И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы' (510776), страница 13
Текст из файла (страница 13)
(3.14) Т т, = ~с,)' где цсбр определяется формулой (3.12). 6. О других циклах. Решение вопроса о КПД других циклов часто сильно упрощается, если его рассматривать в переменных Т, Я. Во многих циклах встречаются участки — изохоры и изобары, Выясним, как они выглядят на диаграмме Т, Я. Пусть начальное состояние газа определяется значениями Те, Яо.
Повысим температуру до Т сначала изохорически. Это значит, что Второе начало термодинамика. Энтропия 81 Если же процесс проводить изобарически, то вместо Сг надо брать Ср, и мы получим Т =То ехр (3. 15) Графики функций Т(Я) имеют вид экспонент, и поскольку Ср > Сю изохора идет круче (рис. 3.7). Кроме того, следует иметь в виду„ что в любом политропическом процессе 63 = С„бТ~Т, и зна- чит 3, Рнс.
8.7 32 31 с 1п(72/71). (3. 16) термы, политропы и адиабаты, пр цесс происходит при макси- Т маланей температуре цикла. Найдем КПД такого цикла, если температура Т в его пре- делах изменяется в т раз. ичем нзотермический про- Изобразим данный цикл на диаграмме Т, 3 (рис. 3.8). По определению, КПД выражает формула (З.Ц. Решение, таким образом, сводитсн к нахождению отношения ЯзЯо Мы знаем, что 3, 3 3, Рнс.
8.8 Я~= Тз (32 Яз) ь)з = Сп(7з — ТД (напомним, Яз должно быть положительным). Отсюда с уче- том (3.18) получим Яз Сл (Уз — 7з ) Тз — 7з т — 1 Я~ Тз(3з — Яз) Тз1тКГз/Т~) т1пт и КПД цикла т — 1 ч=1- т 1п т Пример. Идеальный газ совершает прямой цикл, состоящий из нзо- 82 Глава 3 Ф 3.4. Статистический смысл второго начала термодинамики Вернемся в вопросу: как необратимость реальных процессов может быть согласована с обратимостью законов, управляющих движением каждой частицы.
Ответ на этот вопрос был найден на основании представления о вероятности отдельных состояний макросистемы и статистического подсчета наиболее вероятных состояний. Состояние макросистемы может быть охарактеризовано заданием таких макропараметров как объем, давление, температура и др. В этом случае говорят„что задано макросостояние. Состояние же макросистемы, охарактеризованное настолько детально, что оказываются заданными состояния всех молекул, называют микроеоетоянием.
Любое макросостоянне может быть реализовано различными способами нли различными микросостояниями. Число различных микросостояний, соответствующих данному макросостоянию, называют статистическим весом макросостояния. Некоторое представление о статистическом весе можно получить, рассмотрев способы, которыми молекулы могут распределяться между двумя половинками сосуда с газом (отвлекаясь ради простоты от влияния на состояние газа распределением молекул по скоростям). Возьмем, например, случай, когда в сосуде, мысленно разделенным на две одинаковые половины А и В (рнс. 3/9), находится число молекул Ф = 4.
Перенумеруем их: 1, 2, 3, 4. Каждая молекула с равной вероятностью может находиться как в половине А, так и в половине В сосуда. Значит, вероятность того, что любая молекула окажется в половине А, равна 1/2. Пребывание в половине А одной молекулы и одновременно дру- Г . 2.Э той — события статистически незави- симые. Поэтому вероятность одновременного пребывания в половине А двух молекул равна произведению вероятностей, т.е. (1/2)з, трех молекул — (1/2)з, четырех — (1/2)4.
Второе иочояо ториодииаияии. Энтропия вз Подобные рассуждения приводят к выводу, что вероятность любого размещения четырех молекул также равна (1/2)4. Каждое размещение — это некоторое микросостояние системы, и вероятность Р калгдого из них одинакова и равна (1/2)4. Все возможные распределения четырех молекул по половинам А и В сосуда приведены в табл.
3.1. Из нее видно, какие возможны омакросостоянияо (они отделены друг от друга горизонтальными линиями) и сколькими способами (микросостояниями) реализуется каждое «макросостояние». Таблица 3.1 Под макросостояниями будем понимать состояния, при которых в половине А сосуда находится, скажем, одна молекула (любая), а в половине  — три молекулы. Из таблицы видно, что такое макросостояние реализуется четырьмя микросостояниями. Значит, статистический вес данного макросостояния 41 = 4, а обычная вероятность Р = 4/16. Глава 3 Макросостояние, у которого в обеих половинах сосуда находится одинаковое число молекул (по две), реализуется с помощью шести микросостояний„и статистический вес (а также вероятность) такого макросостояния максимальна.
Пусть первоначально все четыре молекулы находились в половине А сосуда. С течением времени некоторые из молекул, двигаясь беспорядочно, окажутся в половине В. Это будет означать, что «газ» расширился. В дальнейшем «макросостояние» системы будет меняться случайным образом, но чаще будет осуществляться то из них, которому соответствует максимальное значение статистического веса й. Может произойти так, что случайно все четыре молекулы снова окажутся в половине А сосуда.
Это означает, что в рассматриваемом случае (всего четыре молекулы) вполне возможно, что «газ», сперва расширившись, затем самопроизвольно сожмется. Процесс расширения оказался обратимым. При большой скорости движения молекул различные состояния системы быстро следуют друг за другом и, очевидно, придется не очень долго ждать, чтобы расширившийся «газ» сам собой снова сжался. Однако так обстоит дело только при очень малом числе молекул. Вследствие статистической независимости поведения молекул идеального газа вероятность любого микросостояния равна произведению вероятностей пребывания молекулы в любой половине сосуда.
Для Ж частиц зто произведение Р = (1/2)л. Отсюда следует, что полное число возможных микросостояний системы равно 2л. При Ф = 10 получим Р = 10 3. Если в течение длительного времени фиксировать распределение молекул через равные промежутки времени, то на каждые 1000 случаев в среднем придется один случай, когда все 10 молекул будут находиться, например, только в половине А сосуда. Но при Х = 100 мы получим Р - 10 зз ( В макросистемах мы имеем дело с очень большим числом частиц.
Скажем, если ««' = 10зе, то для вероятности получается невообразимо малая -з «з1« величина Р - 10 ~з . Такова вероятность, что газ самопроизвольно сожмется в одной половине сосуда. Ясно, что при таком значении вероятности этим событием можно пренебречь — оно практически неосуществимо. Второе начало тормодмаамваи. Эвтроввя 85 Вместе с тем статистический вес (и вероятность) макросстстояния, при котором молекулы распределятся равномерно по обеим половинам сосуда, стремительно растет с ростом числа молекул Ю. Таким образом, мы приходим к важному выводу: предоставленная самой себе манросистема стремится переходить от менее вероятных состояний и более вероятнь«м. В этом суть необратимости.
В принципе необратимый процесс возможен, ыо вероятность его ничтожно мала. Таким образом, второе начало термодинамики, указывающее на необратимость перехода работы в тепло, обусловлено тем, что переход теплоты в работу означает переход от более вероятного состояния к менее вероятному. Подчеркнем: понятие необратимости процессов имеет смысл только для макросистем. К совокупности небольшого числа частиц это понятие не примеыимо. Это мы видели на примере системы из четырех молекул — самопроизвольыое сжатие такого «газа» вполне возможно, т.е.
процесс обратим. В состоянии равновесия число молекул в обеих половинах сосуда можно считать одинаковым с тем большей точностью, чем больше число молекул. При этом неизбежные флуктуации стаыовятся ничтожно малыми, и ими можно спокойыо пренебречь (речь идет„разумеется, об относительных флуктуациях). 5 3.5.
Энтропия и вероятность Если макросистема находится в неравновесном состоянии, то она самопроизвольно будет переходить в состояние с большей вероятыостью — равновесное. Вместе с тем, согласно второму ыачалу термодиыамики все самопроизвольыые процессы в замкнутых макросистемах сопровождаются возрастанием энтропии. Поэтому можно ожидать, что между энтропией Я макросистемы в каждом состоянии и вероятностью Р того же состояыия должна существовать определенная связь. Эта идея, высказанная Больцманом, оправдалась и оказалась весьма плодотворной. Для нахождения этой связи рассмотрим аналогично примеру на стр. 77 ыеобратимый процесс расширения идеального газа в пустоту. Пусть данный газ первоначально находится Глава 3 0 У» в объеме У, теплоизолированного сосуда объемом Ус.
От остальной части сосуда он отделен перегородкой (рис. 3.10). Перегородку практически мгновенно перемещают из положения 1 в 2, газ расширяется в пустоту до объема Уз и приходит Рве. ЗЛО в равновесное состояние. В данном случае (газ идеальный) работу газ не совершает (А = О), переданное газу тепло Ц = О, следовательно, по первому началу приращение внутренней энергии М1 = О, т.е.
температура конечного и начального состояний одинакова. Поскольку энтропия — функция состояния, то ее приращение в процессе У1 -» Уз можно вычислить по обратимому процессу, например, изотермическому. В изотермическом процессе согласно (1.25) Ц = А = РВТ)п(Уз/1;) и бз = Е/т =.Л)п(У,/У,) = И/Ь (У,/У,), (3.14) Рз/Р1 = (Уз/У1)л, и приращение энтропии (3.14) можно записать как (3.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
