Часть 3. Математический анализ - кратные и криволинейные интегралы. (509317), страница 29
Текст из файла (страница 29)
 — эх+яу+ й» 211. Найти дмвергенцпю'полл и = и точке М = (3, 4, 5). Чеыу прмбли/хз+ „'з женно равен поток вектора и через бесконечно малую сферу Яс = ((х, у, х) Е В :(х — 3) + (у — 4) + (» — б) = е )2 ч С помощью формулы (3), п.б.б, получаем 1 41т и ы— +— = д 1ч Да+уз~ дУ 1ч,у,з+узг1 дл гч,У+„з~ ы .. б .7-з+ — уэ' 41г и(М) 18 128 3 б.
Элементы векторного анализа 207 Дивергенциа пола и лвллетсл плотностью авдитнвной функции областей — потока си(и; Я), длв воссгановленна которого следует прилсеннть формулу (2), п.6.2: сл(и; Ю) = ~~~ Йт и(х, у, х) с7х с7у сгг, т где 'Т = ((х, у, х) Е 51 :(х — 3) + (у — 4) + (г — 5) < е ). Поскольку шар бесконечно мал, т.е, е +О, то лгожем звать Йт и(х, у, з) ж 6В и(М) гз —. При этом получим 18 4 з 24 з и(и; Я) ж Йт и(М)с1хссуез = †.
—;гс = — та . ° 125 3 125 г ЗГЗ. НЫ* а Сд~СС З,., - Р~, »». З лт ѻѻ~С»З= 1 Гс Н В примере 207 получена формула бган 1(г) = ~т в предположении, что функция у дифференцнруема. Здесь будем считать, что она дважды дифференцпруема. Обозначнв -~~. = ст(г), запишеы уполсянутую формулу в виде бгасг г(г) = р(т)г, где т = (х. у. г). Пользуясь оператором 5т и правиламн действий с ннм. получим йс' (5гас1 г'(г)) = (5»с ст(г) т) = (т, 5»сз(г)) + Лт(г)(5т, т) = = (г, 8гас4р(г)) + Зт(г) Йт г = (г., бгасЬр(т)) + 3(т(т)с так кал Н1т т = 3. Принимал во внимание равенства бгас1 ст(г) = т-лГгт, (т, бган р) ( т.
т-("-)т) = ™тт = гст'(т), находим Йт (бгас1 у(г)) = тст (т) + Зр(г) ж г '(г) — — + — = ~ (т) + —, с Г(г) ЗУ'( ) „гУ'(г) т так как т'! т) ж у-~'-~ + -+). ПрнраВНИВая йт (даС1 1(Г)) К НУЛЮ, ПОЛУЧИМ днффсрспцнаЛЬНОЕ ураВНЕНИЕ (Гус(т))' + 1'(г) = О, решал которое, находим гу (т)+г(г) = сз. Применив метод вариации произвольной постоанной. окончательно получим у(г) = сг + -а, где сз, сз — произвольные постоянные. ° . 213. Найтнс а) йс (идас1 и); б) йт(идас1 е). . ° Применив оператор '7, получим: а) Йт (и бгас1 и) = (5», и бгас1 и) = (бган и.
5»и)+и(5т, дас1 и) = (дас1 и. 8гас1 и)+и(5», лг и) = з 2 2 |бган и! + и5т и = ]бгас1 и) + и л5и, где с5 = —, + —, + з, — оператор Лапласа. б) йт (вдас1 е) = (5», идас1т) = (бгас1 е, лги) + и(5т, бгас1 е) = (дас1 и, бга3 е) + и с5 т, Л» 214. Жидкость, заполняющая пространство, вращается вокруг осн Оз против хода часовой стрелки с постоянной угловой скоростью лс. Найти расходимость вектора скорости е и вектора ускорения св в точке М = (х.
у, з) пространства в данный момент времени. < Лннейнал скорость е частицы жидкости в точке М равна вектору е = (ыс г], где ь» = ый, т = зх + уу + йз. Получаелс а а т=у' * — ' у й х(М) = — (- у)+ — ( х) =О. дх Ву Ускорение ис(х, у, г) выражается формулой ис = (ьг, е] = [оз, (ы, г]] = ы(ы, г ) — г(ьг, ы) = йшзз — ьс т = — м (зх + уу). Согласно формуле (3), п.б.б, имеем Йт ис(х, у, з) ж — (-ы х) + — (-л» у) — 2 г . л» д г д дх ау гОВ Гл.
2. Кратные и криволинейные интегралы 215. Найти дивергенцню гравитационного силового поля, создаваемого системой притягивающих центров. м Рассмотрим векторное поле Г(Р), создаваемое систелюй материальных точек пс, 1 = 1, а, помещенных в точках Мр, Г' = 1, и. Это поле задано формулой п Г(Р)=~ ' г(Р,М), РФМ„ р=р где т(Р, Мр) — радиус — вектор, проведенный из точки Р в точку Мр, г(Р, Мр) — его длина. Поскольку вычисление дивергенции является линейной операцией, то а рсрс=г рй (,, ' .ср з,с).
р=с Таким образом, задача свелась к вычислению расходнмостн поля ГДР) = р,(г)г, где р,(г) = -т(ггпу —. расслютренного в примере 212. Там было показано. что сйг Гр(Р) = гсср(г)+ Зр (г). Подставив сюда гса„(г) = — 3--тр получим с)Ь' Г,(Р) = — — Р + — ' = О. Йст Г(Р) = О. г г Результат объясняется тем, что поле тяготения не имеет источников вне масс рлр, в силу чего мощность источников этого поля, характеризуемая расходимостью, равна нулю. » 216. Доказать формулу гол(ср и) ш се голи+ [вгас) ьъ и]. < Применив оператор Гамильтона, находим гог (рри) = [1т, Саи] = [1т, ри,] + [17, Сали], го (сри) = [и тлр] + ср[17р и] = -[и, вгас) р] + р гос и = р гол и + [вгас) р и]» 217.
Найти сос Щг)т), где г = (х, у, х) Ч На основании фоРмУлы, доказанной в примере гсб имеем; С(р(г)г) — [гт г( )„] р'(г) гос т+ [бгай д(г), т]. С полсощью формулы (4), п,б.7. находим с у й а а а а* а„ а х д гос т = Решая прилсер 207, мы нашли. что Вгас) )(г) = Р-л-'Р-г. Таким образом, окончательно имеем: гоС(у(г)т) ш~ — 'т, г~ = О. » [у (,) 218. Найти а) гог сс(р ).
б) гол [с, [(г)г] (с — постоянный вектор). Ч а) Пользуась обозначеннялш н правнлалш. которые были прилсенены прн решении примера 21б, получаем: гос су(г) = [л р су(г)] = [с', сус(г)]+ [су~ с,р'(г)] = 1(г)[гр, с] — [с, 17Яг)] = = Т(г) гос с+ [брасс у(рг), с] = — р.. с = — с г, с]. г ) г где значок "с" указывает.что оператор набла на данный объект ие действует. Если объект, иа который оператор 1т не действует, находится позади лР, то будем индекс "с" опускать. Имеем 3 6.
Элементы векторного анализа 209 б) Воспользуемся известной формулой векторной алгебры: [ц, [Ь, с]] = Ь(а, с) — с(а. Ь), Действуя оператором»т на вектор [с, В], где В = у(т)г, находим: гот [с, В] ж [~, [с, В]] = [С», [с, В,]] + [»7, [с,, В]] = = с(Р, Вь) — В(~т, с) + с(T, В) — В(С», с,) = (В, ~г)с — В(»7, с)+ с(~», В) — (с, ~')В = = (В, ~»)с — Вд»т с+ сейл  — (с, т»)В. Тах как с — постоянный вектор, то справедливы равенства / а а а 1 / дс ас дс'1 (В,С')ежП.) ~, +у +з ) с=У(.) ~* — +у — + — ~ =О, д; с=о, дк ду дя) [ дх ду дг) в силу которых гог [с, В] = с»1Н В вЂ” (с, ~')В.
(*) Прн решении примера 212 мы нашли д»т В = ту'(т) + Зу(т). Чтобы решить пример до конца, требуется вычислить (с, »т)В. Пусть вектор с ил»еет вид с = (а.,3.;). Тогда получим: / д д д» (с. ~г)В = [ а — +,3 — +; — ) Х(т)т = [, ая ау 'а) = а ( — кт+ г,у(т) +д — ут+уу(т) +; — гт+ ЙУ(т) у'~'( ) . ~ у'г( ) ~ у'г( ) т ] [ т ) [ т = у(т)с+ — т(с, т). у»( ) т Подставляя полученные выражения в (*), находим: го1[с, у(т)т] = с (т~'(т) + ЗГ(т)) — 1(т)с — — т(с, т) = .»"( ) = 2у(т)с + — с(т, г) — — т(с, т) = 21(т)с + — (с(т.
т) — т(с, т)). > У (т) У (т) 1 (»') т т т 21 а. Доказахь формулу ойт [В», Вг] = (Вг, го»В») — (В». »отВг), ч Действуя по той же схеме, что и при решении примеров 216 — 218, получаем: »(»»' [В» Вг] = (г», [В», Вг]) = (г». [В», Вг]) + (Т». [В» Вг]) = = (Вг, [»г» В»]) — (В», [»»,. Вг]) = (Вг, гогВ») — (В», »огВг).
(воспользовались известным правилом векторной алгебры для смешанного произведения: (а, [Ь, с]) = (Ь, [с, а]) = (с, [а, Ь])). > 220. Жидкость, заполняющая пространство, вращается вокруг оси е = (соьа, созд,соз;) с постоянной угловои скоростью ь». Найти вихрь вектора линейной скорости е в точке пространства М = (к, у, я) в данный момент времени. ° Направление вектора угловой скоросю» ь» совпадает с направлением е, поэтому а» = ые. Вектор линейной скорости е частицы жидкости в точке М определяется формулой е ж [ы» т], где г = (к, у. з). Для вычисления вихря векторного поля скоростей е воспользуеьюя формулой, полученной при решении примера 218, полагая в ией с = ы, т(т) = 1.
Находим: гот в = 2ы. > 221. Найти поток вектора т = (т. у, т): а) через боковую поверхность конуса К = ((к, у, г) Е Й~ » кг + у < яг; О < з < Ь)» б) через основание этого конуса. ч Для вычисления потока воспользуел»ся формулой (1), п.б.б, которая в данном случае принимает вид: (; а) =Ц( (м), (м))дд. В случае а) ецииичный вектор нормали в каждой точке на боковой поверхности Яь конуса ортатонавен к вектору » вследствие чего ш(т: Яь) = О.
16. Элементы векторного анализа 211 Решение примера свелось к вычислению мнтеграла Гаусса (см. лрилгер 166), когда замкнутал поверхность окружает фиксированную точку (в данном случае начало координат). Таким образом, гл(и; Я) = 4яш. > п е; 225.
Найти поток вектора Р(т) = ~) бгаб (- — '1, где е, — постоянные и т;— 4лт, У ' '=1 расстояния точек М; (источников) от переменной точки М(т), через замкнутую поверхность Я. окружающую точки М; (з = 1, и). и Векторное поле и(т), рассмотренное в предыдущелз примере, поясно представить в виде и(т) = бгм( (- — „), вследствие чего приходим к выводу, что расгматриваеыое поле Х(т) являетсл суммой полей вида и(т), для которых т = ~" . На основании решения предыдущего примера можно сразу записать: и и зз(Р;Я) ж~ 4т — ж~ еь > 226.
Найти работу вектора Г = т вдоль отрезка винтовой линии т = засозг+уазш г+йбг (О < 1 < 2т). чЗ работу поля Х вычислиы с помощью формулы (1), п.6.5. Найдем единичный касательный вектор т в каясдой точке кривой: т =, = ( — аз(в(, асозт, Ь). т (1) 1 Цт'(Г) б /аз + Ьз Таким образолд получиы А = Ь / 131 = 2тзЬ а (приняв во внимание равенства (Х, т) = — =~ =, Ж = (х'(Г)) +(у'(1)) +(з'(1)) 31 зг ~+ь~' ~/ау+ Ьз 41). > з у й 227. Найти работу поля г1 = -+ -+ — вдоль прялголннейного отрезка. соединяющего у х х точки М = (1, 1, 1) и з17 = (2, 4, 3), 1 / з з т ч Очевидно, т = =(1, 3, 7) = ~-т, -т, -т ~ — единичный вектор, совпадающий по направлению с векторе г Мз17, в силу чего имеем: 3 чтГ9 ~,у х х) Уравнение прямой, проходящей через точки М и з"7, имеет вид х — 1 = — "' = — *, и мы з можем параыетризовать эту прямую, выбрав в качестве параметра переменную х.
)1ри этом ° '.: ° -*,,= ° -г, *=; -к а=~~.*~~,*~а'=,атг., "= У " - "=У( — — -)'ж 1 3 71 Зх — 2 7х — б х ыгг 1 = ~-1в(Зх — 2) + — 1л(тх — 6) + 71л х) ) = — 1п 2 > /1 ~з 7 21 228. Нанти работу поля Л = (у+ з) з+(х+ х)ба+(к+ у)й вдоаь меньшей дуги окружности большого круга сферы о = ((х, у, з) Е Ьзз: хз+ у + хз = 25), если эта дуга соединяет точки М = (3, 4, О) и 1'з (О, О, 5).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
