И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы' (510776), страница 27
Текст из файла (страница 27)
Это может быть энергия, импульс, электрический заряд и др. Ясно, что при наличии градиента величины С должен возникнуть поток в сторону ее уменьшения. Пусть величина С меняется то- С лько в направлении оси Х, например, так, как показано на рис. 6.8. Площадку Я будут пронизывать молекулы, движущиеся во встречных направлениях, их плотности потоков обозначим )' и у". Причем — это существенно — они должны быть равны друг другу ()' = у"), что- х-1 х х+1 Х бы не возникало газодинамических Рис.
6.6 потоков и чтобы все процессы сводились только к переносу величины С. Тогда для результирующей плотности потока величины С можно (см. рис. 6.8) записать: Глава а Благодаря малости Х разность значений величины С в скобках представим в виде С' — С" - — 2Х. дС дх (6.20) С учетом этой формулы выражение (6.19) запишем так: (6.21) Это и есть общее уравнение переноса для любой величины С. Здесь пс — концентрация молекул, ип — их средняя тепловая скорость.
Значения этих величин берутся в сечении Я. Применим это уравнение к трем наиболее интересным явлениям переноса, связанным с диффузией, вязкостью и теплопроводностью. Диффузия. Ограничимся рассмотрением самодиффуэии, т.е. процессом перемешивания (взаимопроникновения) молекул одного сорта. Макроскопически самодиффузию наблюдать нельзя: из-за тождественности молекул она не может проявляться ни в одном явлении.
Для наблюдения этого процесса часть молекул газа надо как-то «пометить». Практически это можно сделать с помощью так называемых «меченых» атомов: смесь газов берут из двух изотопов одного и того же элемента, один из которых радиоактивен. Тогда процесс диффузии можно наблюдать, регистрируя радиоактивное излучение радиоизотопа. Можно также взять смесь двух различных газов, молекулы которых почти одинаковы по массе и размерам (такие, например, как г)з и СО).
В этом случае у обеих компонент газа будут одинаковы как средние скорости„так и длины свободного пробега, т.е. <и> и Х. Чтобы отсутствовали газокинетические потоки и перемешивание молекул происходило только за счет диффузии, необходимо (так мы и будем считать), чтобы суммарная концентрация лс обеих компонент смеси не зависела от координаты в направлении оси Х, вдоль которой происходит этот процесс, (рис.
6.9). Неревзезеезме мекреезетемм 171 Пусть концентрация молекул 1-го сорта зависит от координаты х как п~(х). Учитывая, что величина С в уравнении (6,21) есть характеристика переносимого в данном случае количества, отыесеыного к одной молекуле, определим С как С = и,/пе, Х Гзе. 6.9 где пс — равновесная концентрация (см. рис. 6.9). Величина С характеризует степень принадлежности каждой из пс молекул к сорту 1. Другими словами, если, например, С = 0,3, то зто значит, что из пс молекул к сорту 1 принадлежит 0,3пс молекул.
И только. Это «свойство» и переносится. Если через площадку Я переносится 100 молекул со свойством С = 0,3 каждая, то молекул сорта 1 переносится 30. Нас ые должно смущать, что молекулы «не подозревают», что мы приписываем им такое свойство. Главное — это удобно нам. Учитывая то, что С = п~/пэ, уравыеыие (6.21) примет вид 1 дп~ 1 = — (о)1— 3 дх (6.22) Сравнив это выражение с эмпирической формулой (6.9), находим, что коэффициент самодиффузии (6.
23) Рассуждения, приведшие ыас к формуле (6.22), в равной мере справедливы и для другой компоненты смеси. Значит, коэффициент Ю одинаков для обеих компонент. Более строгий расчет приводит к такой же формуле для 1), но с несколько ббльшим числовым коэффициентом (в 1,2+1,5 раза для разных газов).
Глава 6 ди 1 = — <э>яР— „ (6. 24) где Р = тп — плотность газа. Сопоставив это уравнение с эмпи- рической формулой (6.11), находим выражение для вязкости: Ц з <0>> Р (6.26) Более точный расчет дает несколько большее значение для числового коэффициента: не 1/3, а 0,49.
Теплопроводность. В этом явлении величиной С в (6.21) является средняя энергия теплового движения, приходящаяся на одну молекулу. Из теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы имеем С = (1/2)/сТ, и тогда плотность потока тепла 1 1 дТ )О = яо<">а 3 2 дх (6.26) Для упрощения этой формулы введем удельную теплоемкость с~ . Для этого обратим внимание на то, что (1/2))с — это теплоемкость при постоянном объеме, рассчитанная на одну молекулу. Произведение данной величины на концентрацию ло дает теплоемкость единиЦы массы сю УмноженнУю на плотность газа Р. Таким образом, учитывая, что (1/2))с ло = с Р, перепишем (6.26) в виде и Вязкость (внутреннее трение). Зто явление возникает в тех случаях, когда на хаотическое тепловое движение молекул накладывается упорядоченное движение.
Пусть скорость и упорядоченного движения зависит только от координаты х, как показано на рис. 6.10. В этом случае через единичную плоРис. 6.10 щадку Я будет происходить перенос импульса р = ти, где л> — масса молекулы. Зто значит, что в данном случае величина <с = р и согласно уравнению (6.21) мы находим, что плотность потока импульса Нереемовесвые мекросисеемы 173 1 дТ /, = — — <и>Хрс„, —. 3 дх (6. 27) Из сравнения этого выражения с формулой (6.12) видим, что теплопрозодность 3 <ш Рсг (6. 28) где, повторим, сг — удельная теплоемкость, отнесенная к единице массы, Дж/(К кг). Более точные вычисления числового коэффициента в (6.28) представляют большие трудности, но полученные результаты оказываются того же порядка„что и 1/3.
Анализ коэффициентов переноса. Прежде всего выпишем для удобства сопоставления и анализа все три коэффициента рассмотренных явлений переноса: (6. 29) 1. Определив по эмпирическим формулам коэффициенты 1>, ц и х, мы имеем возможность с помощью формул (6.29) вычислить Х и диаметр сс молекул. При атом следует иметь в виду, что полученные значения заметно зависят от того, на основании какого коэффициента их вычисляют (поэтому в таблицах это оговаривается). 2.
Все три коэффициента, 1>, ц и х, с ростом температуры Т увеличиваются, так как <и>со.,ГТ. 3. Поскольку Х со 1/и, а и со р, то как вязкость ц, так и теплопроводность м не зависят от концентрации, а значит и от давления (при неизменной температуре). На первый взгляд этот вывод кажется странным и в свое время послужил поводом к тому, чтобы подвергнуть сомнению развиваемые молекулярно-кинетические представления. Однако при более внимательном рассмотрении выяснилось, что здесь все в порядке. Действительно, уменьшая давление, мы уменьшаем концентрацию молекул, но при этом одновременно растет А, а значит и различие в значениях величины С, перено- Глава е симой каждой молекулой в противоположных направлениях. Тем самым «парадокс» был разрешен, и это явилось очередным триумфом молекулярно-кинетической теории. Все так, и тем не менее, уменьшая давление р, мы обнаруживаем, что с какого-то момента коэффициенты с) и и начинают зависеть от давления.
Это связано с тем, что с уменьшением давления растет )с и наступает момент, когда Х становится сравнимым с характерным размером сосуда, в котором находится газ (например, с расстоянием между дисками, колеблющимися относительно друг друга). После этого коэффициенты ц и н начинают уменьшаться за счет уменьшения плотности р, т.е.
концентрации и, и мы вступаем в новую область — в область вакуумньсх явлений. Уравнения переноса, зависящие от времени. Приведенные выше расчеты и результаты относятся к так называемым стационарным задачам, когда распределение интересующей нас величины С зависит только от координат. Но процессы переноса (выразнивания величины С) зависят и от времени. Это обстоятельство приводит к необходимости решать неетационарные задачи, учитывающие зависимость величины С как от координат, так н от времени. В качестве примера приведем соответствующее одномерное дифференциальное уравнение для теплопроводностн: дТ дэà — =ив дс дх' Для решения подобных уравнений необходимо знать начальные н граничные условия. Если онн заданы и известен коэффициент а, то задача является чисто математической, ее решение подробно рассматривается в курсе математической физики.
Ультраразреженные газы (вакуум) Когда длина свободного пробега Х превышает характерный размер с сосуда, говорят, что достигнут вакуум, и газ находится в состоянии ультрараэрежения. Под характерным понимают тот разнер сосуда (или в сосуде), который определяет интересующее нас явление. Вакуум — понятие относительное; условие Х > ) может иметь место в малых порах даже при атмосферном давлении. Неравяавеевые мавр»свет»им Поведение ультраразреженного газа существенно отличается от поведения газов при обычных условиях. В условиях вакуума теряет смысл говорить о давлении одной части газа на другую, а это значит, что внутреннее трение отсутствует. Имеет смысл говорить только о силе трения, испытываемого движущимся телом.
Теряет также смысл введенное нами понятие теплопроводности, как процесса передачи энергии от одного слоя газа к другому (тепловая диффузия). Следует говорить только о теплообмене между телами. Из сказанного следует, что при выводе уравнений переноса величины С (импульса или энергии) надо остановиться на формуле (6.19), где под С' и С" следует понимать значения величины С, соответствующие двум телам. Формула (6.20) в случае ультраразреженного газа уже не имеет смысла.
Теперь должно быть понятным, почему в опыте с крутильными колебаниями диска 1 (рис. 6.11, где диск 2 неподви- С жен) в сосуде С при уменьшении давления в нем сначала коэффициент затухания не меняется, а начиная с некоторого значения давления начинает уменьшаться. Это «граничное» давление соответст- 1 вует концентрации п молекул, при которой их длина свободного пробега Х становится равной характерному размеру— расстоянию между дисками, и коэффициент ~) уменьшается из-за уменьшения концентрации л. Становится также понятным, почему и насколько надо эвакуировать объем между стенками сосуда Дюара, чтобы как можно более снизить коэффициент теплопроводности х. Здесь характерным размером является расстояние между стенками сосуда.
176 Глава 6 Задачи Р е ш е н и е. Одинаковость давлений и температур в обоих сосудах означает, что концентрации газов 1 и 2 тоже одинаковы, и процесс смешения газов будет происходить только за счет диффузии. В момент с из условия сохранения частиц газа 1 имеем „а>+ л>з> л (1) Поток частиц газа 1 равен убыли этих частиц в сосуде 1 за едини- цу времени, т.е. (2) 1>Я = -дсу>/дс.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
