И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы' (510776), страница 24
Текст из файла (страница 24)
В конечном состоянии отметим все 1 ! ! величины штрихом. И 7г, 7г Рвс. 5.17 150 Глаза 5 Составим баланс масс и объемов обеих фаз в конечном состоянии (1) т Разделим последнее выражение на (г: (2) Перепишем зто выражение через д, л и Ф: 1 = Ч + л П)У. (3) Отсюда следует, что О = (л — 1)/(Ьà — 1). ЯТ а Р= )и Ь гм В критической точке К производная др(дУ = О„ т.е. др ЯТ 2а + — = О.
д(" (\'и — Ь) (2) Кроме того, критическая изотерма в точке К испытывает перегиб. Это значит, что в точке К вторая производная дзр/дрз = О, или дзр 2ВТ ба дУ (Рм — Ь) Рм (3) Исключив ЯТ из уравнений (2) и (3), получим: (4) Подстановка (4) в (2) дает: 8а Т„ 27ЬВ Подставив, наконец, (4) и (б) в формулу (1), получим: а Рз 27Ь 3.2. Критическое состояние. Определить для критического состояния вещества, ван-дер-ваальсовские постоянные которого а и Ь известны, значения следующих критических величин: малярного объема (гн„р, Т„р и Р,р Р е ш е н и е. Из уравнения Ван-дер-Ваальса (1.42) следует, что Состоянвв вещества Отметим попутно, что, как легко показать, связь между этими критическими величинами имеет вид з от Рвэ м«э э "иэ ' 5.3.
Энтропия и фазовые переходьь Лед с начальной температурой Т„ равной температуре таяния, сначала изотермически превратили в воду, а затем при температуре кипения Тз — в пар. Найти приращение Л8 удельной энтропии системы в этом процессе. Р е ш е н и е.
Данный процесс состоит из трех частей: таяния (плавления), нагрева образовавшейся воды от Т, до Тз и превра- щения ее в пар. Соответственно можно записать в расчете на еди- ницу массы: т а8 = — '" + ) с — + гса = — + с1п — т — '--~ ) бт р„. д т, д, Т2 т Тз Т2 Т1 Тз 1 где д и р„а — удельные теплоты плавления и парообразования, с — удельная теплоемкость воды. а 1и р = — — — Ь 1п Т + сопэ$, Т где а и Ь вЂ” положительные постоянные. Найти малярную теплоту испарения ртути как функцию температуры, д(Т). Р е ш е н и е. Воспользуемся уравнением Клапейрона-Клаузиуса (Ь.З). Учитывая, что малярный объем пара значительно больше, чем у жидкости (У в 1' ), запишем ф ~ат = в ту.
Теперь найдем производную бр/бт из уравнения, приведенного в условии задачи: 1 2)р а 1 — — = — — Ь— р бт т' т (2) Совместное решение уравнений (1) и (2) дает й = ТЭ' — = )1(а -ЬТ). ар йт 5.4. Уравнение Клапейрона-Клаузиуса. Давление р насыщенного пара ртути зависит от температуры Т по закону Глава Ь 5.5. Водяной пар, заполняющий пространство под поршнем в цилиндре, сжимают так, что он все время остается насыщенным, находясь иа грани конденсации. Полагая для простоты, что удельная теплота парообразования равна о и не зависит от температуры Т, найти молярную теплоемкость С пара в данном процессе как функцию Т.
Пар считать идеальным газом, Р е ш е н и е. Согласно (1.13) прежде всего найдем, что а (Вт') Вт ар р — =р — — = — — —. ат= ат( р ) р ат Следовательно, теплоемкость С есть С = Су + В Вт ар р аТ (2) Указанный в условии задачи процесс на диаграмме р, Т идет по кривой парообразования.
Для него справедливо уравнение Кла- пейрона-Клаузиуса: ар й мд ат тъ тъ", (3) где М вЂ” молярная масса, г' — молярный объем пара (объемом жидкости мы пренебрегаем). Подстановка (3) в (2) с учетом идеальности газа дает С - С вЂ” Мг((Т. Р е ш е и и е. Из формулы (5.6) следует, что максимальная толщина слоя ртути возможна при условии, что радиус кривизны мениска В = мин.
Из рис. 5.18 видно, что ето будет при условии В = г. В етом случае поверхностное натя- жение а направлено вертикально вверх, и соответствующая суммар- ная сила будет максимальной. Та- ким образом В я 2 а/рог„ 7 Рвс. 5.18 где р — плотность ртути. 5.6. Капнллярные явления. В дне стеклянного сосуда со ртутью имеется малое круглое отверстие радиуса г.
При какой толщине слоя ртути она не будет вытекать через это отверстие2 Состеянвя вещества 153 5.7. На мыльном пузыре радиуса а «сидить пузырь радиуса Ь. Имея в виду, что Ь < с, найти радиус В кривизны пленки, их разделяющей (рис. 5.19). Каковы углы между пленками в месте их сопрнкосновения2 Р е ш е н и е. Запишем выражение для избыточного давления в обоих пузы- рях: Рвс. 5.19 2а Арь =2 Ь 2а Лр,=2 —, а где коэффициент 2 учитывает тот факт, что пленка имеет два по- верхностных слоя. Из условия равновесия на границе раздела обо- их пузырей следует, что 2а 2 — = Лрь — Лр .
В а' (2) Совместно решая уравнения (1) и (2), нахо- дим аЬ а — Ь Далее, сумма трех сил поверхностного натяжения при равновесии должна равняться нулю (рис. 5.20), откуда 6 = 120 . Рве. 5.20 Р е ш е н и е. Работа А, совершаемая силами поверхностного натя- жения при поднятии жидкости, идет на сообщение ей потенциа- льной и кинетической энергии: Если бы не было сил трения, уровень жидкости в капилляре совершал бы гармонические колебания около равновесного положения.
Благодаря трению, кинетическая энергия К переходит 5,8, Вертикальный капилляр привели в соприкосновение с поверхностью воды. Какое количество тепла выделится при поднятии воды по капилляру2 Смачивание считать полным, поверхностное натяжение равно а. Глава б во внутреннюю энергию, т.е. выделяется тепло 12 = К. Учитывая формулу (5.11), запишем выражение для работы А: А = а 2лгй = 4па~/ру. Приращение же потенциальной энергии ЬП = гпяй/2 = 2па~/ру, где т = пгэйр. В результате получим й = А — ЬП = 2лаэ/рб.
5.9. Получить формулу (5.11) для Ь, пользуясь энергетическими соображениями и не делая каких-либо предположений о фордй ме мениска. Р е ш е н и е. Равновесное положение мениска должно соответ- Ь ствовать минимуму энергии Е системы жидкость — капилляр. Эта энергия слагается из поверхностной энергии и потенциальной энергии жидкости в поле тяготения. Мысленно представим себе, что уровень жидкости в каРис. 5.21 пилляре поднялся на дй (рис. 5.21, о).
При этом поверхность соприкосновения жидкости со стенкой капилляра увеличится на 2пп1Ь, и энергия получает приращение дЕ = 2пгдй(о — а,„) + (лгэ дй р)яй, где первое слагаемое — приращение свободной энергии, второе— приращение потенциальной энергии столба жидкости. Далее следует учесть, что при равновесии (рис. 5.21, б) (2) о =а та „сов8г и вблизи равновесия выражение (1) равно нулю, д.Е = О. В результате получим 2пга совб = (рпгзй)б.
Отсюда и следует формула (5.11). Сословная вещества 155 5.10. Теплота образования поверхностного слоя. Рассмотрев цикл Карно для пленки жидкости, показать, что при изотермическом процессе теплота, необходимая для образования единицы площади поверхностного слоя аа ) =-Т— ат где аа(ат — производная поверхностного натяжения по температуа ре. Р е ш е н и е; Проведем с пленкой Пз цикл Карно, у которого температу- аг ра нагревателя Тз отличается на очень малое Ьт от температуры Т, холодильника.
Этот цикл изображен на диаграмме а, Я (рис. 5.22), Я где Я вЂ” площадь пленки. Здесь учтено, что с ростом температуры а уменьшается, поэтому иа рисунке цикл Карно выглядит как «перевернутый». Но ход рассуждений от этого не меняется. При растяжении пленке сообщается теплота За цикл пленка совершает работу А = А,з + Азо Учитывая, что в изотермическом процессе работа равна убыли свободной энергии, т.е. А = — Ьг = -аЛЯ, запишем выражение для работы как а'А = — а,ЛЯ вЂ” аз(- ЬЯ) = (п,— а,)ЬЯ = аа ЬЯ. (2) По теореме Карно, учитывая (1) и (2), получим: аА т,-т, -ат ап АЯ р, т, т ).Ая ' Из последнего равенства приходим к выражению в тексте задачи.
5.11. Плазменные колебанкя. Под действием некоторой причины электронная компонента плазмы, имеющая форму плоского слоя, сместилась на некоторое расстояние х перпендикулярно слою (рис. 5.23). Вследствие этого возникли поверхностные заряды (как Рве. 5.23 Глава 5 Р е ш е н и е. На электронную компоненту плазмы в этом случае будет действовать сила Р = оЕ, где с — суммарный заряд элект- ронов (о < О). Если суммарная масса этих электронов равна т, то согласно основному уравнению динамики где ń— проекция напряженности электрического поля, созда- ваемого зарядами на поверхности слоя.
Известно, что, как и в конденсаторе с поверхностной плотностью заряда о, о епх ю со сс (2) где е — элементарный заряд„п — концентрация электронов, пх — число электронов на единицу площади заряженного поверхностного слоя. Заметим, что в рассматриваемый момент (см. рис. 5.23) Е„> О и х > О. Подставим (2) в (1) и учтем, что т = Фт, и д = Ф(-е). Тогда (1) можно преобразовать к виду пе хе х =О. ссГй, Таким образом, мы пришли к уравнению гармонических колеба- ний с циклической частотой на плоском конденсаторе) и соответствующая возвращающая сила, что привело к возбуждению плазменных колебаний. Найти их частоту а, если концентрация электронов равна и. Глава 6 —— Неравновесные макросистемы е В предыдущих главах основыое внимание было уделено равыовесным макросистемам.
Однако, строго говоря, равновесные системы — это идеализация. Повседневыо нам приходится встречаться только с неравыовеснымн системами'. Физика неравновесных систем развивается, имея большие перспективы. Мы не будем затрагивать общие вопросы атой области науки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
