И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы' (510776), страница 12
Текст из файла (страница 12)
Итак, энтропия — функция состояния. Если процесс проводят вдоль адиабаты, то энтропия системы не меняется. Значит адиабаты — это одновременно и изоэнтропьп Каждой болев «высоко«расположенной адиабате (изоэнтропе) отвечает боль- Р шее значение энтропии. В этом легко убедиться, проведя изотермический 1 процесс между точками 1 и 2, лежащими на разных адиабатах (рис. 3.2). В этом процессе Т = сопзС, поэтому Яз — Ят = ЩТ. Для идеального газа 9 равно работе А, совершаемой системой.
А так как А > О, значит Яэ > Яр Таким образом, зная как выглядит система аднабат, можно легко ответить на вопрос о приращении энтропии при проведении любого процесса между интересующими нас равновесными состояниями 1 и 2. 2. Энтропия — величина аддитивная: энтропия макросистемы равна сумме энтропий ее отдельных частей. при этом не играет роли, какой именно процесс перевел систему из состояния 1 в состояние 2. Процесс может быть даже необратимым. Важно лишь, чтобы состояния 1 и 2 были равновесными, расчет же с помощью (З.З) может проводиться по любому обратимому процессу между состояниями 1 и 2.
Знак равенства в формулах (3.2) и (3.3) относится только к равновесным (квазистатическим) процессам. В случае же неравновесных процессов, как мы увидим далее, дело обстоит иначе: знак «=» заменяется на «>«. Введение таким образом энтропии Я означает, что мы можем вычислять только разность энтропий, но нельзя сказать, чему равна энтропия в каждом из состояний, т.е. энтропия этими формулами может быть определена с точностью до прибавления произвольной аддитивной постоянной.
Второе язчзяо тзрмодяязнккя. Эятропяя 3. Одно из важнейших свойств энтропии заключается в том, что энтропия замкнутой (т.е. теплоизолированной) макросистемы не уменьшается — она либо возрастает, либо остается постоянной'. Принцип возрастания энтропии замкнутых систем представляет собой еще одну формулировку второго начала термодинамики. Величина возрастания энтропии в замкнутой макросистеме может служить мерой необратимости процессов, протекающих в системе.
В предельном случае, когда процессы имеют обратимый характер, энтропия замкнутой макросистемы не меняется. Пример. Идеальный газ, находящийся з язкоторон состоянии. адиабатически (т.е. без теплообмеяа) расширили до объема Р. Одинаково лн будет устапозизпзееся давление газа в конечном состоянии (в объеме У), если процесс расширения а) обратимый, б) необратимый? В соответствии с принципом возрастания энтропии в замкнутой системе при необратимом процессе энтропия должна увеличиться.
Значит установившееся состояние будет соответствовать точке на более высокой адиабате, т.е. давление будет больше. Заметим, что с самого начала введение понятия энтропии Я было поставлено в прямую связь с необратимостью. Оказывается, все самопроизвольно протекающие процессы в природе— от теплообмена до химических реакций — протекают так, что энтропия возрастает. Необходимо специальное взаимодействие с окружающей средой, чтобы препятствовать возрастанию энтропии в макросистеме.
Наиболее ярким примером могут служить все живые существа. 4. Теорема Нернста (1906). Эта теорема утверждает, что при приближении температуры к абсолютному нулю энтропия макросистемы также стремится к нулю: (3.4) Ззнзтян, чтз так ведет себя зятрзпяя только ззиккутых яакрсскстзм. Если жз система яз замкяутз, то зз зктропкя может кзк узеяячяззться, тзк я уизпьшаться.
Глава 3 и мы можем вычислять абсолютное значение энтропии по фор- муле 'с,(т) ат 8(р,т) = т о (3.5) Отсюда следует, что прн Т вЂ” ь О теплоемкость Ср всех макро- систем должна тоже стремиться к нулю (иначе интеграл не будет сходиться). Обратим внимание на то, что энтропия по своей сущности всегда определена с точностью до произвольной адднтивной постоянной. Поэтому слева в формуле (3.4) следовало бы писать 8 — Яз. То, что мы считаем 8е — — Π— это не более как произвольное соглашение. Теорема Нернста не может быть логически выведена из первых двух начал, поэтому ее часто называют третьим началом льермодинамики. 3 3.3.
0 вычислении и применении энтропии та8 = а(1 + рау. (3.6) Это уравнение имеет многочисленные применения. 2. Энтропия идеального газа. Пусть начальное и конечное состояния„1 и 2, газа определяются параметрами рм Ъ'г и рм Кз. Согласно (3.6) элементарное приращение энтропии газа с учетом того, что ас1 = Сгат и рК = тЯТ, определяется как ат ау аЯ = Сг — + т —. Т (3.7) Взяв дифференциал логарифма от тЯТ = р~', получим ат ар и — = — + — > т р (3.8) 1. Основное уравнение термодинамики.
Оно представляет собой объединение энтропии с первым началом. Подставив в (1.6) выражение аЯ = таз из (3.2), получим для обратимых процессов: Второе взчапо термолввэиики. Эитровии и формуле (3.1) можно придать симметричный вид: ар И с(8 С~ + Ср Р (3.9) где учтено, что Ср — — Су + тЯ. Проинтегрировав последнее выра- жение, получим в результате Я, -8~ =С,! — ~ С,) — з рс (3. 10) Пример. Пусть в одном из двух теплоизолированных сосудов, соединенных трубкой с закрытым вентилем, находится один моль идеального газа, а з другом сосуде — вакуум (рис.
3.3). Объемы сосудов 1; и $;. Вентиль открыли, газ заполнил оба сосуда и пришел з состояние термодинамнческого равновесия. Найдем приращение энтропии в этом процессе. Ясно, что процесс расширения газа необратимый. Прн этом процесс прошел без теплообмева (м = О) н без совершения работы (А = О). Значит, по первому началу термодинамики ЛУ= О, т.е. конечная температура равна начальной.
Это позволяет провести расчет приращения энтропии по олротимому изотермичесхому процессу: сс))Е срдР с ЙЪ' ус+у т т 4. Возрастание энтропии при смешении газов. Пусть в двух половинах теплоизолированного сосуда объемом 1' находятся два идеальных газа, 1 и 2, разделенных перегородкой. Темпе- 3.
Приращение энтропии при необратимом процессе между двумя равновесными состояниями 1 и Л. Непосредственно считать энтропию по необратимому процессу совершенно невозможно. Но энтропия — функция состояния. Этим мы и воспользуемся, проведя между состояниями 1 и 2 какой-нибудь обратимый процесс, ничего общего не имеющий с реальным необратимым процессом. Обычно выбирают такой обратимый процесс, по которому расчет проще. Глава 3 ратура, давление и число молей т в обеих половинах одинаково. После удаления перегородки начинается необратимый процесс смешения газов. В конце концов он прекращается, и система приходит в равновесное состояние, в котором оба газа равномерно перемешаны.
Температура в конечном состоянии будет такая же, так как система теплоизолирована и газы идеальные. Используя результат предыдущего примера, находим, что при г1 — — 1гг приращение энтропии каждого газа ЛЯ1 г —— тВ 1п 2, т.е. суммарное приращение энтропии системы ЛЯ = 2~ В1п2. Приращение ЛЯ > О, что естественно, поскольку процесс смешения суп~ествеино необратимый (обратный процесс — само- разделение смеси двух газов — совершенно невероятен).
Последняя формула приводит к выводу, называемому парадоксом Гиббса. Допустим, что газы 1 и 2 тождественны. Тогда после удаления перегородки энтропия увеличивается, хотя ясно, что конечное состояние системы ничем не отличается от начального. В этом суть парадокса. Для понимания описанной ситуации существенно заметить, что последняя формула получена только для случая, когда газы 1 и 2 различны. Для тождественных газов приведенные рассуждения не применимы. Для них ЛЯ = О.
Таким образом, формула ЬЯ =2тВ1п2 справедлива только при смешивании различных газов, хотя бы зто различие и было сколь угодно малым. Возникающая здесь трудность с предельным переходом в действительности не существует, поскольку Т число различных типов атомов конечно, и такой предельный переход просто невозможен. б. Цикл Карно. Рассмотренный Карно тепловой двигатель состоял из нагревателя с температурой Т,, холодильника с Тз и рабочего тела, т.е. устройства, способного получать тепло и совершать работу (рис. 3.4). Под рабочим телом пока будем понимать идеальный газ в цилиндре с поршнем. Второе еачвло термедаеамеее. Эатроаеа Карно рассмотрел цикл из Р двух изотерм и двух адиабат (рис. З.б). При изотермическом расширении 1-2 газ находится в контакте с нагревателем (Т~). Пусть при етом газ получает тепло Я~.
На нзотерме 3-4 газ отдает тепло Яз холодильнику (Тз). В соответствии с (3.1) КПД двигателя Рвк 3.5 Ч =1-— Цз Ю~ (3.11) Данный цикл является обратимым (если его проводить бесконечно медленно). Он может быть проведен в обратном направлении, и при атом газ совершает отрицательную работу„ нагреватель получает обратно тепло Яп холодильник отдает газу теплоте, которое он получил в прямом цикле.
Именно так в принципе работает любой бытовой холодильник. Дальнейшие рассуждения проще всего провести, изобразив цикл Карно не на диаграмме р, Ъ; а на диаграмме Я, Т (энтропия — температура). На етой диаграмме цикл Карно имеет вид пря- Т 2 1 моугольника (рис. 3.6). Изотермы изображаются прямыми 1-2 и 3 — 4, адиабаты — прямыми 2 — 3 и 4-1. Согласно (З.З) полученное тепло 9~= Т~(Яз — Я~) и равно площади ' 4 3 под отрезком 1 — 2.
Отданное холо- ! дильнику тепло Оз = Тз(Яз — ЯД н Я, Я, Я равно площади под отрезком 4-3. При етом площадь прямоугольника, т.е. 9~ — Яз, равна работе А, совершаемой двигателем за цикл. Подставив выражения 9~ и Цз в формулу (3.1), получим, что КПД цикла Карно зо Глава 3 При выводе этой формулы не делалось никаких предположений о свойствах рабочего вещества и устройстве теплового двигателя. Отсюда следует знаменитая гпеорема Карно: КПД обратимых двигателей, работающих по циклу Карно, зависит только от температур Т, и Тг — нагревателя и холодильника, но не зависит ни от устройства двигателя, ни от рода рабочего вещества.
Пример. Выясним, в каком случае КПД цикла Карно повышается больше: при увеличении температуры нагревателя на ат или при уменьшении температуры холодильника на такую же величину. С этой целью возьмем частные производные по Т,и Т, выра- жения (3.12) для КПД: дц 1 дт т, дц т, т1 дт2 т 2 Т2 Т, Так как Тг < Т„то дц/дт, < )дц/дтг!. Значит, при уменьшении температуры холодильника КПД цикла повышается больше. Заметим, что этот вопрос можно решить и с помощью диа- граммы Т, Б. Можно показать (мы опускаем доказательство), что КПД любого необратимого теплового двигателя, работающего с теми же нагревателем и холодильником, всегда меньше, чем у двигателя, работающего по обратимому циклу Карно: (3.13) Чвесбр < Чсбр О дт т )'Я - Я,') дЯ = — —, Я вЂ” Яе = Ск1п —, Т =То ехР~ ) .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
