И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы' (510776), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Можно показать, что обе эти величины связаны соотношением с М = — и. 4 (4.29) Остается учесть (4.28), и мы получим М = оТе. (4.30) Эта формула и выражает закон Стефана-Больцмани. Здесь о — постоянная Стефана-Больцмана. С помощью формулы Планка можно найти ее зависимость от постоянных с, Ь, и и ее числовое зыачеыие: о - б,б7 1Р з В /(мг.Е4) (4.31) Если в стенках полости с равновесным тепловым излучением (фотоыным газом) сделать небольшое отверстие, то можно экспериментально исследовать спектральный состав выходящего через это отверстие излучения.
Это было проделано для разных температур полости. Результаты оказались в прекрасном соответствии с формулой Планка и закоыом Стефана-Больцмана. В данном случае отверстие в стенке полости играет роль так называемого черного тела. Его особеыыостью является способность полностью поглощать падающее ыа ыего извые излучеыие. Термин черное не следует поыимать буквально: при повышении температуры отверстие начинает »краснеть», а затем может стать и белым. После этого не должно вызывать особого удивления, если в качестве примера черного тела будет названо...
Солнце. Дело в том, что спектральный состав его излучения очень близок к описываемому формулой Планка (и Солнце при этом полностью поглощает падающее на него излучение). из Глава 4 Закон смещения Вина. При теоретических исследованиях спектральный состав излучения удобнее характеризовать по частотам, в экспериментальных же — по длинам волн. Имея в виду соотношение и„бт = -их)Л, формулу (4.26) и то, что т = с/Л, запишем: бт и1 = — и„— = —.У(ЛТ) — = —,У(ЛТ). "ЗЛ Лз Лз Лз (4.32) Наличие знака минус в исходной формуле связано с тем, что с ростом частоты (б» > 0) длина волны уменьшается (бЛ «0). Найдем теперь длину волны Л, соответствующую максимуму функции иа. Это значит, надо решить уравнение би~/дЛ = 0: — "- = — Т вЂ” —.У = — ЛТ вЂ” — 5,У =О.
йи.„1 д.У 5 1 / йЯ з з а~ Выражение в скобках есть некоторая функция Ф(ЛТ). При длине волны Л, соответствующей максимуму функции иа, функция Ф(ЛТ) должна обратиться в нуль: Ф(Л Т) = О. Решение последнего уравнения приводит к некоторому значению Ь величины Л Т. Таким образом, можно записать, что (4.33) Это и есть закон смещения Вина. Значение постоянной Ь можно найти экспериментально или с помощью формулы Планка: Ь=0,29см К.
(4. 34) Из формулы (4.33) видно, что с ростом температуры длина волны Л уменьшается, а значит, частота г увеличивается, как показано на рис. 4.12. Заметим только, что т ~ с/Л, поскольку г соответствует распределению по частотам, а Л вЂ” по длинам волн. С помощью закона смещения Вина легко определить температуру Т электромагнитного излучения (или его источника), спектр которого соответствует формуле Планка. Так находят„ например, температуру звезд. 117 Квантовые етатветавв в вв врвмевевва Пример. Определим длину волны Х, соответствующую максимуму функции распределения иь теплового излучения, энергетическая светнмость которого М = 30 Вт/смз.
Для этого следует использовать закон смещения Вина, температура Т в котором связана с величиной М законом Стефана-Больцмана. В результате получим: ь -ьгььь-оьо ьо"„ььо..ьо-'ьео ьо'ь= =1,9 10 ем=1,9мкм. З 4.5 Теплоемкость твердых тел Классическая модель. В основе классической теории тепло- емкости твердых тел (кристаллов) лежит закон равнораспределення энергии по степеням свободы. Твердое тело рассматривают как систему Ф независимых друг от друга атомов, имеющих по три колебательных степени свободы. На каждую из них приходится в среднем энергия лТ (/гТ/2 в виде кинетической и /гТ/2 в виде потенциальной). Имея в виду, что число колебательных степеней свободы равно ЗФ, получим, что внутренняя энергия одного моля атомов У = Зь'/ллТ = ЗВТ.
Отсюда молярная теплоемкость С = д(//дТ = ЗВ. (4.35) В этом суть закона Дюлонга и Пти, который утверждает, что молярная теплоемкость всех химически простых твердых тел одинакова и равна ЗВ. Этот закон выполняется достаточно хорошо только при сравнительно высоких температурах. Опыт показывает, что при низких температу- рно. 4.13 рах теплоемкость тел убывает (рис. 4.13)„ стремясь к нулю при Т вЂ” + 0 по закону С со Тз. Модель Эйнпггейна.
Трудности, на которые натолкнулась классическая теория в вопросе о теплоемкости твердых тел, устранила квантовая теория. В первоначальной модели, разработанной Эйнштейном, кристалл рассматривался как система Глава 4 е =(о+ 1/2) )>а, о-О/1, 2, Можно показать (см. решение задачи 4.8), что средняя энергий такого осциллятора Ь Ь <е> = — + г (4.37) Первое слагаемое здесь — это так называемая нулевая энергия данного осциллятора. Она не зависит от Т и не имеет отношения к тепловому движению.
Поэтому в теории теплоемкости тел ее можно опустить и выражение для внутренней энергии одного моля будет иметь вид: У =ЗДгл<з> =ЗЖ„ Ь " е~улг (4.38) Теперь можно найти малярную теплоемкость кристаллической решетки: Э(/ ЗЯ(ьу/йт)2 л„/лт ЗТ (,' !" 1)э (4.39) Это выражение называют формулой Эйнил>пейна. При высоких температурах (ЙТ» йт) она переходит в формулу (4.35).
При низких же температурах (вТ ~ ау) можно пренебречь единицей в знаменателе, и С = ЗЩЬ/йт)з и-л /лт. (4.4О) При Т -+ О и С -+ О, и ход кривой С(Т) в общем почти совпадает с результатами опыта (см. рис. 4.13). Это был серьезный успех квантовой теории . заметим, что теория Эйнштейна применима и к колебательиой теплоемкости газов, состоящих из молекул. 1</ атомов, каждый из которых является квантовым гармоническим осциллятором.
Предполагалось, что колебания атомов происходят независимо друг от друга с одинаковой частотой т. Энергия квантового гармонического осциллятора дискретна: Евавтеэме статистика в аа араиеаевва ыв Вместе с тем, предсказываемое теорией поведение теплоемкости при Т вЂ” + О не очень согласуется с наблюдаемым. По Эйнштейну зависимость С(Т) должна иметь экспоненциальный характер, а опыт дает, что С о~ Тэ.
При других температурах Формула Эйнштейна также согласуется с экспериментальными данными только в качественном отношении. Этн расхождения связаны не с существом квантовой теории„ а с чрезмерным упрощением самой модели твердого тела, т.е. с предположением, что все атомы колеблются независимо друг от друга и с одинаковой частотой. Это понимел и сам Эйнштейн, он же указал, в каком направлении следует развивать квантовую модель. Модель Дебая. В этой модели кристаллическая решетка рассматривается как связанная система взаимодействующих атомов. Колебания такой системы — результат наложения многих гармонических колебаний с различными частотами.
Под гармоническим осциллятором той или иной частоты теперь надо цонимать колебания не отдельного атома, а всей системы в целом. Задача сводится к нахождению спектра частот этих осцилляторов. Это весьма сложно. Дебай сильно упростил задачу. Он обратил внимание на то, что при низких температурах основной вклад в теплоемкость вносят колебания (осцилляторы) низких частот, которым соответствуют малые кванты энергии Ьг.
Практически только такие колебания и возбуждены ври низких температурах. Низкочастотный же спектр колебаний решетки может быть рассчитан достаточно точно, и вычисления оказываются довольно простыми. Таким путем Дебай построил теорию теплоемкости твердых тел, особенно хорошо согласующуюся с опытом при низких температурах. Из теории следовало, что цри Т -+ О действительно С о Тэ. Мы не будем воспроизводить подробно рассуждения Дебая. Чтобы получить результаты, к которым пришел Дебай, мы поступим иначе. Фоконы.
Ситуация„с которой мы встретились (кристалл, объем которого заполнен стоячими упругими волнами — квантовыми осцилляторами), аналогична той, которую мы имели в случае полости, заполненной электромагнитными квантовыми осцилляторами. Там, по идее Эйнштейна, оказалось возмож- ным представить электромагнитное излучение в полости в виде фотонного газа. Это наводит на мысль поступить подобным же образом и в случае упругих волн. Упругие колебания (осцилляторы) в кристалле имеют квантовые свойства, проявляющиеся в том, что существует наименьшая порция — квант энергии с частотой т. Это позволяет сопоставить упругой волне с частотой т квагичастицы — фоноиы, распространению которых со скоростью ю соответствует упругая волна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
