этот объем. Отсюда вытекает важное следствие, которым мы будем пользоваться в дальнейшем неоднократно. А именнек поток вектора В сквозь поверхность 5, ограниченную некоторым замкнутым контуром, не зависит от формы по- веркности Я. Это легко понять с помощью представления о линиях вектора В: так как они нигде не прерываются, их число сквозь поверхность 5, ограниченную данным контуром (т.
е. поток вектора В), действительно не должно зависеть от формы поверхности 5. Закон (6.!4) выражает также и тот факт, что в природе нет магнитных зарядов, иа которых начинались бы или заканчивались линии вектора В. Иначе говоря, магнитное поле не имеет источников в противоположность полю электрическому. Теорема о циркуляции вектора В (для магнитного поля постоянных токов в вакууме). 11иркуляиия вектора В по произвольному контуру Г равна произведению (4 на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром Г: ф Вз!=„,Д (влэ) где 1 = ~ 1,, причем 1, — величины алгебраические.
Ток считается положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного направления считается отрицательным, Это правило иллюстрирует рис. 6.5: здесь токи 1, и 1, положительные, ибо их направления связаны с направлением обхода по контуру правилом правого винта, а ток 1, — отрицательный. Теорема о циркуляции (6.)5) может быть доказана исходя из закона Био — Савара. В общем случае произвольных токов это доказательство достаточно кропотливо, и мы не будем приводить его здесь. Мы будем рассматривать утверждение (6.)5) как постулат, подтвержденный экспериментально.
Еще одно замечание. Если ток 1 в (6.!5) распределен по объему, где расположен контур Г, то его можно представить 1,п как Ркс бд 1«о ! =(!! еэ. (6.16) Интеграл здесь берется по произвольной поверхности 5, натянутой на контур Г. Плотность тока ! под интегралом соответствует точке, где расположена площадка 65, причем вектор 4($ образует с направлением обхода по контуру ! 40 правовинтовую систему.
Итак, в общем случае уравнение (6.!5) можно записать так: ф в м = н,$ ) аз = н,~ 1„о5. (влт) Тот факт, что циркуляция вектора В, вообще говоря, не равна нулю, означает, что поле В не потенциально (в отличие от электростатического поля). Такое поле называют вихревым или соленоидальным. Так как циркуляция вектора В пропорциональна току 1', охватываемому контуром, то магнитному полю, в общем случае, нельзя приписать скалярный потенциал, который был бы связан с вектором В соотношением, аналогичным Е= — Сгв.
Этот потенциал был бы неоднозначным: при каждом обходе по контуру и возвращении в исходную точку он получал бы приращение, равное 1ьь/. Впрочем, в той области пространства, где токов нет, магнитный потенциал ~р вводят и достаточно эффективно используют. Роль теоремы о циркуляции вектора В. Эта теорема играет примерно ту же роль, что и теорема Гаусса для векторов Е и Р.
Мы знаем, что поле В определяется всеми токами, циркуляция же вектора В только теми токами, которые охватывает данный контур. Несмотря на это, в некоторых случаях — при наличии специальной симметрии — теорема о циркуляции оказывается весьма эффектривной, позволяя очень просто находить В. Это бывает в тех случаях, когда вычисление циркуляции вектора В можно свести, выбрав разумно контур, к произведению В (или В~) на длину контура или его часть. Если этого нет, расчет поля В приходится проводить иными способами, например с помощью закона Био — Савара или путем решения соответствующих дифференциальных уравнений, и расчет становится значительно сложнее.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
