И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы' (510776), страница 16
Текст из файла (страница 16)
Физическая природа разлвчвя зтвх двух квантовых статистик вытекает вз ярикцияо неразличимости тоясдестзенныз частиц, согласно которому существуют два тапа волновых т'-фувкцвй, описывающих состоянве тождественных частиц, — симметричные в антвсвмметрвчные. 1о1 Квэатовме статвстпкэ и их эрэнеиеинэ характеризуется шестью координатами: х, у, з, р, р„, р,. Это так называемое фазовое пространство. Состояние системы определяется тем, как распределены в этом пространстве точки, изображающие состояния всех гч' частиц системы. При этом нужно учесть присущий частицам корпускулярно-волновой дуализм, согласно которому неопределенности координаты х и соответствующей проекции импульса р, могут быть определены только с неопределенностью бх и бр„, произведение которых, согласно принципу неопределенлоетей Гейзенберга, бх.
бр,лЬ (здесь Ь =2пй). Аналогично и для других пар: у и р„, г и р,. Поэтому естественно считать, что данному состоянию частицы в фазовом пространстве соответствует не точка, а фазовап ячейка, объем которой бЛ = бх'бу'бг'бр~"бри'бр~ = Ьз. (4.1) Распределение частиц по таким фазовым ячейкам есть предельно подробное квантовое описание состояния системы. Нас будет интересовать наиболее вероятное распределение частиц по фазовым ячейкам. Решение этой задачи достаточно сложно, и его нет смысла здесь приводить. Мы приведем лишь окончательные результаты — распределения частиц по энергиям з; Квантовые распределения. Эти распределения представляют собой функции г(с,), определяющие средние числа частиц в одной фазовой ячейке с энергией зо или функции заполнения ячеек: 1 для фермионов Цз,) = (4.2) э,-эьвг Здесь р — так называемый химический потенциал (некоторая характерная энергия, значение которой можно найти из условия нормировки: суммарное число частиц во всех фазовых ячейках должно быть равно полному числу Ф частиц макросистемы).
1оз Гааза 4 Остановимся подробнее на особенностях этих распределений. 1. Для фермионов функция ~(е<) не может быть больше единицы, а для бозонов ее значение может быть любым (~ >О). 2. Если ~ к 1, то в знаменателях обоих распределений можно пренебречь единицей, и формула переходят в дз ) е<а-«Нет Ае-«,<нт (4.4) т.е. в распределение Больцмана (А — нормировочный коэффициент). Значит, классическое распределение Больцмана справедливо лишь тогда, когда малы «числа заполнения» фазовых ячеек,— при условии <Фд к 1.
Особо отметим, что в этом случае речь идет о совпадении формул, а отнюдь не о том, что изменяется поведение частиц (фермионы остаются фермионамн„бозоны — бозонами). 3. В макросистеме уровни энергии е; частиц квазинепрерывны (расположены очень плотно). Поэтому индекс ( у е, можно опустить.
4. Для бозонов значения р в (4.3) не могут быть положительными, иначе при з,. с р окажется, что )' с О, а это лишено физического смысла. Таким образом, для бозонов р с О. У макросистем с переменным числом бозонов (к числу которых относятся, например, фотоны) р = О, и формула (4.3) переходит в 1 ч 1»т (4.5) Для фермионов подобного ограничения не существует.
Число фазовых ячеек. До сих пор мы имели дело с функцией ~(е), характеризующей, напомним, среднее число частиц с энергией е в одной фазовой ячейке. Для дальнейших целей необходимо найти число ЙЕ фазовых ячеек, в интервале энергий (3, е + Йе). Чтобы определить ЙЗ, найдем сначала соответствующий объем ЙЛ фазового шестимерного пространства. Для атого в импульсной части фазового пространства выделим шаровой слой радиусом, равным импульсу р частицы, и толщиной Йр.
Его объем равен 4крзйр. Умножив его на объем У координатной час- Кваатовие статастакв в их арииезезва 1оз ти фазового пространства (это объем макросистемы), получим искомый элемент объема ЙЛ фазового пространства: дЛ= 4хрздр- У. (4.6) Число 62 фазовых ячеек в этом элементе объема получим, разделив ЙЛ на объем одной фазовой ячейки, равный Лз согласно (4.1). Кроме того, в дальнейшем нас будет интересовать число фазовых ячеек, приходящихся на единицу объема обычного пространства, поэтому будем считать, что Р = 1.
Таким образом, число фазовых ячеек в расчете ла единицу объема, занимаемого газом, будет равно дл= — Р оР 4х Л (4.7) Эта величина имеет размерность см з. Переход от импульсов к энергиям зависит от природы частиц. Это будет конкретизировано в дальнейшем.
Распределение частиц. Зная число оЯ фазовых ячеек в интервале энергий (з, з+ йз) и среднее число частиц в каждой ячейке, т.е. функцию заполнения 7, мы можем найти число частиц йл в данном интервале энергий (в расчете на единицу объема газа): бл =уУдя, (4.8) где у — числовой коэффициент порядка единицы; как мы уви- дим далее, он связан со спецификой частиц идеального газа.
5 4.2. Распределение Ферми — Дирака для электронов в металле Свободные электроны в металле. Электропроводность металлов обусловлена, как известно, наличием в них электронов, которые мы называем свободными. Они не связаны с конкретными атомами и могут практически свободно перемещаться в пределах образца. В первом приближении свободные электроны можно рассматривать как идеальный газ из фермионов в прямоугольной потенциальной яме. Глава 4 Прежде всего рассмотрим поведение электронного газа при температуре Т = О.
В этом случае функция (4.2) принимает следующие значения: ~(в~у) =1, йе >у) =О. (4.9) Соответствующий график показан на рис. 4.1, из которого видно, что заполнены все состояния с энергией з < у, а состояния с з > р оказываются незанятыми. е Состояния квантованы, и энергетические уровни являются дискрет- 0 и Рвс. 4.1 ными, но расположены настолько густо, что энергетический спектр можно считать„как уже говорилось, квазинепрерывным (см.
задачу 4.2). В статистике Ферми — Дирака, которой подчиняется электронный газ, принимается во внимание принцип Паули (согласно ему в каждом квантовом состоянии может находиться не более одного электрона). Отсюда следует, что даже между свободными электронами существует какое-то взаимодействие. Однако это взаимодействие не является силовым, а представляет собой сугубо квантовый эффект, чуждьгй классическим представлениям. Энергия Ферми.
В рассматриваемом случае (Т = 0) величину р называют энергией или уровнем Ферми: ее = р. Эта энергия является максимальной, которую могут иметь свободные электроны в металле при Т = О. Найдем ее Для этого сначала определим число квантовых состояний (фазовых ячеек) дЯ для свободных электронов с энергиями в интервале (е, з + с(с). Связь между энергией и импульсом электрона это е = рз/2пс. Отсюда р = /2псз и бр = (пс72е вс(е. Поэтому сЫ согласно (4 7), т.е. в расчете на единицу объема электронного газа, примет вид (4.10) где введено обозначение а - 2я(2гп)з/з/Ьз.
(4.11) гоз Каевтсаые статвствав в аа вравевеааа Зависимость числа кванто- Я вых состояний на единицу энер- йз гни, йЕ/йз, от энергии з представлена графически на рис. 4.2. Чтобы определить число свободных электронов йн в интервале энергий (з, г + йе), надо ум- р с пожить соответствующее число Рас. 4.2 йЕ фазовых ячеек, т.е. (4.10), на среднее число этих электронов в одной ячейке — на функцию заполнения ~: йп = 2ЯЯ. (4.12) йн = 2атгз йз.
йн ГраФик функции распределения йз свободных электронов по энергиям, т.е. йн/йг в зависимости от энергии з, показан на рис. 4.3. Площадь под этим графиком равна концентрации п свободных электронов: (4.13) Рве. 4.3 л =) йл(з) = — ар 4 зм 3 (4.14) Отсюда находим р — максимальное значение энергии свобод- ных электронов при Т = О.
Эта величина и есть энергия или уро- вень Ферми: сг =— (4.13) Коэффициент 2 появился в связи с тем, что в каждой фазовой ячейке могут расположиться два электрона (фермиона) с противоположно направленными спинами. В нашем случае (Т = О) свободные электроны заполняют полностью (г" = 1) все квантовые состояния с энергиями е ~ р, и мы имеем Глава 4 где, ыапомним, й = 2яй. При получении этого выражения учтеыо, что постоянная а определяется формулой (4.11).
Оценим значеыие зр. Коыцеытрация и свободных электроыов в металлах находится в пределах от 10зз до 10зз см з. Для среднего значения л = 5 .10зз получим зу = 0,8 10 ы эрг = 5 эВ. Пример. Определим распределение свободных электронов в металле по скоростям и максимальную скорость их при Т = О. Ясно. что число Йи, свободных электронов в интервале энергий (с, с + Йс) доля<но равняться их числу Йи„в соответствующем интервале скоростей (и, о + Йо), т.е. Йи„= Йи,.
Имея в виду связь между с и о„а именно з = то'/2, и формулу (4.13) для йи„получим Йи, = 2аь)то /2 то Йо. Остается воспользоваться выражением (4.11) для а, и мы найдем: Йи = бя(т/й)эиэ Йс, т.е. плотность распределения Йи„/Йи сз и>. Поскольку металл не конкретизирован, ограничимся оцен- кой максимальной скорости, полагая энергию Ферми равной зыачению, которое приведено выше (б эВ). Тогда и, =,)2сг/т = = 1,34 10 см/с = 1,34 10 км/с. Средняя энергия свободных электронов.
При Т = 0 имеем следующее выражение: з>2 3 <с> = — ~з Йл, = — ) 2 а зз Йз = — з,„ 5 (4.16) где использованы формулы (4.13) и (4.11). При значении зг= 5 эВ <ю = 3 эВ. Классическому газу с такой средней энергией соответствовала бы, согласью формуле <г> = з'лТ, температура Т - 5 104 К.
Эта Кааатеаые статвстими м их прмиеиевая температура во много раз превосходит температуру плавления любого металла. Идеальный газ, распределение частиц по энергиям которого сильно отличается от классического, называют вырожденным, что мы и имеем в рассмотренном случае. Энергия Ферми при Т > О. Распределение Ферми — Дирака неско- йТ лько размывается в окрестности уровня Ферми (рис. 4.4). Это происходит вследствие взаимодействия свободных электронов с тепло- ! вым движением атомов. Так как О з средняя энергия теплового движе- Рмс. 4.4 ния атомов имеет порядок йТ, то область размывания функции имеет тот же порядок ИТ. Аналогично деформируется и функция распределения свободных электронов по энергиям, т.е.
с)л/Ж (рис. 4.5). Таким образом, при нагревайл а нии металла энергию могут изменить только те свободные на самых верхних уровнях, примыкающих к уровню Ферми. О Основная же масса свободных электронов на более низких Рас. 4.5 энергетических уровнях остается в прежнем состоянии и поглощать энергию при нагревании не будет. Именно в этом ключ к разгадке сстранногое поведения электронного газа, вклад которого в теплоемкость практически не заметен, и теплоемкость кристалла практически зависит только от колебаний атомов решетки (к этому вопросу мы еще вернемся в конце 5 4.б). Имея в виду, что в модели свободных электронов последние находятся в прямоугольной потенциальной яме, распределение электронов изображают для наглядности так, как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
