И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы' (510776), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Введение понятия Фонона, как выяснилось, является плодотворным приемом, значительно облегчающим рассуждения. Оно также весьма эффективно в математическом отношении, так как математические приемы вычисления различных величин, связанных с фононами„аналогичны соответствующим вычислениям, относящимся к фотонам. Фонон характеризуют энергией э и импульсом р: с=Ь, р=Ъ/с, (4.41) где е — скорость Фонона (скорость волны), и — его частота. Импульс имеет направление, совпадающее с направлением распространения упругой волны . Таким образом, подобно тому, как квантование электромагнитных волн приводит к фотонам, квантование упругих волн — к Фононам.
Выяснилось, что фонону следует приписать спин, равный нулю. Значит фононы — это бозоны и подчиняются статистике Бозе-Эйнштейна. Фоконы могут рождаться и исчезать, при этом число их не сохраняется (оно зависит от температуры Т), поэтому для фононного газа химический потенциал р = О, и Функция у заполнения Фазовых ячеек определяется формулой (4. 5). Колебательная энергия решетки. Колебательную энергию й' кристаллической решетки можно рассматривать как энергию фононного газа. Повторив рассуждения, которые приводят к Импульс фокона обладает своеобразными свойствамн: при взаимодействии фоиоиов друг с другом их импульс может дискретными порииями передаваться крнсталлнческой решетке н, следовательно, ие сохраняться.
В связи с атем импульс фокона называют кеазвкмлульсои. Кеептезме статпстпкп и пх прпмепеппп формуле (4.3), определяющей число частиц в интервале энер- гий (з, с + Йс), и учитывая, что мы имеем дело с бозонами, за- цишем: Йя = 11ЙЗ. где согласно (4.3), (4.7) и (4.41) (4. 42) г г 1 4лр Йр 41п Йт /и/гт 1 Зз 3 у = ~l Йи = 12лй " ~ т Й «т/и' (4.44) где т„, — верхняя граница возможных частот фононов. Для определения этой частоты приходится вводить довольно искусственное (как и в рассуждениях Дебая) условие. А именно, полное число квантовых состояний фононного газа, т.е. фазовых ячеек с учетом трех возможных поляризаций фононов, должно равняться числу степеней свободы Зле (лс — концентрация атомов): 12л т 4л Зпэ = )'ЗЙЕ = — — = — т е У 3 Р (4.45) где использовано выражение (4.43) для ЙЯ.
Таким образом, (4.46) В твердых телах могут распространяться три волны: продольная и поперечные с двумя взаимно ортогональными поляризациями. Их скорости несколько отличаются друг от друга, поэтому цод и имеется в виду их средняя скорость. В соответствии с наличием трех волн, в (4.2) коэффициент у = 3. Другими словами, он учитывает три возможные поляризации фононов. Энергия фононного газа в интервале частот (т, т + Йт) равна произведению энергии одного фонона на их число в данном интервале частот: ЙУ= ЙтЙл, где Йл определяется формулами (4.42) и (4.43).
Остается проинтегрировать полученное выражение по всем возможным частотам: Глаза 4 Отметим, что для упругой волны соответствующая этой частоте длина волны оказывается равной Х = = — -2д, о зГ4п г„м 1 Зло (4.47) 2И поскольку пс = 1/аз, Ы вЂ” период решетки. Этот результат согласуется с тем, что волны с 1 < 2д не имеют физического смысла (рис. 4.14). Это служит разумным оправданием Рэа.
4.14 условия (4.45), Учитывая (4.46), нерепншем выражение (4.44) для энергии У единицы объема фононного газа в виде 9.еЛ ""," збг з 3 ы1ьт ~ мака 0 (4.48) Теплоемкость кристалла. Зная ЩТ), находим, что теплоемкость единицы объема кристалла дУ 9пеЛ " еь~ьгоа <Ь, дТ ЛТ2 3 1 ( ы/и' 1)2 (4.49) Введем так называемую характеристическую температуру Дебая Э, определяемую условием Л =ЛЯ„ (4.50) а также новую переменную х = Ло/ЛТ. Тогда выражение для теплоемкости (4.49) примет вид С-а~а( — ) / (4.51) где хм = Лг„, /ЛТ = су' Т. Выражение (4.51) называют формулой Дебил.
Отметим еще, что дебаевская температура 8 указывает для каждого твердого тела область температур (Т < Щ, где становится существенным квантование энергии колебаний. Еваитоиме ствтистиии и ии ирииеиеиии Поведение теплоемкости С(Т) в предельных случаях 1. При Т «9 можно приближенно считать, что верхний предел интеграла (4.51) х -+ с. Тогда интеграл будет представлять собой некоторое число, и мы видим, что в этом случае ТЗ (4.
52) Этот результат называют законом Тэ Дебел. Именно такую зависимость С от Т и наблюдают во многих случаях, при Т «й. 2. При Т ъ О, т.е. при йти,,/йТ «1, выражение (4.48) для У можно упростить, считая е" мт = 1 + йт/йТ. Тогда Овей" ( йТ з П = с ) — и Йт =ЗпэйТ. йт т мвтс О (4.53) Для моля кристалла заменяем пе на Жл, и получим, что для мо- лярной теплоемкости кристалла С - ЗВ, как и должно быть в соответствии с законом Дюлонга и Пти.
Реаюме. Зависимость С(Т), рассчитанная по формуле (4.51), т.е. по Формуле Дебая, очень хорошо описывает экспериментальные результаты, например, для алюминия и меди. Но полученные соотношения не являются универсальными. Во-первых, они хорошо передают зависимость С(Т) только для химически простых тел с простой кристаллической решеткой. К телам с более сложной структурой Формула Дебая не применима. Это связано с тем, что у таких тел спектр колебаний (распределение Фононов по квантовым состояниям) оказывается очень сложным.
Мы не собираемся вникать в эти детали. Для нас важен главный вывод: квантовый подход — это единственный путь к решению подобных проблем. Роль электронного газа в теплоемкости кристалла. Расчет показывает, что при Т и 0 средняя энергия свободного электрона в металле имеет вид Глава 4 где зг — энергия Ферми при Т = О. Тогда малярная теплоем- кость электронного газа (4.55) дТ 2 зг По закону Дюлонга и Пти молярная теплоемкость решетки при нормальных условиях С„, = ЗВ. Тогда отношение электронной теплоемкостн к решеточной при нормальных условиях будет равно Сь хз 'вТ (4. 56) С 6зг Поскольку при рассматриваемых условиях йТ «сю то зто означает, что теплоемкость металлов за счет свободных электронов пренебрежимо мала, Напомним, это обусловлено тем, что при обычных температурах в тепловом движении принимает участие лишь небольшая часть общего числа свободных электронов — только те электроны, энергия которых лежит вблизи уровня Ферми.
Таким образом, поведение вырожденного электронного газа резко отличается от поведения обычного газа, его степени свободы оказываются в основном «замороженными». Заметим, что при достаточно низких температурах ситуация становится обратной: теплоемкость электронного газа превосходит решеточную, поскольку последняя уменьшается сю Тэ.
Задачи 4.1. Свободные электроны в металле. Найти функцию распределения бл/ЙХ свободных электронов в металле при Т = О пс дебрсйлевским длинам волн (в расчете на единицу объема). Р е ш е н и е. Число свободных электронов в интервале дебройлевсккх длин волн (А„А + ЙХ) должно равняться вх числу в соответствующем интервале энергий (э, с + йэ), т.е. сйь =- бл,. Имея з виду формулу де-Вройля Х = й/р к связь между э и Х„з именно с = =рл/2т = Ьл/2тхэ, а также формулу (4.13), получим: бл„= 2а Й дз = Г2а йв 41 Кваиговме статкспгки н их применения Знак минус здесь опущен: он не существен. Раскрыв с помощью (4.11) значение а, найдем Ю 4 „=Зк —.
лг Заметим, что это распределение ограничено наименьшей дебройлевской длиной волны 1 „значение которой следует из энергии Ферми гг: )г 2л ~2жзг (3хгл)и Полагая решетку металла кубической с периодом а и содержащую по одному свободному электрону на атом, получим л = 1/аг и 1,» 2а. 4.2.
Дискретность спектра свободных электронов. Вычислкть интервал между соседними энергетическими уровнями свободных электронов в металле при У = 0 вблизи уровня Ферми. Считать, что концентрация свободных электронов л = 2 10гг см з и объем металла Р» 1 смз. Р е ш е н и е. Исходим из формулы (4.13), где учтено, что в каждой фазовой ячейке находятся два электрона с взаимно противоположными спинами. Поэтому бл = 2, и мы имеем 1 Ьз =— а,/з После подстановки в эту формулу значения а (4.11) и з = зг из (4. 15) получим бз " ~" ~ 2 10-ггзВ. 2кю Зл Соответствующую дискретность уровней обнаружить просто невозможно. Именно поэтому спектр энергетических уровней свободных электронов можно рассматривать как непрерывньш (точнее квазинепрерывный).
4.3. Давление электронного газа. Вычислить давление электронного газа на стенки металла при 7 = О, считая, что концентрация свободных электронов л = 2,5 .10гг см з. Глава 4 Р е ш е н и е. Согласно уравнению идеальных газов для давления (1.30) р = гл<з>, з где ш> = (3/5)зр в соответствии с формулой (4.16). После подста- новки выражения (4.15) дла зр получим (3/„)г/з ),г э/з )> =— =5 10 Па =5 10 атвь 20 ш 4.4. Термодинамика фотоюшго газа. Замкнутая полость обьемом Р = 1,0 л заполнена тепловым излучением (фотонным газом), температура которого Т = 1000 К. Найти его а) теплоемкость Сг и б) энтропию 8.
Р е ш е н и е. а) По определению Ср = (дС/дТ/р. Решение сводится к нахождению внутренней энергии У. Это легко сделать, зная, что плотность и энергии излучения определяется формулами (4.29) и (4.30): и = 4М/с = 4аТ'/с. Тогда У = иУ и С„- — ат Р- З 1О Дж/К. 16 с б) В соответствии с теоремой Нернста (3.5) 3= ) — = — аТ У=1 10 Дж/К.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
