Часть 3. Математический анализ - кратные и криволинейные интегралы. (509317), страница 27
Текст из файла (страница 27)
полученная в результате 7 пересечения поверхности Я цилиндра Т = ((х, У. 5) б Я~: х + у ~С аз, х б И) с плоскостью х з Яю заданной уравнением — + — = 1, а ) О, я ) О, пробегаемая протяв хода часовой стрелки, а а если смотреть с положительной стороны оси Ох. М По форыуле Стокса (9) имеем ю» -гЦю 9.99*» ьь=-юД[ + д+ )и», 52 52 где зз = Т й Яг — ь2иожество всех точек эллипса оз=)(х,у,я)ияс:х +у (~а, — + — =1), ' а я сова., сов Д. соху — направляющие косинусы нормали и к плоскости 52. Множество точек Яз проектируется на круг Р = ((х, У) б м~: 52+у ( (а ). Поскольку нормаль к плоскости 52 образует острый угол с ортом й оси 05, то в кюкдой из формул я» Ф х 1 созе ж *ДГ»+7.' *ЛГ»+».' +»5+".+ У перед радикалом в знаменателе следует взять знак "+"..
Перехода от поверхностного инте- грала к двоякому н принимая во внимание равенство ИЯ = 1+ я' + я„' ах ву, получим ~2 1 = 3 ~~ (я'(х, у)+ х'(х, у) — 1) дх Иу. о $ б. Формулы Остроградского, Грина и Сток такса 199 л = й — -х то х', = —, х = О. Следовал Так как на множестве 8~ выполняется равенство х = — —,, з —,, з = тельно, — г // (1+ ) сгх лгу = -2 1+ -~ рта = -2рга( + ). а и 201. 1= (у +х)Нх+(х + ) у з з з згй + (хз + уз) 4г, где у — кривая, полученная ол с е ы 5 = Дх. ур х) б Вз: х + у + х = 211хр х > ) в результате пересечения полусф Р е ол 'с е ы и наименьшая область остается слева.
ограниченная ею на внешней стороне полусферы наиыень а Ч Применив формулу Стокса, получим поверхностный интеграл 1=2 (у — х)буйх+(х — х)Охах+(х — у)йхйу= зр = 2 // ((у — х) соз о + (х — х) соз рб + (х — у) соз -р) а'Яр Яр я, вы езанный из нее поверхностью яр, сохо, созлу, созт — нагде Яз — кусок полусферы, выр некто а нормали и к Яз, гга множестве з ы правляющие косинусы ве р р, гг й Р б аз ют острый — хз — з, г' = — з, х' = — ". Так как вектор и н орт л оси г о разу с,у, соз .
пе ед радикалом в знаменателе следует ' ол, то в формулах для вычисления соз о, совру, сох з перед рад угол, г' Ых й, получим взять знак "+ . ринам "»".и р и-»' р*.р 1 ы 2 //((у — х(х, у))(-х' (х, у)) + (х(х, у) — х)( — гз(х, у)) + (х — у)) йх йу = ,а( ° 1 /' 1'(у - '(* ))(™) + ('(* "' х) у +. у '1 Ь бр рх гя ц (1 - — "~ бх йу, и где Р = ((х. у) Е м~: хз+ у ( 2гх). Поскольку /2з- 2 — р. -~р. п ,Гз з-зр то окончательно имеем 1 = 2Я Охи = гяйг .
З» 2 и 202. — а р( + Ых, где у — заыкнугая кривая, заданная уравнениями 2. 1=~ у х ах+я * у х'у х = а сох з, у = асов 21, х = асов ЗГ, робегаемая в направлении возрастания параметра Г. Ч и нзм М = (х, х) пробегает часть кривой у ч П и изменении г от О до з подвижная точка М = (, у, 2 чкаМ ол жноы направлении — от точки М~ до к ~~А ~~им~о а«ладываются, н зта кривая ю часть к ивой т в протпвоположн и т чкн Ме. Таким образом, точки замкнутой крпвррй з взаимно накл пе ограничивает нпкаяой поверхности.
Слсдоаател ио, 200 Гл. 2. Кратныен криволинейные интегралы Упражнения для самостоятелъной работы Прнл~еняя формулу Грина, вычислить криволинейные интегралы: 139. !=уху бу — х убх,где у=((х,у)ЕИг:хг+уг=а ). 140. 1 = у(х + у) йх — (х — у) Ау, где ", = ((х, у) Е Иг: -,т + улт = 1) . т 141. ? = у е ~» ег ~(соя 2ху ах+ зщ 2хуЫу), где т = ((х, у) Е Иг: ха + у = Аг).
7 142. Какому условию должна удовлетворять дифференцируеыая функция (х, у) Р(х, у), чтобы криволинейный интеграл Г(х, у)(убх+ хну) А»В не зависел от вида пути интегрирования? 143. Вычислить 1 = — у — ггт —, если Х = ах+ бу, У = ох+ бу и простой замкиутый аг-уах 2. г хгег контур ", окружает начало координат (аб — бс ф 0).
144. Вычислить интеграл 1 (см. предыдущую задачу), если Х = р(х, у). ?» = 9(х. у) и простой контур ", окружает начало координат, причем кривые, определяемые уравнениями с»(х, у) = О и 0(х, у) = О, имеют несколько простых точек пересечения внутри контура т. 145.
Вычггсл1гть площадь фигуры, ограниченной кривой т, заданной уравнением (х+ у)"+ + = ах"у, а > О. п > О, ил > О. 146. Доказатгч что объелг тела, образованного вращением вокруг осп Ох простого замкнутого контура;, расположенного в верхней полуплоскости у > О, равен К = —:г ~ уг бх. Применяя формулу Остроградского, преобразовать следующие поверхностные интегралы, если гладкая поверхность Я ограничивает конечный объем Н н соха, созб, соз;— направляющпе косинусы внешней норлгали и к поверхности Я: 14Т )')»хгЫуаг+ у 4»Ых+ гг бхбр 148 )) '" ~г'"»~'"' ао г г » +г +» 149. Д' (ф соя о+ ф соз)? 4- фебу) ЫЯ. 5 150.
Вычислить интеграл г' = ц х 4уйг+ уг Ыггбх+ г бх бу,где Я вЂ” внешняя с~арона г границы куба К = ((х. у, г) б Иг: 0 ( х ( а, О ( у ( а, О ~ (г ~ (а). 151. Найти объем тела Т. ограниченного поверхностью Я, аацапиой уравнениями г = асахи, у = вял е, г = -а+ а сох е, а > О, а > О, н плоскостямн х = О, г = О.
152. Доказать формулу щ — 'ге»»с = -' ц соя(т, и) ао, где Я вЂ” край компакта К, и — внешняя единичнал норыаль к поверхности Я в точке (с, «, с). г = (б — х)г+(у — «)г+(ь — г)з и т ж (б — х, « — у, г' — г) — радиус-вектор, идущий от точки (х, у, г) к точке Я, «, 1). 153. Вычислить интеграл ) х~у йх+ бу+ гЫг, гце; = ((х, у, г) Е Иг; х + у ?л~, г = 0): а) непосредственно; б) используя формулу Стокса (в качестве поверхности В а "у»' ~1» "» " х-» — «').
г Р " исгти и иояожггтельном направаеннн. 1 6. Элементы векторного анализа 201 164. Применяя формулу Стокса, вычислить криволинейный интеграл у у Ыя+ я йу+ я 4я, 7 где -, — окружность, полученная в результате пересечения сферы Я = ((х, у, з) б Й х + уз+ яэ = а ) с плоскостью, заданной уравнением я+ у+я = О, пробегаемая против хода часовой стрелки. если смотреть с положительной стороны осн Оя.
166. Вычислить интеграл (яэ — уэ) йх+ (у — хэ) Ыу+ (г — ху) йэ, яюВ взятый по отрезку винтовой линии, заданной уравнениями х = асов р, у = амит, г = — т, от точки А = (а, О. О) до точки В = (а, О. Й). Прил~екал формулу Стокса, вычислить интегралы: 166. 1 = у(у+ г) зя+ (э+ х)Ыу+ (я+ у) Иг, где ", — эллипс. заданный уравнениями я = аз1п Г. у = 2аз)п1созй г = асозэ Д 0 ( 1 ( т, пробегаемый в направлении возрастания параметра д г — уг(уэ — э) 1я Ф (яэ — яэ) 4у Ф (хэ — ут) Иэ, где ; — сечение поаертиостп куба К = ((х. у. з) б П~: О < с < а, 0 ( у ( а, 0 ( з < а] плоскостью, заданной уравнением э я+ у+ л = -а, пробегаемое против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной г стороны осн Ох. ~ 6.
Элементы векторного анализа 6.1. Скалярные и векторные поля. Если ка'кдой точке М пространства Й~, пг > 1, или некоторой области этого пространства поставлено в соответствие некоторое число у(М), то говорят. что задано скалярное поле 1 (например. поле давления в атлюсфере. поле плотности сплошного распределения массы в объеме 1Г и т. д.). Если каждой ~очке М пространства И~, ш ) 1, или области этого пространства поставлен в соответствие некоторый вектор п(М), то говорят, что задано векторное поле и (наприлгер, поле тяготения системы масс пли сплошного распределения лгассы в ограничениолг объеме, иоле плотности импульса, поле плотности тока, поле магнитных сил и т.
п.). 6.2. Плотность аддптпвной функции областей. Восстановление алдитнвной функции по ее плотности. Пусть Ф(К) — аддитивная функция компакта К, т.е. функция, удовлетворяющая усло- вию Ф(К, О К,) = Ф(К1) + Ф(Кэ) для любых двух компактов без общих внутренних точек. Число гз(М) = йш Ф(К) к-вг рК Ф(К) = ~т(н) г*. к (2) где дЛ вЂ” ыера компакта К, называется плошиосглью Фрикико Ф в точке М б К. Если плотность гз(М) аддитивной функции областей Ф непрерывна или кусочно — непрерывна на компакте К, то Гл.
2. Кратные п эгрнволиненные интегралы б.З. Дифференциальный оператор Гамкльтока. Пусть (ээ(М), и(М), ... ) — множество скалярных н векторных полей, имеющих непрерывные производные по всем координатам, и пусть Т(р! = Т(р; Р(М), и(М), ... ) — некоторое выражение, имеющее смысл скаляра или вектора, линейное относительно произвольного вектора р: Т(иэ р, + оэрг) = аэ Т! р, ) + аэТ(рэ), где оэ, аэ — произвольные действительные числа. Пусть р т ау+ 61+ сй. Тогда, в силу линейности Т, имеем Т(р) = аТ(г) + !эТ(у) + сТ(й). (1) 202 Полагаем Т(~) = — Т(!) + — Т(Я+ — Т(й), ...д .
д д дх ду дг (2) заменяя в (1) компоненты вектора р символами дифференцирования по 'х, у и г соответ- ственно. Символ 1» (набла) называется дифференциальным оператором Гамильтона. В векторном анализе накболее важными выраженияьги Т, о которых упоминалось выше, являются: а) Т(Р! эо) = РР (эо — скалярное поле); б) Т(Р! и) = (Р, и) (скалярное произведение); в) Т(Р! и) = [Р, и] (векторное произведение). На основании (2) получаем: а) Т(ч) = 1тю т ~~~!+ олу'+ — "й; б) Т( ч) = (1т, и) = о + дд + —, если и = (Р, !г, Я); в) Т(Ч) = [гу, и] = — — — = ( — — — ) г+ ( — — — ) у+ ~ — — ) л. о о о /оя оо'э . ог он ° Уоо ог1 о» оу о» ( зу 3» ! о э» ~о оу гэ' Р !г В Вектор в правой части а) называется градисноэол скалярного поля Р, Выражение в правой части б) называется расходияостью (пли диогрггнцигб) огкториого поля и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
