И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы' (510776), страница 11
Текст из файла (страница 11)
Подстановка в последний интеграл выражения ф(и„) согласно где ои> =,~ИТ(пт. Полученный результат (4) соответствует формуле (1.27). Таким образом, мы получили точное значение коэффициента в формуле (1.27): не 1/6, а 1/4. 2.7. Определить с помощью распределения Максвелла давление, оказываемое газом на стенку, если температура газа Т и концентрация молекул л. Глава 2 (2.16)и введение новой переменной Х = и /т/2лТ позволяет фор- мулу (2) представить в виде 4лйТ ) з з Р = — ) Х ехР(-Х ) о)1. чг„- ! (3) Этот интеграл табличный, он равен тгх/4, поэтому в результате р=лйТ, что и следовало ожидать. Р е ш е и и е.
Согласно распределению Больцмана отношение час- тиц в слоях 1 и 2 определяется как Жз/М, = ехр(-(т — то~ай/ХТ), где учтено, что частицы находятся в поле, образованном совмест- ным действием силы тяжести (тд) и силы Архимеда (-той). Пре- образуем разность масс в круглых скобках выражения (1): т — то АР Р = (Я/6)с)зАР. (2) После подстановки (2) в (1) соотношение (1) представим в виде Ф~ яс( дйЬр (3) откуда, имея в виду, что И,/Фз = 1), следует х (згАЛр 6Т)пи 2.9. Потенциальная энергия молекул газа в некотором центральном потенциальном поле зависит от расстояния г до центра поля как У = агз, где а — положительная постоянная.
Температура газа Т, концентрация молекул в центре поля ло. Найти: 2.8. Распределение Больцмана. При наблюдении в микроскоп взвешенных частиц гуммигута обнаружено, что среднее число их в тонких слоях 1 и 2, расстояние между которыми по высоте равно Ь, отличается друг от друга в и раз (и = Ж,/Жз). Температура среды Т„диаметр частиц д и их плотность на Лр больше плотности окружающей жидкости. Найти по этим данный постоянную Больцмана. Статистическая физика. Распредеяеаия Максвелла н Больдмака 69 а) число молекул й)т с потенциальной энергией в интервале (У, У+ ЙУ); б) наиболее вероятное значение потенциальной энергии молекул.
Р е ш е н и е. а) Молекулы с такими значениями У будут находиться в сферическом слое объемом й)г = 4лгзйг. Тогда й)У = лое иоо' 4лг'йг. Поскольку У = агз, то ЙУ = 2агйг и формулу (1) можно представить в виде й)У = (2лло~ааа)е-и~огчУЙУ (2) б) Решение сводится к нахождению У, при котором функции ЙФ/ЙУ в уравнении (2) имеет максимум. Обозначив ЙФ/ЙУ как г(У), запишем условие, при котором г" = макс (из вида этой функции будет видно, что мы имеем дело именно с максимумом). Итак, вычислив производную й~/ЙУ и приравняв полученный результат к нулю, получим У„= кТ/2.
2.10. Распределение Максвелла — Больцмана. Газ из молекул массы т находится в центральном поле, где потенциальная энергия молекул равна У(г), г — расстояние от центра поля, Температура газа Т, концентрация молекул в центре поля ло. Найти число молекул ЬФ в тонком сферическом слое (г, г+ Ьг) со скоростями, отличающимися от наиболее вероятной не более, чем на Ьд-часть (бд к 1). Р е ш е и и е. Число молекул в данном слое ЬЖо = л,е и'"т4лг2бг. Из них доля молекул, скорости которых отличаются от и„р не более, чем на Ьи, определяется формулой д згз ЬР = Р(и) би = 4л ! и ехр~ — — ) Ьи, т з ти (2) 2 л)оТ~ 2 яТ) где вместо и надо подставить и „=,/2лТ(т и вместо Ьи — велиби чину и „вЂ” = и„.
2бд. 'Тогда (2) примет вид ивор то Глава 2 Искомое значение ЬФ равно произведению (1) на (3): бйг - ЬМо'ЬР - 32~(злое Юю~лбгбц, где Е = У + 3Т. Р е ш е н и е. Воспользуемся формулами (1.41) для дозволенных значений вращательной и колебательной энергии. Для большей ясности изобразим интересующие нас уровни (рис. 2.18). Согласно распределению Больцмана (2.40), Е(и=г=1) Рвс. 2.13 )Укол 1 ~'з 3 /1 ехр— Ж р 2г '~ 1 ~ Й7 1 ( 3(сз — Ь/1) 2.11. Дискретное распределение Больцмана. Найти отношение количеств молекул водорода на первых возбужденных колебательном и вращательном уровнях при температуре газа Т = 880 К.
Собственная частота колебаний молекулы в = 0,83 10'з с ', ее момент инерции 1 = 4,6.10 зэ г.смз. Глава 3 Второе начало термодинамики. Энтропия цг 5 3.1. Второе начало термодинамики Первое начало термодинамики представляет собой по сути обобщение закона сохранения энергии на тепловые явления. Оно устанавливает количественные соотношения между превращениями одних видов энергии в другие. В отличие от него второе начало определяет условия, при которых возможны эти превращения, а также возможные направления протекания процессов. Оказывается, не все процессы, разрешенные первым началом, возможны. Существует несколько формулировок второго начала. 1. Клаузиус (1850): невозможен самопроизвольный переход тепла от менее к более нагретому телу, или невозможны процессы, единственным конечным результатом которых был бы переход тепла от менее к более нагретому телу. Тот факт, что, например, в холодильнике совершается переход тепла от холодильной камеры в комнату, не противоречит этому утверждению, поскольку этот процесс не является самопроизвольным: для его осуществления потребляется электрическая энергия.
2. Кельвин (18б1): невозможны процессы, единственным конечньиз результатом которых было бы превращение тепла целиком в работу. Казалось бы, что этому противоречит, например, процесс изотермического расширения идеального газа, где все полученное газом тепло превращается в работу. Однако это не единственный конечный результат процесса: при этом происходит изменение объема газа.
Заметим, что слово единственный в обеих формулировках является весьма существенным, без него они теряют смысл. Приведенные формулировки второго начала эквивалентны, из одной неизбежно следует другая. В самом деле, если бы 72 Глава 3 А (гт- вг Юз т)= — = т =1 —— % % 9 (3. 1) Опыт показывает, что всегда т) < 1. Значение т) = 1 запрещено вторым началом.
можно было осуществить процесс, запрещенный по Кельвину, то тепло, отнятое от какого-либо тела, можно было полностью превратить в работу, а затем, превратив эту работу целиком в тепло (трением), передать это тепло другому телу с более высокой температурой. В результате мы имели бы процесс, невозможный по Клаузиусу.
Если бы не второе начало, можно было легко решить энергетическую проблему — построить двигатель, который отнимал бы тепло из океанов и целиком превращал его в работу. Подобный двигатель по своим практическим последствиям представлял бы перпетуум-мобиле 2-го рода (в отличие от вечного двигателя — ле-мобиле 1-го рода). При современном потреблении энергии человечеством температура океанов за 1000 лет уменьшилась бы не более, чем на один кельвин.
Это позволяет перефразировать формулировку Кельвина так: перпетуум. мобиле 2-го рода невозможен, или невозможно создать тепловой двигатель с КПД т) = 1. Напомним, КПД теплового двигателя д = А/(е, где (е — сообщенное двигателю тепло, А в произведенная им работа. Любой тепловой двигатель работает по замкнутому циклу, Р например, как на рнс.
3.1. Если процесс совершается по часовой стрелке, то работа, производимая двигателем за цикл, А > О. Пусть Ят — поглощенное тепло, а 92 — отдаваемое тепло (Цз >0). Опыт показывает, что тепло 92 неизбежно существует в любом тепловом двигателе (как тепловой «шлак«).
По первому наРвс. ЗЛ чапу за цикл приращение внутренней энергии рабочего вещества АУ = О, поэтому А = ««тт — ег. Эффективность теплового двигателя определяют его КПД: тз Второе начало териодвэамнка. Эатроэвя Проблема необратимости процессов. По существу все процессы в макросистемах являются необратимыми (строго говоря, таковыми являются и процессы, которые мы называли обратимыми — это идеализация, удобная для решения многих важных вопросов). Возникает принципиальный вопрос: в чем причина необратимостиу Это выглядит особенно странно, если учесть, что все законы механики обратимы во времени.
И тем не менее, никто не видел, чтобы, например, разбившаяся ваза самопроизвольно восстановилась нз осколков. Этот процесс можно наблюдать, если предварительно засняв на цленку„просмотреть ее в обратном направлении, но никак не в действительности. Загадочными становятся и запреты, устанавливаемые вторым началом термодинамики. Решение этой сложной проблемы пришло с открытием новой термодинамической величины — энтропии — и раскрытием ее физического смысла.
5 3.2, Энтропия Открытие Клаузиусом энтропии — одно из самых удивительных, сделанных «на кончике пера», т.е. чисто теоретически. Несмотря на это обстоятельство и отсутствие приборов, которые бы измеряли энтропию вещества, это понятие оказалось необычайно плодотворным. Энтропия 8 вводится через ее элементарное приращение как ее (3.2) Следует обратить внимание на особенность этой формулы. Как мы знаем, йЯ не есть приращение какой-то функции, но после деления на температуру Т, оказывается, получается приращение некоторой функции (энтропии).
В отличие от теплоты, энтропия такая же функция состояния как температура, внутренняя энергия или давление. Полученное системой тепло 9 зависит от процесса перехода из начального состояния в конечное, приращение же энтропии Л8 совершенно не зависит от процесса, а только от начального и конечного состояний. Гааза 3 В интегральной форме соотношение (3.2) имеет вид «1'9 Э2 Э1 Т (3. 3) Свойства энтропии 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
