Часть 3. Математический анализ - кратные и криволинейные интегралы. (509317), страница 23
Текст из файла (страница 23)
Из оценки ~(Х, г) ~ < ~Г! = 1/Ф + 11г получаем неравенство Р«х+ Я«у ( Рг(х, у) +Чг(х, у) 41( щах Рг(х, у)+ Чг(х, у) й = ЬМ. > (в у)ач 142. Оценить интеграл 1к =, где т = ((х, у) Е Ы: х + у = К ), 1 (хг+ ту+ уг)г ' Доказать, что 1пе 1к = О. и +ю Ч Длл оценки интеграла воспользуемсз неравенством, доказанным з предыдущем примере. Здесь г -х (з~ у) ( г+ + г)г~ Я(хг у) ( г+ + г)г /хг .~. уг ~по,юТхе~.з-, Следовательно, 1и ( 2хК щвх ,/вг~„г Осзгаг Г*+-з+г1 Приняв во внннакке параметрические уравнение окружности х = Ксозм, у = Козе, О ( гг ( 2х, получим оценку ,~'г 4.уг 1 4 лгвх г г г — — гках Оьэ)ег(х +ту+ у ) зсвсг к (1 + Яви созв) к которая следует из неравенства 1 4 ~( 4, О ~ р ( 2в'. в+.
° ° г огътР Окончательно получаем оценку (1л( ( -т, кз которой следует предельное соотношение йш л = О. ° и +юв Вычислить криволинейные интегралы второго рода: 143. 1 = / (у — з) бе + (х — х) бу + (х — у) бх, где т — окружность, получеинаа в гвезуаьтате пересечекиа сферы я = ((х, у, з) Е Йз г хг+у +зг аг) и плоскости Яг, заданной уравнением у = х гбо, нробегаемвл в иаправлплии против хода часовой стрелки, есаи смотреть Рпс, 1$ со стороны поаогкитеаьных х. м Окрхкогвсть т с центром в иачвае кооРДниат «еипгт в паосаости 8г, и ее рахите раасн е. Пусть Ф вЂ” угол мелцгу радиусом окружности н пуамей, Мгца«пей уравиепниык У гв х гб в, х ж Гл.
2. Кратные м крмаелимеймпы мптегралы 166 О (рис. 16). Тогда можем нараметрмэовать окружмость т сладук»пнзм обраэоас а ыасоапсоау, у=амаосоэу, з ы амиу (О 4 у 4 2з ). Прмводя криволинейный ммтеграл а нмтегралу Рммаиа, получим г 1 = а з~(созо — маа)Ну = 242та юа (- — и) . р ье Р изкодим г 1 = а 1» (юа у — 2 ми у) Ыу = з Г ° г ° з з(В(1 2),й(1 б)) з(т ут) та 145. 1 = („',') бл+ (,' — аг) ~(у+ (а' — у*) бз, где т — контур, который огвзаиичнвает часть сферы Я = ((я, у, з) Е Кз: лг + уз + з = 1, з ~ )О, у ) О, з ) О), пробегаемый так, что вмешиял сторона этой поверхности остается слева.
м Представим интеграл иа ориентированной кривой в вмде суммы интегралов мо ориентированным кривмм т»ч з' 1, 2, 3, ампбзпнм в иоордмматнык нлосаастик [рмс. 16). Как»лая ири„эаа т» представляет О»бой чепэергь Рнс. 26 144. 1 = ~ уг»Ь + зэку+ зг»Ь, где т — часть кривой Внвиаим у = 8, г» Я», Я» = ((с, у, з) Е К; з + у + зз = а ), яг = ((з, у» з) Е К*: аз+ уг = ас), з ) О, пробегаеызл против хода часовой стрелки, если смотреть с положительной части (з > а) оси Оз. ч Переходя к полярмым коордмиатам, получим уравнение кривой Внамьмн в анде 3' зд р=асозу, з= »)аг — рз (- — «(у«( — ).
Прннммал во вимманме зто уравнение и зыбмрая в качестве параметра полярный угол у, имеем г l з = а соз у, у = ампу сазу, з = а~илу~ ~(ф ( -) . 2) Для вычисления крмвоаимеймого интеграла 1 приведем его к интегралу Рнмама, вычисаив зиачемме аодыктегрального выражемня в точкзл параметризованной кривой т. Получим бт ю 2аиа усовубу, Иу = а(созз у-мазу)Иу, Ыз = збпу(всосу)бу, у-„З О, уг бз+ згбу+ аз 3з = а»(-2з1аз усоа» у+ей»г у — 2 мазу+ ада усоззу) бу, у гз О.
Принимая во викмаиис равенство з г (-2 паз у соэз у+ зла уссез у) Иу = О, х = сов(о, у ж 21п ьо (О к (и ( — 1 ! 2/' получим 2 2 l г 2 1 з э 1.з 4 о(х — * Ну = — (з!в со+ сох )о)!((о = — 2 ззв ро((о = — —. 3 л 'и о о Вполне очевидно. ) и = ) о! = 1' ы = — —.
Следовательно. 1 = 3 ) ы = — 4. )ь о 'и о! Прп решензш примеров 146 — 151 будем пользоваться независимостью криволинейного интеграла второго родя от выбора пути интегрированна. соединяющего две точки, если подынтегральиое выражение является полным дифференциалом некоторой фуикиип в односвязной области Р, содержащей кривую.
ио которой вычисляется интеграл. Если известна такая функция и. что о(а = Р !(х+ О !(у, то можем сразу написать (з1, ю) 1( ! о!) Р!(х+()!(уж о(х.у)~ = а(х!у1) — и(хо. уо). (зо,хо) (зо Оо) Если впл фушппш о нам неизвестен и в данной односвязяой областл Р выполнено равенство ео е = .й-. то, пользуясь свойством независимости криволинейного интеграла от выбора пути е у интегрирования пз точкп (зо. уо) в точку (х1.
у1), лежащего в Р, будем брать в качестве пути ломаную, состояппю из отрезков прямых, параллельных координатным осям П не пересекающих гранину области Р. Тогда. в силу того что !(у = О. если у = уо, и !(х = О. если х = х1, получим формулу (з!. и) рд +() у= ~р(.уо)л-+~4)(.1.у)лу. (А) (зо Хо) зо Ыо Вычислить следующие криволинейные интегралы: (з, -о) 146. 1 = х !(х + у о(у. (о,м и Поскольку хат + уеду = -' !((х~ + уз), то !(з.
-1) 1=-(х +у)~ =12.> 2 ~(е, П (1. 1) 147. 1 = / (х — у)(!(х — !(у). (1, -1) < Вз равенства (х — у)(!(х — о(у) = (х — у) !((х — у) = - о((х — у) получаем 2 ((1 1) 1ж (х-у) ' ' = — 2. > 2 (1, -1) (1, 2) 1 у!(х — хо(у 148. хз вдоль путей, не пересекающих осн Оу, (2. !! 14. Ииъегрировазпге на многообразиях 167 окружности радиуса 1 с центром в начале координат. В плоскости хОу выполняются равенства х = О, йх ш О, в силу чего на кривой 1 подынтегральиое выражение и принимает вид о! = уз о(х — хз !(у.
Записав параметрические уравнения кривой Т! в виде 165 1'л. 2. Кратные и криволинейные интегралы ы Здесь Р(х. у) = ~»", ч)(х, у) = — —. х ф О, позтоыу е = е„= -о.. Следовательно, в любой одиосвязиой области, ие содержащей точек оси Оу. подыитегральиое выражеиие является полным диффереициалол! некоторой фуикции. Применив форл!улу (А) ! получим ! 2 ГЬх Г З Уы ( — — (Иу=--,» /хз ) 2' з ! 1о. з) х !(х + у йу 149.
1 = ~ вдоль путей, ие проходящих через начало координат. / /г2 .) уз (л, о) ~ Посколько = г) (Лг хо 4- уз), то з 4*+О Ся !)о, з) хз 4. у ' ' = О. » <!.о! ! о — 1 )2. ° ) ло!. Х= / (! — —,„,— ог!),;,-+-, -)! ...„тч.„ .) (, * ° *) )!.ч) оси Оу, < В силу равенства Э/ у' у') Ой.у у у1 2у у у', у — 1 — — соз — — — !1о1в — + соз / = соз + о!в —, ар (л з х/ Эх ~ х х ' х/ = ...,з можем применить формулу (А), в которой иитеграл по перемеииой у равеи нулю (таь как путь иитегрироваиия параллелен оси Оз): г я х1 ! = )! (! — -) ! - (* ! . ч -) ! В примерах 152 — ) 56 будем иаходить первообразвую функцию по известиому ее дифференциалу ыо, пользуясь ири атом формуламп (6) и (7), п.4А.
или видоизмевив их. например. иногда вл!есто формулы (6) бывает полезна формула з ы в(х. В) = / Р(!. О) Щ + ~ )О(хо, 1) ЛГ + С. (в) Уо если путь из точки (хо, уо) в точку (х. о) юобраи о ввле ломавоб. состоящей из отрезка. парзл- лельиоге >си Оо и отрезка. иараллольиого сн Ог (рис. 1 ). 1!, а) х !(у — у йх 150. 1 = г вдоль путей. ие пересекающих биссектрису первого коорди(х — у)з )а. -П иатиаго угла.
° Здесь Р(х. у) = — ф-) —,, я(х, у) = з г, о Е = з = — 2"т, и мы убехсдаемся атом, что подыитегральиое выражение является полиым дифференциалом некоторой функции во всякой одиосвязиой области. содержащей точки (О, -1), (1, О) и ие содержащей точек прямой ; = ((х, у) Е И~ ! у = х). Применив формулу (А), получим 14. Иитетркроваине иа хиотообразияк 169 Найтк первообразиую функцию в, если: 152. 6з = (х +2ху — у )(!х+(х' — 2ху-У )(!У.
м Применим формулу (6), пА.4, взяв ха = О Уо = О. Получим (*л)=Уза,У(' — 3 -Р(ю,а- а о з уз +,'у- ху' — — +С. (в 3 3 (ха + 2ху+ буг) ((х+(х — 2ху+ у ) ~у (х + у)з < Применим формулу (В) считая, что хо = О, Уо За О— любое фиксированное. Приняв во внимание равенства Р(х, У) = — + з, 1З(х, У) оа з, 1 4 уз (х — у) = +у (х+у)" ' =(+у)" получим Ркс. 1Т (х, у) = ) ~~ — + — ~) 61+ ~ — + С = (~!+у (!+у)з) / З зо = !з )я+у! — !з)у) — +2+!и !у(-!з)уо)+С = !з (я+ у! — +Сг, С( = сааза. м 2уг 2 уз (. зс )г (х+ у)' 154.
(!з = а (а" (х — у + 2) + у) (!х + а* (о"(х — у) + 1) 6У. ч Применим формулу (6), п.4.4, подагоя хо = О, уо = О. Получим (о (о (*, (=!( з+ (з ° ")(а(.-(+ ( + -(+и"~ +:("( — +и+(~ +- о о а а не +з(х — у+1)+а у+С(, С( =С вЂ” 1. в Найтк первообразную фуикпкю н, если: 155. йи = (х — 2ух)(!х + (уг — 2хх)(!у+ (зг — 2ху)(!х. М Записав (!ги в виде г г г 'х +у +з ('з з з Их+ У (!у+х (!з — 2(у*(!с+ хо(!у+хубх) =(! ~ 3 — 2хуз имеем са(х, у, з) = -(х +у +х ) — 2хух+ С, С =сааза.
6ь з з з 3 156. 6н= 1--+- 6х+ — + —, 6у ) ~ ") о о (..и..(-~(ь- — + — )з а! ( — ~-)а-1 — а~а, а М Вмре(кение и является полным дифференциалом в любой области, не содерхз(пей качана коордикат и точек плоскостей хОУ, хОх. Применив формулу (Т), пА.4, получим 1то Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы где (хз.
уо. зз) — некоторая фиксированная точка, С = сопзы 1Интегрирул, находим 1 уэ ~ / 1 уо) ху х хуэ х ху ху м(х. у, г)=х 1 — — + — — хе 1 — — + — ) + — — — — — + — + — — — +С. уо хз ) ~, уо хо ) га у хо уо г ло Взяв, например, хо ж уз ж го = 1! получим х ху ю(х, у. х) = х — -+ — +С!, С! = солям > у 157. Найти работу. производимую силой тюкести, юзгда материальная точка массы пг перелгещается из полол!ения (хг, уг, х!) в положение (хз! уэ, хэ), Ось Ох направлена вертикально вверх.
< Сила тюкести есть вектор †функц Р ж (Р, 0! Рь) = (О! О! -гпд), где д — ускорение свободного падения! а выражение Р Нх + 0!1у + К!1х ж — пздйх является полныл! днфференциалолг функции и = -годх. Поэтому работа силы У по перемещению материальной точки из положения (хг! уг, х!) в положение (хг, уз, хг) не зависит от формы траектории и равна величине 1 з,эз,зг) А = Розх +Яг1у+ Аозт = и(хэ, уг.
зз) — и(х!. уг, х!) = -пгд(гг — гг). > 1*! э! *!1 158. Найти работу упругой силы, направленной к началу координат, величина которой пропорциональна удалемию материальной точки от начала координат, если эта точка списывает в направлении. иротмвоположном коду часовой стрелки, полож!Пельную четверть хэ уз эллипса; = (х. у) Е И ! — + — = 1 лз $2 м Пусть М = (х, у) — произвольная точка па кривой; !. положительной четверти эллипса ",, а г =,/хз + уз — расстояние от этой точки до начала координат. Тогда упругая сила Р, направленная из точки М в начало координат, имеет внд У(х, у) = рте(М, О) ! где д — некоторая постоянная, е(М, О) — орт, направленный из точки М в начало координат.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
