И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы' (510776), страница 14
Текст из файла (страница 14)
15) 08 =яг/)и — з =я) — з~ =я)п — 3 . (3Пб) (,У1/ Р1 где Ф вЂ” число молекул в газе. Теперь обратимся к вероятностям. В рассмотренном процессе распределение по скоростям в начальном и конечном состояниях одинаково: оно зависит только от температуры Т, которая не изменилась. Пространственное же распределение молекул стало более «свободным», а значит и более вероятным. В самом деле, вероятность нахождения одной молекулы газа в объеме У1 равна, очевидно, У1/Уе. Вероятность же всех Ю молекул собраться в объеме У1 равна (У1/Ус)л. Обозначим эту вероятность как Р1.
Соответственно (Уз/Ус)~ — как Ра. Тогда отношение этих вероятностей Второе вочояо ториааввоиввв. Эвтроввя ат Поскольку вероятность макросистемы пропорциональна ее статистическому весу, т.е. Р ся Й, последнюю формулу представим так: (3.17) ЛЯ = 31п(Йг/Й1), и мы приходим к знаменитой формуле Больцмана Б = 'я 1п Й, (3.
18) из которой н следует (3.17). Заметим, что приведенные здесь рассуждения не претендуют на вывод формулы (3.18), а представляют собой скорее некоторые пояснения. Строгий вывод этой формулы дается в теоретической физике, где, кстати, показывается, что (3.18) относится не только к равновесным состояниям, но и к неравновесным. Теперь предположим, что макросистема состоит из двух практически не взаимодействующих подсистем, одна из которых находится в состоянии 1 с энтропией Ят и статистическим весом Йы а другая — в состоянии 2 с энтропией Яг и статистическим весом Йг Число способов (микросостояний), которыми может реализоваться рассматриваемое состояние макросистемы„равно произведению чисел способов, т.е.
Й1 и Йг, которыми могут быть осуществлены состояния каждой из подсистем в отдельности: (3.19) Й = Й,.Йг. Отсюда следует, что Я = я 1п(Йгйг) = я 1пйт + й 1пйг = Я, + Бг, как и должно быть, поскольку энтропия — величина аддитивная. Это, как видно, согласуется с (3.18). Принцип возрастания энтропии со статистической точки зрения привел Больцмана к фундаментальному выводу: осе замкнутые макросистемы стремятся переходить от еостлояний менее вероятиныл к более вероятным.
При этом сама энтропия Я характеризует степень беспорядка в макросистеме: состояниям с большим беспорядком отвечает ббльшая вероятность (или статистический вес Й), чем у более упорядоченного состояния. Глава 3 С этим связана и необратимость реальных самопроизвольных тепловых процессов: они протекают так, что беспорядок в макросистеме увеличивается. С этим связан н тот факт, что любой вид энергии переходит в конце концов во внутреннюю энергию, т.е. в состояние, при котором «хаос» в макросистеме максимален.
Это состояние является равновесным, его энтропия Я = макс. Каково бы ии было первоначальное состояние макросистемы (например, газа), будучи теплоизолированной она неизбежно переходит в состояние, при котором распределение молекул по скоростям будет максвелловским, а во внешнем поле еще н больцмановским. Энтропия и судьба.Вселенной. Принцип возрастания энтропии приводит к мысли (Клаузиус), что энтропия Вселенной приближается к максимуму, по достижении которого во Вселенной прекратятся какие бы то ни были процессы. Должно наступить абсолютно равновесное состояние, в котором никакие процессы уже невозможны. Наступит тепловая смерть Вселенной.
В связи с этой концепцией Больцманом была высказана так называемая флуктуационная гипотеза. Больцман не отрицал применимость принципа возрастания энтропии ко всей Вселенной в целом (а такие сомнения высказывались), но он обратил внимание на статистическую природу этого закона. Поэтому отступления от термодинамического равновесия Вселенной— флуктуации — не только возможны, но и неизбежны. Сейчас мы имеем дело с гигантской флуктуацией. Она должна исчезнуть. Тогда наступит тепловая смерть Вселенной. Однако через некоторое время снова возникнет гигантская флуктуация, и Вселенная выйдет из состояния тепловой смерти.
Затем опять все повторится, и так без конца. В настоящее время установлено, что вывод о «тепловой смерти» Вселенной и первоначальные попытки его опровержения являются несостоятельными, поскольку в них не учитывалось вдияиие тяготения. Выяснилось, что из-за тяготения однородное изотермическое распределение вещества во Вселенной не соответствует максимуму энтропии, поскольку такое состояние не является наиболее вероятным. Вселенная нестационарна Второе начале термодинамики. Эитренил — она расширяется, и первоначально однородное вещество распадается под действием сил тяготения, образуя скопления галактик, сами галактики, звезды и т.д.
Эти процессы происходят с ростом энтропии — в соответствии со вторым началом термодинамики. И ниоткуда не следует, что эти процессы приведут к однородному изотермнческому состоянию Вселенной, т.е. к «тепловой смерти» Вселенной. $3,6. Термодинамические соотношения В исходную формулу (3.2), являющуюся определением энтропии, подставим выражение для а'ь) нз первого начала термодинамики: а3 = — ау+ — ау.
р Т Т (3.20) Это выражение наводит на мысль рассматривать энтропию как функ- цию двух переменных — внутренней энергии У и объема )г, т.е. Я(У, У). Тогда в соответствии с общим правилом определения диффе- ренциала функции нескольких переменных а3 = — ау + — а)г. (3.21) Из сравнения (3.21) с (3.20) видно, что — — — — (3.22) ау = — ат+ — а .
(3.23) Подставив зто выражение в (3.20), получим аЗ = — — аТ+ — — + Р <Ь", Эти равенства начинают собой длинный ряд различных термодинамических соотношений, которые получаютси при переходе от энтропии 8 к другим функциям (так называемым термодинамическим потенциалам), а от переменных У и г' к другим переменным. Представим энтропию как функцию переменных Т и г', т.е. 3(Т, У). ДифФеренциал внутренней энергии в этих переменных Глава 3 откуда следует, что Если исключить энтропию 8 из этих равенств, то можно получить соотношение между более привычными переменными. Для этого продиффереицируем первое равенство (3.24) по»г, а второе — по Т.
Из равенства правых частей — смешанных производных, дТду дУоТ получим ТдТд»г дТ Т дУ г Т После выполнения дифференцирования и сокращения получим; (3.2б) Чтобы не возникло впечатления, что термодинамические соотношения — это просто какие-то математические упражнения в частных производных, покажем на следующем примере, какие глубокие физические результаты можно извлечь из этих соотношений. Пример. Зная, что давление теплового излучения р = и/3, где и = У/К вЂ” плотность излучения, являющаяся функцией только Т, найдем уравнение состояния этого излучения.
Подставим приведенные выражения для р и и в (3.23): д(и» 1 д — — = — — (иг ), дТ ~(ЗТ~ Т' др откуда ди/дТ = 4и/Т, или ди/и = 4дТ/Т. Это дифференциаль- ное уравнение представим в виде д»л (и/Тз» О. Значит, и/Т' = сопвФ, т.е. и со Т'. Мы получили важный резу- льтат, подтвержденный акспериментально. Второе качало термодвнаникн.
Энтропия В заключение затронем вопрос, связанный с так называемыми термодинамичесними потенциалами. Так называют функции состояния, на использовании которых основаны все расчеты в термодинамике. Существует множество таких функций, но лишь некоторые играют важную роль. Мы ограничимся двумя — внутренней энергией У и свободной энергией Р, поскольку другие нам не понадобятся. Внутренняя энергия У. С атой функцией мы уже познакомились. Представим первое начало термодинамики с учетом того, что й'Я = Тдд, в виде (3. 26) Это соотношение позволяет утверждать, что — = Т, — = -р.
(3.27) Из того же первого начала следует, что при отсутствии теплообмена с окружающей средой работа, совершаемая макросистемой, равна убыли внутренней энергии: (3.28) А = — ЛУ. Это соотношение, кстати, может служить термодинамическим определением внутренней энергии. Свободная энергия Р. Перепишем (3.26) в виде с('А = -дУ + Т68. (3.29) При изотермическом процессе (Т = сопеФ) работа дА может быть определена как г('А = — д(У вЂ” ТБ) = -др, (3.
30) где Р и есть свободная энергия: (3.31) Таким образом, работа, совершаемая макросистемой при изотермическом процессе, равна убыли свободной энергии: (3. 32) При изотермических процессах свободная энергин Р играет роль потенциальной энергии: ее убыль равна производимой работе, и равновесному состоянию макросистемы соответствует р = мин. Глава 3 92 Представим Р как функцию двух переменных.
Для этого возьмем дифференциал от (3.31) и примем во внимание (3.26). Тогда ар = ас — а(т8) = та8 — рау — таз — яат = -ра — я |т. (3.33) Отсюда следует, что — = р, — = -Я. (3.34) Аналогичные соотношения можно извлечь и из других термодннамических потенциалов. Задачи 3.1. Энтропия. Один моль идеального газа с известным значением теплоемкостн Сг совершает процесс, при котором его энтропия 8 зависит от температуры Т как Я = а/Т, где а — постоянная. Температура газа изменилась от Т, до Т,. Найти: а) малярную теплоемкость газа как функцию Т; б) количество теплоты, сообщенной газу.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
