И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы' (510776), страница 17
Текст из файла (страница 17)
4.6. Здесь У вЂ” глубина ямы, А — работа выхода (наимень- Глава 4 ~г сг(Т) =зр(0) 1 —— кг( )гт ~ 12( зг(0) (4.17) где зг(0) — уровень Ферми при Т = О, определяемый Формулой (4.15). И более общее определение уровня Ферми гласит: зто энергия, при которой распределение Ферми — Дирака (4.2) при- нимает значение Г = 1/2. 5 4.3. О нонной теории.
Электропронодность Энергетические зоны в кристаллах. Свободные электроны в металле — это модель поведения электронов в первом приближении. уточнение этой модели сводится к учету того, что электроны на самом деле движутся в периодическом поле, и это приводит к появлению нового явления.
А именно, квазинепрерывный энергетический спектр электронов распадается на ряд разрешенных и запрещенных зон. Каждая из разрешенных зон состоит из М близко расположенных уровней, число которых равно количеству атомов в кристалле. Ширина зон (3 б эВ) не зависит от размеров кристалла. Происхождение этих зон связано с энергетическими уровнями изолированных атомов. При образовании кристалла каждый уровень атома распадается иа Ф уровней. Особенно сильному расщеплениго подвергаются вышележащие энергетические уровни атома, и в частности, уровень с внешним валентным электроном.
В результате возникает особенно интересующая нас валенлгнал гони, уровни которой заполнены шая энергия, которую надо сообщить электрону для удаления его из металла, А = У вЂ” зг). Спектр энергетических уровней дискретный (практически квазинепрерывный). Тонировзна часть спектра, заполненного свободными электроРвс. 4.6 нами. Энергия Ферми, как показывает расчет, несколько зависит от температуры: Квсктсвыс статзствки и зт праненевзе наполовину, если в соответствующем атоме был один валентный электрон. Наполовину, потому что на каждом уровне могут располагаться по два электрона с противоположно направленными спинами.
Если же валентных электронов у атома два, то валентная зона будет заполнена полностью. Впрочем, возможны случаи, когда две зоны, образованные из двух соседних уровней атома, перекрываются, и образуется зона, содержащая 2)т' уровней. Зону, расположенную над валентной, называют свободной. В зависимости от степени заполнения валентной зоны электронами и ширины АЕ запрещенной зоны кристаллы подразделяют на металлы, полупроводники и диэлектрики (рис. 4.7).
На рисунке тонирована та часть энергетического спектра, которая полностью заполнена электронами (по два на уровень). Это распределение соответствует температуре Т = О. При этой температуре все электроны совершают внутренние квантовые движения, никак при этом себя не проявляя. Металл Полупроводник Диэлектрик Рис. 4.7 В мешаплах, как мы уже знаем, достаточно сообщить электронам, находящимся на верхних уровнях, небольшую энергию (повышая температуру или прикладывая внешнее электрическое поле Е), чтобы перевести их на более высокие уровни, где они проявляют себя или в теплоемкости или в электропроводности.
У полупроводников дело обстоит иначе, и электроны могут себя так или иначе проявить лишь в случае, если им будет со- Глаза 4 Электропроводность металлов и полупроводников Напомним, электропроводность о — это величина, связывающая плотность ) электрического тока и напряженность Е в локальном законе Ома ) = нЕ. Для мепталлов квантовая теория приводит к следующему выражению электропроводности: пе т о=— лт (4.18) где и — концентрация свободных электронов, т — масса электрона, т — некоторое характерное время, которое иногда называют временем релаксации.
Это время характеризует в частности процесс установления равновесия между электронами и решеткой, нарушенного, например, внезапным включением внешнего поля Е. Может показаться, что а в (4.18) зависит от поведения всех свободных электронов. Это не так. Участвуют только те из них, которые имеют энергию вблизи уровня Ферми.
А это малая часть всех свободных электронов„и их доля учитывается величиной т. Анализ выражения (4.18) показывает, что о с т ) /Т. Это расходится с результатами классической теории, где о от 1/ /Т. Эксперимент подтверждает вывод квантовой теории. Физической причиной электрического сопротивления является рассеяние электронных волн на примесях и дефектах решетки, а также на ее тепловых колебаниях. У полупроводников электропроводность возникает при Т а 0 в результате перехода электронов с верхних уровней валентной зоны в свободную зону. При этом в валентной зоне освобождается такое же число состояний на верхних уровнях — их назы- общена энергия, превышающая энергию ЛЕ запрещенной зоны, чтобы перевести их с верхних уровней заполненной валентной зоны в свободную зону (у полупроводников ЛЕ порядка нескольких десятых эВ).
Свободная зона станет для таких электронов зоной проводимослти. Одновременно могут себя проявлять и электроны на верхних уровнях валентной зоны, поскольку эти уровни частично освобождаются. Евеитевые стати«твин я яя ирииеиеиии вают «дь«рками». Когда говорят о перемещении дырок, то имеют в виду не реальную частицу, а тот факт, что ее движение отражает характер движения всей совокупности электронов в верхних уровнях валентной зоны. Это удобное понятие, и им широко пользуются.
6 Распределение электронов по уровням в свободной и валентной зонах описывается функцией Ферми — Дирака (4,2). Графически это показано на рис. 4.8. Соответствующий расчет дает, что уровень Ферми при этом расположен посредине запрещенной зоны, как это и показано на рисунке. Уровни свободной зоны (с электронами) находятся на Ряс.
4.8 «хвосте» распределения 1(з). Это означает, что г — ег = ЛЕ/2. С учетом последнего соотношения и того, что АЕ ъ ЙТ, вероятность |(з) заполнения уровней в свободной зоне, т.е. формулу (4.4), где р = зю можно записать как Г(с) о, е-езгг»т (4. 19) Число электронов, перешедших в свободную зону, а значит и число образовавшихся дырок, будет пропорционально 1(з).
Эти электроны и дырки и являются носителями тока. Электропроводность а пропорциональна числу носителей, значит и а е» 1(з), т.е. а е» е эх~гет (4.20) Отсюда следует, что электропроводность полупроводников быстро растет с увеличением температуры. Типичными полупроводниками являются германий и кремний. Проводимость, которую мы рассмотрели, называют собственной, она свойственна чистым полупроводникам. Кроме нее существует и широко используется нрииесная проводимость. Глава 4 112 Она возникает„когда в чистом полупроводнике некоторые атомы замещают другими (примесью).
В результате в запрещенной зоне возникают добавочные уровни, расположенные близко или к свободной зоне (донорные) или — к потолку валентной зоны (акцепторьь). Это способствует существенному увеличению электропроводности полупроводника. Но в детали этого вопроса мы углубляться не будем, поскольку радикально новых идей здесь нет. 5 4.4. Распределение Бозе-Эйнштейна для фотонного газа равновесное тепловое излучение в замкнутой полости представляет собой совокупность стоячих электромагнитных волн с дискретными частотами.
Попытки теоретически объяснить наблюдаемое распределение спектральной плотности излучения ло частотам с классической точки зрения оказались несостоятельными и породили так называемую «проблему теплового излучения». В 1900 г. она была решена Планком путем введения в процесс взаимодействия излучения с веществом идеи квантования. Эйнштейн сделал следующий шаг.
Он предположил, и это подтвердилось экспериментом, что само излучение представляет собой фотонный газ, газ идеальный. У фотонов спин равен единице. Значит это бозоны, а они подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Число фотонов в полости не сохраняется, оно зависит от температуры. А для систем с переменным числом базанов, как было сказано в 2 4.1, химический потенциал р = О, и функция (4.3) принимает вид (4.5), т.е.
(4.21) е'~ — 1 для фотонов е = )ььь и р = ььт,ьс, поэтому число квантовых состояний (фазовых ячеек) в интервале частот (т, т + Йт) в расчете на единицу объема фотонного газа равно согласно (4.7) 62' = — т «Ь. (4.22) с Киевтевые статиствии и ми ирмиеиевии Графики функций 1 и дЕ/с)т для фотонного газа представлены на рис. 4.9 и рис.
4.10. Следует обратить внимание на то, что обе функции ведут себя с ростом частоты т взаимно противоположно: 1 убывает, а д2/сЬ растет. 42' ЙУ У О Рвс. 4.9 Рис. 4.10 В соответствии с формулой (4.8) число фотонов с частотами в интервале (», и + сЬ) равно Йэ = 21 с)2 з е ет (4.23) Коэффициент 2 появился в связи с двумя независимыми поляризациями излучения во взаимно перпендикулярных плоскостях. Другими словами, он указывает на две возможные поперечные поляризации фотона. Напомним, что в случае электронов этот коэффициент учитывал две возможные «ориентации» спина электрона.
График распределения фотонов по частотам, т,е. бл/бт, показан на рис. 4.11. Площадь под кривой равна полному числу и фотонов в расчете на единицу объема фотонного газа. с)п сЬ 0 Рис. 4.11 Глава 4 114 Теперь перейдем к спектральной плотности энергии излучения (фотонного газа): и„=- йи/йт, где йи =/зт йп. В результате получим: 8лЬ 1 и„= з агат (4.24) Это знаменитая формула Планка. Ее открытие и интерпретация положили начало созданию квантовой физики.
График этой зависимости от частоты т показан иа рис. 4.12. Прн переходе от г н Ь к циклической частоте а = 27п н Я = Ь/2л надо учесть, что и„й = и„йа. Тогда формула Планка приобретает внд: се~ 1 и„= —— лзсз е~"/зт — 1 (4.25) и, = тзр(т/Т), (4.26) где Р— функция, вид которой до открытия Планка был неизвестен. Кстати, в таком виде формула (4.26), была получена Вином и получила название формулы Вина. Воспользовавшись (4.26), запишем: 'О г зу~~~й Тз ~ зР( ) 1 (4.27) где введена новая переменная х = т/Т.
Последний интеграл представляет собой некоторую постоянную а, и мы приходим Вернемся к формуле (4.24), графики которой при разных температурах представлены на рис. 4.12, где Тз < Тз < Тз. Площадь под каждой из этих кривых равна полной плотности энергии и при соответствующей температуре. Выясним, как эта величина (и) зависит от Т. Для этого ради упрощения преобразований представим (4.24) в виде Кваатевме ствтнстнвн и нв нрнненевнн к выводу, что и = аТе. (4.28) Закон Стефана-Больцмана. Вместо плотности энергии излучения и удобнее пользоваться понятием энергетической светимости М, которая выражает поток энергии излучения с единицы поверхности по всем направлениям в пределах телесного угла 2н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
