И.Е. Иродов 'Физика макросистем. Основные законы' (510776), страница 26
Текст из файла (страница 26)
На эту особенность потоков следует обратить выимание. Та же температура — это характеристика системы в целом, а здесь мы говорим, что она разная. Приходится вводить понятие локального равковеснл. В состоянии локального равновесия среда в каждой малой части своего объема находится в тепловом равновесии, однако равновесие между различными частями отсутствует. Под малостью имеют в виду объем, размер которого намного превышает, например, среднее расстояние между соседыими молекулами. При этом число частиц в таком объеме должыо быть макроскопическим, чтобы можно было применять макроскопические параметры состояыия теплового равновесия. Теперь перейдем к эмпирическим уравыениям процессов переноса.
Диффузия. Так называют взаимопроникновение вещества в различных смесях, обусловлеыыое тепловым движеыием молекул. Пусть смесь содержит две компоненты с парциальными Р плотностями р1 и рэ (рис. 6.4). !н~ Р Концентрация каждой компоненты стремится выравняться, возникают потоки массы обеих Р компонент, направленные в сторону умеиьшеыия их плотностей. Экспериментально было установлено выражение для Ряс. 6.4 Глава 6 164 плотности потока массы (-й компоненты: /м =-Х> — „кг/(с.м ), др~ з дх (6.9) Н/ 2 (6.10) где ц — коэффициент вязкости (вязкость), производная ди/дх — градиент скорости — характеризует степень изменения скорости жидкости или газа в направлении оси Х, перпендикулярном направлению движения слоев.
Согласно 2-му закону Ньютона взаимодействие двух слоев с силой / можно рассматривать как процесс передачи в единицу времени импульса. Тогда (6.10) можно представить как ди ц „Н/м дх (6.11) где /р — импульс, передаваемый ежесекундно от слоя к слою через единицу площади поверхности, т.е. плотность потока импульса. Знак минус обусловлен тем, что поток импульса противоположен по направлению градиенту ди/дх (рис. 6.5). На рисунке показаны силы, действующие в плоскости площадки Я: левая / — сила, с которой действуют слои справа от площадки Я, правая // / — с которой действуют слои слева от Я.
Они взаимно противополож/е ны. Вопрос, куда действует сила в плоскости Я, не имеет смысла, пока не указано, со стороны каких слоев на какие. Рис. 6.5 где Π— коэффициент диффузии. Знак минус обусловлен тем, что поток 1-й компоненты противоположен производной ди/дх — ее называют градиентом плотности (см. рис. 6.4). Внутреннее трение. Из механики известно, что сила трения между двумя слоями жидкости или газа, отнесенная к единице площади поверхности раздела слоев, равна Неравиовесиые макросистемы 16$ Теплопроводность. Опыт показывает, что если в среде создать вдоль оси градиент температуры ЗТ/дх, то возникает поток тепла, плотность которого 6Т уо = — к —, Вт/м, дх (6.12) Т где к — коэффициент теплолроводности (теплопроводнасть). Знак минус стоит по той же причине: плотность потока противоположна по направлению градиенту дТ/дх (рис.
6.6). Ясно, что поток тепла в данном случае должен быть одинаков в любом сечении стержня. Отсюда следует, что к, — — =хз Поскольку стержень предполагается цилиндрическим, то температура в каждой его части меняется линейно с координатой х, и вместо проиаводной в (1) можно записать отношение разности температур на концах каждой части стержня к ее длине. Тогда (1) примет вид Т вЂ” Т Т вЂ” Т х, =хе (2) Эта запись сделана в предположении, что Т, с Т с Т, (можно было предположить и наоборот, зто ие существенно).
Из (2) следует, что хуТу/$, + хзТз/)з ху/)у + из/1з Пример. Один конец стержня, заклюРис. 6.6 ченного в теплоизолированную оболочку, поддерживается при температуре Т„а другой конец при Т,. Сам стержень состоит из двух частей, длины которых й и 1, и теплопроводности к, и к,. Найдем температуру Т поверхности соприкосновения этих частей стержня. 166 Глава 6 В заключение отметим еще раз: 1) потоки всех величин являются алгебраическими.
Их знак зависит от направления оси Х. Достаточыо обратить положительное направление этой оси на противоположное, и знак потока изменится; 2) во всех трех явлениях переноса направления плотностей потоков противоположны градиентам соответствующих величин. Это означает, что потоки всегда направлены в сторону уменьшения величин р, и, Т, т.е. против их градиентов. Таким образом, для потоков существенны градиенты величин„имеющих теыденцию выравниваться. Теперь перейдем к решению второй части нашей программы — обоснованию эмпирических законов переноса с молекулярно-кинетической точки зрения, причем только для газов. Предварительные понятия 1.
Эффективный диаметр молекулы. Так ыазывают расстояыие <(, на которое сближаются центры двух молекул при столкновении (рис. 6.7). Величина <( несколько зависит от энергии )'.....,'" (...„:.'''.~~3~'!: молекул, это следует из рис. 1,12, а знад ..'-„.;:,=:: ':.'!=~~: чит и от температуры. С ее увеличением а уменьшается. Но в дальнейшем этим мы будем пренебрегать. Рлс. 6.7 Площадь, ограниченная штриховой окружностью на рис. 6.7, называют эффективным сечением о молекулы: (6.13) 2. Средняя длина свободного пробега. За секунду молекула проходит в среднем путь, равный ее средней скорости <и>.
Если при этом она претерпевает в среднем г столкновений, то средняя длина свободного пробега молекулы 1 = <э>/ю (6.14) Чтобы определить т, проследим за поведением некоторой движущейся молекулы, используя рис. 6.7. Пусть это будет ле- Нервввовесиые мокро»в»темы (6. 15) г = <и>аи, и средняя длина свободного пробега (6.14) равна Л= —. 1 аи (6.16) Более строгое рассмотрение вопроса о числе столкновений в приводит к необходимости замены средней скорости <о> на среднюю относительную скорость <о „>, которая, как показывает расчет, в Г2 больше, чем <о>.
Тогда уточненные формулы (6.15) и (6.16) будут иметь вид » = Г2<и>аи, Л= 1 Г2аи (6.17) Эти величины отличаются от приближенных формул (6.15) и (6.16) числовым коэффициентом, близким к единице. В дальнейшем мы собираемся проводить оценочные расчеты, поэтому множителем Г2 будем преыебрегать как не существенным. Пример. Оценим для азота Хз при нормальных условиях значеыие Л, среднее расстояние ) между молекулами и число столкновений» молекулы в секунду.
вая молекула, и движется она перпендикулярно плоскости рисунка. Нетрудно сообразить, что она испытает за единицу времени столько столкновений, сколько встретится на ее пути молекул, центры которых окажутся в пределах объема цилиндра Радиуса <». Ясно, конечно, что при каждом столкновеыии цилиндр будет испытывать «излом». Таким образом, зто будет «ломаный» цилиндр, объем которого» практически равен произведению среднего пути молекулы за одну секунду, т.е.
«», на площадь поперечного сечения цилиыдра а = л<(з. Заметим, что так можно поступить, если среднее расстояние между «изломами» значительыо больше диаметра молекулы <», т.е. при условии Л в <(, что мы и предполагаем. Это позволяет пренебречь частями объема цилиндра, приходящихся на его изломы.
Коли все зто так, то среднее число г столкновений молекулы ежесекундно равно произведению объема»; равного <о>а, на концентрацию и молекул: Глава 6 166 Сначала найдем концентрацию молекул в этих условиях: 23 -1 и= — = — =2,7 10 см >у 6 10 моль и -з 1;д 22,4. 10 см /моль где Ум — молярный объем газа. Примем эффективный диа- метр молекулы азота равным 2 10-э см. Тогда согласно (6.16) Л=- = 3 10 ~ем.
л(2 10 а)э 2,7 10<э Сравним эту величину со средним расстоянием между моле- кулами. Иэ условия <)>э = 1/п, получим <1> = 1/ч<л = 1/ ч:2,7 10>э = 3,3 10 ~ см, т.е. Л превып>ает (() иа два порядка. Число столкновений еже- секундно согласно (6.16) равно г = <о>л<(~п а 4,8 10< п (2 10 )э 2,7.10>э = 1,6 10э с ~, где <о> = 480 и/с (см. стр. 49). Таким образом, число столкно- вений составляет порядка миллиарда в секувду! 5 6.3. Молекулярно-кинетическая интерпретация явлений переноса В этом параграфе мы рассмотрим явления переноса в газах с молекулярно-кинетической точки зрения.
Соответствующие расчеты будут иметь оценочный характер. Еще раз напомним (об этом уже говорилось ранее), что оценочный подход — это то, с чего обычно начинается создание теории. Главное достоинство такого подхода состоит в простоте и акценте на физической стороне явления, не заслоненной громоздкими вычислениями и преобразованиями. Разумеется, оценочный подход ни в коей мере не может претендовать на получение точных результатов, но различие заключается только в числовых коэффициентах.
Итак, будем исходить из предельно упрощенной модели, которой мы уже пользовались ранее и убедились, что она дает неплохие результаты. Повторим: ввиду полной хаотичности теплового движения молекул будем считать, что молекулы дви- Неравиовесиые маиросистемы 169 жутся по трем направлениям Х, У и 2, так что на каждое направление в одну сторону плотность потока молекул состав- ляет 1 = 1 в>п, б (6. 18) 1 )о =)С' — )С" = — (э>пс(С' — С"). 6 (6. 19) где п — концентрация молекул. Эти потоки и являются переносчиками определенных физических величин С. Плотность потока величины С будем обозначать )о.
Далее будем считать, что через интересующую нас площадку Я молекулы будут переносить то значение величины С, которое они имели на расстоянии 1 от площадки Я. Т.е. будем предполагать, что последнее соударение молекулы испытывают на этом расстоянии от Я. Теперь перейдем к рассмотрению с помощью этой модели явлений переноса и начнем с вывода общего уравнения переноса, не зависящего от времени. Общее уравнение переноса. Пусть величина С характеризует определенное молекулярное свойство, отнесенное и одной молекуле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
