Часть 3. Математический анализ - кратные и криволинейные интегралы. (509317), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Вектор в правой части в) называется вихрем (или роторол) огкторного поля и. бА. Пронзводнал скалярного полл по направлению. Градиент скалярного поля. Пусть ю — скалярное поле, определенное в области й С Н, т — гладкая кривая, лежащая э в й н проходящая через фиксированную точку Мо б й, г1 ! — длина дуги кривой от точки Мо до точки М. Если прн М Мо существует конечный предел отношения !ьэо(Мо) ю(М) — ю(Мо) г.'э! то он называется проиэеодиоб скалярного полаю в точке Мо вдоль кривой т и обозначается $(М,): дэ йш Р(М) — Э (Мо) (1) д! ы о гэ! Если функция ю дифференцируема в точке Мо, то ее производная вдоль кривой существует н для всех кривых, выходящим из точки Мо с одной и той же касательной т = (соя ау, соэдээ сов зэ), значение этой пРоизвоДной оДно и то же, а сама пРоизвоДнал называется проиэоодной по данному направлению т н вычисляетсв по формуле дэо — (Мо) = (бгад Р(Мо), т) = — (Мо) соз оэ + — (Мо) совА + — (Мо) соз гэ ° (2) дээ ду дэ» д! дх ду дг Вектор бгад ю(Мо) = фМо), одт(Мо), ф(Мо)) направлен из точки Мо в сторону быстрейшего возрастания скалярного поля Ьо, а его евклидова норма равна абсолютной величине производной пола эо в этом направлении.
на гяадэшй поверхности уровня Р(м) = с, с = сапог, касательная плоскость к поверхэюспэ в точке Мо ортогональиа вектору бгад Эо(Мо). 3 6. Элементы векторного апллпза гО3 6.3. Потенциальные векторныеполя. Цпркуллцпи векторного полл. Любое векторное лоле в, совпадающее с полем градиента некоторого скалярного поли р, называется попэонцвальиыя, а функцюо и называют в этом случае пощеициалоя коля и. Если вектор пола в имеет физический смысл силы, то нотенцнал и этого полл имеет физический смысл работы. Работа А силы в иа гладкой или кусочно-гладкой кривой т, соединяющей точку Мо с точкой Мы вычисллетсл по формуле А= (в, т)а1, ч где т — единичный касательный вектор к кривой ",.
В силу условия в = бгаа оо, из (1) получаем А = (бгай рц т) 61 = / — 61 = р(Мо) — р(Мо). Г ар д1 (2) мом1 Мо'М, т.е, работа силы иа пути МоМо равна разности потенциалов в точках Мо н Мо. Если в — произвольное непрерывное векторное поле, то интеграл по замкнутому контуру (в, т) а! называется циркуляцией поля и по контуру Ч. Пцркуллцнл непрерывного потенциального векторного поля в по всякому замкнутому контуру Т, лежащему в односвлзной области, равна нулю.
Справедливо н обратное утвержде- ние: если циркуляция непрерывного векторного поля и равна нулю по любому замкнутому контуру 1, лежащему в односвлзной области, то поле и потенциально. 6.6. Поток п расходпмость векторного полл. Пусть Я вЂ” конечная »ладках нлн кусочно-гладкая поверхность, в — векторное поле, заданное в области й, содержащей все точки поверхности Я. Выражение (3) ~', я - ф...> ба где и — единичный вектор нормали, характеризующий сторону поверхности, называется потоком поля и через поверхность Я. Вычисление потока лвллетсл линейной операцией. Если поверхность Я, ограничивающая область й, замкнута и при стлгивании области й в точку М существует конечный предел ю(и; 5) и-м рй где рй — жорданова мера множества О, то он называется раскоднмосчлою нли дивергенцией оекоаоркого поля и в точке М б й и обозначается й!ч в(М): 61ч в(М) = Ьа — д (и, и)НЯ.
(г) и — мийо Таким образом. цо определению а1ч'и(М) есть плотность аддитивной функции областей— потока векторного поля и через замкнутую поверхность 5. Если компоненты поля в = (Р, Я, Я) иыеют в области й непрерывныепроизводные —, —, то справедлива формула зг зо зн зэ' зэ' з»' ойч и(М) = — (М) + — (М) + — (М), дР д1'„> дЯ д* ду д» (3) получаемая на основании формулы (2), формулы Остроградского н теоремы о среднеоь Ранее, в п.6,3, показали, что 61чи ы (чт.в).
где Р— дифференциальный оператер Га- мильтона, 8 8. Элементы векторного анализа М Используя определение градиента скалярного поля, получаем я (н~ - (-(яо, -М, -<н)' - Н, †. — я » ° (ив = Ло уи+ *- гтди ди ди (,ах ' ау ' дх ) Направление бган и(М) определяется векторны бгаг> и(М) У 12 9 41 е(М) = = ( —, — —, -- ) = (совая, соз>?я. соя тг), '98гас> и(М)8 (,25' 25' 5/ Единичный вектор т, выходящий нз начала координат в направлении биссектрисы первого координатного угла, имеет вид т = ( —, —, 0) .
Согласно формуле (2), п.6.4, получаем (72 Л аи 12 9 3 а1 — = (бгай и(М). т) = — — — = —, и ягг Я, г' 205 204. В каких точках пространства Озу- градиент поля и ях х +у +2 — Зхут. (х. у. 2) б э з з ж: а) перпендикулярен к оси 02 б) параллелен осн Ох; в) равен нулю? 2 ° я Нз определения градиента скалярного поля следует, что бгаг> и(х. д.
2) = (3(х 2 ух). 3(у — хх), 3(хз — ху)) . В сл> чае а) имеем (бгаи и, й) ж З(хз — ху) = О, откуда 22 = ху. В случае б) вектор 8гао'и(х. у. 2) колинеарен орту й осн Ох, вследствие чего в каждой точке искомого множества дольхны одновременно выполняться равенства х -ут = О, у — хх = 2 2 О. Псключнв из нлх 2.
найдем хз — у = О, откуда х = у и хз+ху+у = О. Второе равенство выполняется лишь в случае, когда х = у = О. Подставляя х = у в любое из исходных равенств, получаем, что х = у = 2. Следовательно, градиент скалярного поля и параллелен оси 02 в точках х = у = 0 и в точках х = у = х. В случае в) получаем равенства х — ус = О. у — хх = О, т — ху = О.
которые должны 2 2 2 выполняться одиовреягенно. Пспользуя результат, полученный при рассмотрении случая б), имеемх=у=2. и 1 205. Дано скалярное поле и = !в —, где т = (х — а)2 + (у — 6)2 + (2 — с)2. В каких т' точках пространства Охух выполняется равенство 08гая> и(! = 1? Вя з- В -Ь Вя Принимая во внимание равенства — = — —, —" = -", — = — — ', получаем в 2'в» ж,я в, ))бгал и9 = —.
Равенство Обгаг1 и0 = 1 выполняется на сфере единичного радиуса с центром в точке М = (а. 6, с), т.е. на множестве точек т = 1. ° х 206. Найти косинус угла а между градиентами поля и = в точках А = Х2 1- у2 1 2 (1, 2, 2) и В = (-3, 1, 0). . ° Носннус угла о. вычислим по формуле '58гао и(А Ц '98гао и(ВЦ Обозначив тз = хз + у + 22, последовательно получим ди 1 2хз ди 2ху ди 2хх и= —, — = — — —, — =- —, — = — —, т(А)=3, т(В)=чт>00, т" дх тз тя ду та ' д.
тт ди 7 ди 4 ди 4 ди 2 ди 3 ди — (А) = —, — (А) =- —, — (А) =- —, — (В) =- —, — (В) = —, — (В) =О, дх 81' ду 81' дх 81' дх 25' ду 50' дх 1 4 1 8 (8гао и(А), бгаг> и(В)) = — —, 98гао' и(А)Ц Цбгая> и(В)8 = —, сова = — —: — = — —. и 405' 90 405 90 9 зат. в „2,1 н,;Я| .Я,;Н н-, 2, 1 м Рассяяотрнм скалярное лоле яя(м) = у"(т). т б Я. гле >" — диффереицируемая Функция. Его поверхности уровня — сферы с центром в начале координат О = (О. О.
О). 1'раднтнт ноля гоб Гл. 2. Кратные и криволинейные инуегралы 1т направлен ло нормали к сфере, т.е. по радиусу ОМ. Функция 1 возрастает, если 1'(т) > О, и убывает, если /'(т) < О, поэтоыу вектор бгабу(т) направаем в сторону возрастания т, если 1'(т) > О, н в сторону убывания т, если 1'(т) < О, причем ))бгаб К(г))) = )~'(т)).
В силу сказанного выше, имеем бгаб 1(г) = — г', У'(т) т где т = (х, у, з) — радиус-вектор точки М = (х, у, з). В случае а) у'(т) = 1, поэтому бгабт = -" = е(0, М). В случае б) 1'(т) = 2т, поэтому бгзб тэ ы 2т, В случае в) 7'(т) = — т, в силу чего бгаб „- = --,т. и 208. Доказать формулу 17~(ие) = и1г~е+ еьг~и + 2(Т1и. те). где 1т~ = (т 17) = дэ дз дэ — + — + —, дхэ дуз д з' ° е Записав T~(ие) = (1т, т (ие)) и воспользовавшись правилами действий оператором Гамильтона, получим T(иэ) = иTи+и1те, (т, т(иэ)) ю (1г, «ти)+(~7, ите) = = ест и+ (1ти, рте) + и1т е+ (~ге, '7и) = и17 е+ е1т~и+ 2(ти, иге). Н 200. Доказать, что если функцгы и Днфференцируема в выпуклой области 1т С 12~ и ()бгаби(( ( ЛХ, где М = салаг, то длл любых точек А и В пз 1т имеем )и(А) — и(В)( ( Мр(А, В), где р(А, В) — расстояние между точками А, и В.
° е Обозначив А = (хе, уо, ха), В = (хм ум хг), Р = (хо — хг, уо — ум га — г~) и используя свойство дифференцмруемости функции и, получим )и(А) — и(ВИ = фи(()), б Е К Поскольку )ди ди ди ~б (й)( (эа)(х, — ) + †(б)(уз — у ) + (Р)( ~ дх ду дг (б) р)( < ббгаб и(б))) )(Р(( = !)балди(ьй (хз х') + (уз = ((бгаб иЯЯр(А, В) ~ (МР(А, В), то /и(А) — и(В)( ~ (Мр(А, В) ° о х у 210. Найти производную поля и = — + — + —, (х, у, г) Е 11~, в данной точке М = аз 32 сз' (х, у, з) з направлении радиуса — вектора т этой точки.
В каком случае зта производная будет равна величине градиентау < По формуле (2), п.б.4, имеем ди l т1 1 1 / 2хз 2уз 2хз 1 2 — (М) = ~ Огай и(М), - 1 = -(бгац и(М), т) = — — + — + — ) = -и(М) де ' т т т1 аз зэ сэ) т Сттттз.э у ОШ)=~~та ОС~~ ' б лбЩ =-.и нее равенство. как легко проверить, выполняетсл. если а ы 6 ы с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
