И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы' (510776), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Преобразуем это выражение с помощью формулы (6.9) для плот- ности потока частиц.' а> сз> дла> 8 =-$'— С дс (3) Чтобы исключить л>э>, представим разность концентраций газа 1 на концах трубки с помощью (1) как >а> Ы> лО> (в лп>) 2ла> (4) Кроме того, введем для упрощения преобразований обозначение а = 2Р31УС. Тогда уравнение (3) примет вид длп> >>> а + пл> л>э' дс 2 Это неоднородное дифференциальное уравнение. Его решение „а> („ ,2)(1 + е-а>) Видно, что при с -> ю газ 1 распределится поровну между обоими сосудами.
6.1. Диффузия. Два сосуда 1 и 2 одинакового объема )с соединены трубкой большой длины 1 и малой площади 3 поперечного сечения. В начальный момент С = 0 в одном сосуде имеется газ 1 с концентрацией л>э, а в другом — газ 2 с концентрацией лзэ. Давления и температуры в обоих сосудах одинаковы. Найти концентрацию л> в первом сосуде как функцию времени С, считая коэффициент диффузии Р известным. Нерзвяовесяме макросжтемы Сначала найдем момент силы, действующий на малый элемент 68 (рис.
6.12), площадь которого 68 = гор дг: бУ = г )Р, = 1 — г б„бг. ао дз В нашем случае производная до/дг = о/Ь = ег/Ь. Учитывая это, найдем момент сил, действующих на бесконечно тонкое колько с Радиусами г и г + Йг: а, б)т = ) бМ =2лд — г бг. э=о Ь (2) Проинтегрировав последнее выражение по г от 0 до В, получим: )т" лт(юВз/2Ь. 6.3. Согласно формуле Пуазейля поток жидкости плотностью р через поперечное сечение трубы равен р = — р' з, кг/с, йд 6.2. Вязкость. Два одинаковых параллельных диска, оси которых совпадают, расположены на расстоянии Ь друг от друга. Радиус каждого диска равен В, причем В в Ь.
Один диск вращают с небольшой угловой скоростью и, другой диск неподвижен. Найти момент сил трения, действующий иа каждый диск, если вязкость среды между дисками равна гг Р е ш е н и е. В условиях задачи неявно предполагается, что краевыми эффектами можно пренебречь, а малость угловой скорости е означает, что упорядоченное движение слоев среды между дисками имеет ламинарный характер (без турбулентности). Кроме того, ие сказано, относительно какой оси надо найти момент сил трения. Но это не существенно, поскольку в данном случае результирующая сила, действующая на Рнс.
6.12 каждый диск, равна нулю, и поэтому (как доказывается в механике) искомый момент не зависит от выбора оси. Ради простоты будем проводить расчет относительно оси дисков. Гте Глаза б где а и 1 — радиус и длина трубы, р1 — рз — разность давлений на ее торцах, причем р1 ) рз. Воспользовавшись этой формулой, определить вязкость д газа. Известны величины Н, о„рз, рз, 1„мо- лярная масса М и температура Т газа. Газ считать идеальным. Р е ш е и и е. Пусть ось Х направлена вдоль оси трубы.
Тогда в слое толщины бх можно считать газ несжимаемым и применить к нему формулу Пуазейля: Перепишем это выражение, имея в виду, что для идеального газа плотность р = рМ(КТ, др Н = — Ар —, дх (2) где А = зазМ)ВИКТ. Разделив в (2) переменные р и х, проинтегри- руем полученное уравнение и найдем: Н1 = — А(ргз рг)/2 Остается раскрыть коэффициент А, и мы получим ха М рз — рзз 1бНКТ а дТ вЂ” — =С, Т дх где'С вЂ” константа. Из этого уравнения следует Т С 1п — = — х. Т, а 6Т С вЂ” = — бх, Т а (2) 6.4. Теплопроводность. Стержень длины 1 с теплоизолирующей боковой поверхностью состоит из материала, теплопроводность которого изменяется с температурой как к = п1Т, где а — постоянная. Торцы стержня поддерживаются при температурах Т, и Тз.
Найти зависимость Т(х). где х — расстояние от торца с температурой Т,. Р е ш е н и е. Плотность потока тепла в стационарных условиях не должна зависеть от х, т.е. Неравиовесяые иакрссвстемы Для нахождения константы С учтем, что при х = 1 температура Т = Тз и )п(Тз/Т~) = (С/а)1, откуда С = — 1п —. а Т, 1 Т,' В результате из второй формулы (2) получим Т = Т,е = Т,ехр~ — 1п — = Т,(Тз/Т,) Схзх (х Т) хп (1 т~) Р е ш е н и е.
Исходим нз того, что количество тепла, передавае- мого от более нагретого тела к менее нагретому за время Ж, опре- деляется как /СЯЙ1 = — СзбТз, /СЯ61 = С,ЙТп где в правой части равенств записано тепло, отдаваемое за время Ю более нагретым телом ( — Сзх(Тз), и тепло, получаемое за это же время менее нагретым телом (С,х)ТД. Принимая во внимание формулу (6.12), согласно которой в нашем случае 1с = х (Т, — Т,)/1, разделим первое и второе равенства (1) соответственно на Сз и Сз, а затем сложим отдельно левые и правые части полученных выражений.
В результате получим Т вЂ” Т к — Я вЂ” + — 61 = -б(Тз — Тз). ~с, С! (2) Введем обозначения т = Т, — Т, и и = кЯ(1/С, + 1/Сз)/1, тогда (2) примет вид ат Йг = -Йт, или бт — =-па. т Проинтегрировав это уравнение, получим 1п(т/те) = -а1, или т = тэе "'. Переходя к первоначальным параметрам, имеем Т, — Т, = (Т, — Т,),е-", где а = (1/С~ + 1/Сз)хЯ/1. 6.6. Два металлических тела 1 и 2 с теплоемкостями С, и Сз соединены между собой однородным стержнем длины 1 с площадью поперечного сечения Я и достаточно малой теплопроводностыо х.
Вся система теплоизолирована. В момент 1 = 0 разность температур между телами 1 и 2 равна (Тз — Тх)з. Пренебрегая теплоемкостью стержня, найти разность температур Тз — Т, между этими телами в зависимости от времени 1. 166 Глава 6 6.6. Найтк распределение температуры в пространстве между двумя коицеитрическими сферами с радиусами Вз и Вз, заполненном однородным теплопронодящим веществом, если температуры сфер Тз и Тз, а Вз > Вз. Р е ш е и и е.
Запишем поток тепла череа промежуточную концентрическую сферу радиуса г: 9 = — з(дТ/дг)4хгз. Эта величина в стационарном случае не зависит от г, поэтому гз(дТ/дг) = С, где С вЂ” константа. Иэ (1) следует Т вЂ” Т =С вЂ” —— дТ= С вЂ”, г (2) Константу С иаходим иэ того условия, что при г = Вз температура Т = Тз, значит Т, Т,! 1 1 1 Т<Т, С Тз Тз 1/Вт — 1/Вз (3) Подстановка (3) в (2) дает искомый результат: Т,-Т, ~1 1) Т=Т, + 1/В, -1/В, ( В, Рве. 6.13 Попутно рассмотрим, какой вид имеет зависимость Т(г) в тех слу- чаях, когда Тз > Т, и Тз < Т,.
В первом случае согласно (2) С > О и 3Т/дг = С/гз, т.е. с ростом г наклон кривой Т(г) уменьшается. Во втором случае С < О, наклон кривой Т(г) еотрицательный* и уменьшается по модулю. Оба слу- чая показаны на рис. 6.13. 6.7. Постоянный электрический ток течет по проводу, радиус сечения которого В и теплопроводиость х. В единице объема провода выделяется тепловая мощность ю.
Найти распределение температуры в проводе, если установившаяся температура на его поверхности равна Тз. Р е ш е и и е. Рассмотрим цилиндрический коаксиальный слой г, г + бг. В расчете иа единицу длины этого слоя в него входит поток тепла По 2зг)„выходит (/з 2хг)„з„внутри же слоя выделяется Неразнозесвые макроснстзмы 181 количество тепла м2хгаг. Составим баланс тепла: (г/е) з, — (г/о), = а . Это уравнение можно представить как а(г/з) = вгаг, (2) или, учитывая (6.12), — в виде ат') — а хг — = юг аг. аг,~ (3) Проинтегрировав это выражение, получим ат — хг — = и— аг 2 (4) Разделим переменные Т, г и еще раз проинтегрируем: г, л — )' аТ = — ) г аг, Т = Тс е — (11 — г ).
2х, 4х Р е ш е н и е. Искомая частота г = и/1, где и — скорость звуковой волны, 1 — длина волны. Последняя, по условию, должна быть равной величине (6.17). А скорость волны о = „(уВТ/М. В результате подстановки в исходное выражение получим г = ха~рЖ„,/27/М)(Т = 5,5 10е Гц.
6.9. Вязкость. Тонкостенный цилиндр С (рис. 6.14) массы ст, радиуса а и длины 1 подвешен на упругой нити и находится в зазоре между двумя закрепленными цилиндрами, заполненном газом Х с малярной массой М и температурой Т. Поверхность цилиндра С равноудзлена от поверхностей закрепленных цилиндров на расстояние Ла, причем Ьа ко. Со Рвс. 6.14 6.8. Длина свободного пробега. Азот находится при нормальных условиях.
При какой частоте колебаний длина звуковой волны будет равна средней длине свободного пробега молекул данного газа7 Эффективный диаметр молекулы азота Н = 0,37 нм. 132 Г 6 Цилиндр С совершает затухающие крутильные колебания вокруг вертикальной оси 00 с временем релаксации т. Найти эффектив- ное сечение с атомов Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
