И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы' (510776), страница 20
Текст из файла (страница 20)
сйУ 16 з э Т Зс 4.5. Найти уравнение адиабаты (в переменных Т, У) для равновесного фотонного газа, имея в виду, что его давление р зависит от плотности энергии и как р = и/3. Р е ш е н и е. По определению адиабатического процесса 40-4С+рйг -О. В нашем случае это выгладит так: 4(ир) + (и/З)4У - О. Отсюда следует, что би 4 й)Р— + — — =О, и 3 Р Кваатозые статистики и их вримеаеиаа и 1пи + (4/3)1пЪ'= сопзС, или 1п(и)э'~з) = сопя(. Поскольку и Т', то в результате получим У7е - сопзи пж 4лВ оЬ б 1 109 — — — 51 10 /. пг сз)~ Это гигантская, на первый взгляд тревожная, величина.
Но масса Солнца т = 2 10зэ кг. При такой интенсивности излучения масса Солнца уменьшится, скажем, на 1% за время г= ж . зэ ы э 4 ° 10 с 10 лет. !а Гас~ Так что ситуация не безнадежная. 4.7. О квантовых осцилляторах. Система квантовых осцилляторов с частотой э находится при температуре Т. С какой вероятностью Р„ можно обнаружить в атой системе осциллятор с энергией з„=(о+ 1/2)Ьэу Квантовое число о задано.
Р е ш е н и е. Искомая вероятность по определению есть Р, )У„/ЛГ, где )э'„= Аехр( — з,/ЬТ), )У вЂ” полное число осцилляторов с часто- той э. Раскроем правую часть равенства (1): А ехр(-з„/ЙТ) е "* А ехр(-г (ЬТ) (2) =э 4.6. Излучение Солнца по своему спектральному составу близко к излучению черного тела, для которого максимум излучения приходится на длину волны 1„ = 0,48 мкм.
Найти массу, теряемую Солнцем ежесекундно за счет этого излучения. Р е ш е н и е. Поток излучения с поверхности Солнца равен Ф= 4хВзМ, где  — радиус Солнца, М вЂ” энергетическая светимость. Согласно закону Стефана-Больцмана (4.30) и закону смещения Вина (4.33), М = о7"' = оЬэ/Лэ„. Поток Ф вЂ” это энергия, теряемая Солнцем ежесекундно. Разделив Ф на сз, получим соответствующую массу в кг/с. Таким образом, глава 4 где х = Ы/)<7.
Сумма членов бесконечной геометрической прогрес- сии равна 1/(1-е *), поэтому (2) в результате примет вид Р„- е '*(1 — е *). Ьт Ы <6> = — + ы>ьг Р е ш е н и е. Согласно распределению Больцмана число осцилля- торов с энергией, соответствующей квантовому числу г, равно Ф„= А ехр(-с„/)<У), где А — нормировочный коэффициент.
Тогда средняя энергия <ю определяется формулой ~~' с„Ф„~ з,ехр( — ас„) ХФ. 7 *Р(:.) где а = 1/)<г'. Здесь суммирование проводится по о от 0 до са,и де- лается это так: 3 <з> = — — )п ~~~ ехр(-ас„). дя (2) Известно, что сумма членов бесконечной геометрической прогрес- сии Е = а,/(1 — д), где а, — первый член прогрессии, о — ее знаме- натель. В нашем случае это за~>з ~ехр( — аз,) = 1 — е "" (3) Остается взять производную по а от (3) и не забыть знак минус.
В результате получим приведенное в условии выражение для <е>. 4.9. Фоконы. Оценить максимальные значения энергии и импульса фонона в меди, дебаевская температура которой <3 = 330 К и плотность р = 8,9 г/смз. 4.8. Средняя энергия квантового осцнллятора. Имеется система, состоящая из невзаимодействующих квантовых осцилляторов с одной и той же частотой и Энергия каждого осциллятора может принимать значения с, = (о + 1/2)Ъ, где и = О, 1, 2,... Используя распределение Больцмана, показать, что средняя энергия таких осцилляторов Квантовые статистики и нх ирямевеаиа Р е ш е н и е. Максимальную энергию фонона находим с помощью (4.50»: з„,„, /зО = 3 10 з эВ.
Для максимального импульса имеем Р = а/) азу. (*) Согласно (4.47) 1„„, э 23, где д находим из условия в э 1/~(з и и = (Ф~/М)р, М вЂ” молекулярная масса. Отсюда д ч'М/Ф„Р . В итоге формула (") примет вид р а» Ь/2с( = (Ь/2) фаз/М = 1 4 ' 10 г'си/с. 4.10. Оценить давление фононного газа в меди, дебаевская температура которой О = 330 К. Концентрация атомов меди равна аз = 0 84.10гз см-з Р е ш е н и е. Давление идеального газа (в нашем случае фоно- нного) согласно (1.30) равно р =-(/, 3 з где У вЂ” энергия единицы объема фононного газа, определяемая формулой (4.48). Введем новую переменную х = 'лг/ИТ и преобразуем (*) к виду Теперь учтем, что Т = О, согласно (4.49) х„= 1 и значение интеграла (табличное) равно 0,225. В результате получим: р = Бпз)зО 0,225 = 5-10з Па - 5 10з атм. 4.11.
При нагревании кристалла меди массы ш от Тз до Тз ему было сообщено количество теплоты (3. Найти дебаевскую температуру О для меди, если известно, что молярная теплоемкость кристалла при этих температурах зависит от Т как 12х В з С Тз 5 Оз Глава 4 Р е ш е н и е. По определению искомая теплота г ф Е= ).с<т) )т= — — —,р; -т,) Зл тВ МО 3 где 1 — количество вещества (т/М). Отсюда 3 Зк ~~~)' 4 4 О = — — (7~ — 7~ ) . Ь МЯ Состояния вещества р 5.1.
Изотермы Ван-дер-Ваальса Теоретические нзотермы. Анализ нзотерм ван-дер-ваальсовского газа дает возможность получить весьма существенные результаты. На рис. 5.1 показаны трн нанболее характерные нзотермы (1, 2, 3), соответствующие р уравненню (1.42) Ван-дер-Ваальса прн температурах Т, < Тз < Тз. К Прн достаточно высокой темпера- В туре нзотерма близка к нзотерме идеального газа. Но прн темпера- 2 туре Тз на нзотерме появляется точка перегиба К, в которой А др/дУ= О. Точку К называют критической точкой. Соответствую- Рас. 5.1 щне ей температуру н нзотерму называют также критическими. Еще интересней ведет себя нзотерма прн Т,: она содержнт волнообразный участок, между точками А н В которого др/Л') О. Очевидно, такого не может быть, чтобы с нзотермнческнм увеличением объема росло бы н давление.
Экспернментальные нзотермы. Что же дает экспернменту Его результаты представлены на рнс. 5.2. Первое впечатление от этого рисунка — тут что-то не так: ведь горизонтальный участок Р говорит о том, что с нзотермнге- ., К скнм увеличением объема газа его ." ~:-~Ф давление не меняется. Но горнзонтальный участок наблюдается, н с 3 ннм связано новое явление.
Пред- "."" за "-;, *"«В ставим себе прозрачный цилиндр -, - "-:;,-" * 1 с поршнем н внутри цилиндра— .'-'Ъ газ. Начнем его сжимать по нзотерме 1 н следить за тем, что про- Глава 5 исходит в цилиндре. При достижении объема У, цилиндр заполнен одним газом, но при дальнейшем сжатии наряду с газом появится жидкость, количество которой постепенно будет расти, а давление оставаться постоянным. Когда объем достигнет У, он целиком окажется заполненным жидкостью. Таким образом, на участке Ст) мы наблюдаем так называемый фазовый переход вещества из газообразного состояния в жидкое. Это позволяет сделать вывод: если фазовый переход происходит изотермически, то он совершается при р = сопз$. Оказывается, это общее свойсттво всех Фазовых переходов: не только газообразной Фазы в жидкую (и наоборот), но и жидкой фазы в твердую и т.д.
Вообще, фазой называют физически однородную часть вещества, отделенную от других частей системы границей раздела. Например, вода и лед, вода и ртуть, графит и алмаз, но вода н спирт — это одна Фаза. Вернемся к рис. б.2, где показаны экспериментальные изотермы. Всем горизонтальным изотермам в области под пунктирной кривой (она слабо тоннрована) соответствуют двухфазные состояния — жидкость с паром, находящиеся в равновесии друг с другом. Такой цар называют масыщеппьсм. Левее двухфазной области расположена область, соответствующая одной фазе — жидкости (она тонирована сильнее).
Здесь изстермы идут очень круто, что отвечает малой сжимаемости жидкости. Правее двухфазной области вещество находится в газообразном состоянии. Причем все состояния вне этой двухфазной области неплохо описываются уравнением Ван-дер-Ваальса. Это говорит о том, что данное уравнение описывает состояние вещества не только в газообразном, но и в жидком состоянии*.
Таким образом, если газ начинают сжимать, например, по изотерме ( (см. рис. 5.2), то он переходит в двухфазное состояние (горизонтальный участок изотермы СП) жидкость + насыщенный пар. Объем жидкой Фазы растет по мере приближения к точке С, после которой остается одна фаза — жидкость.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
