Часть 3. Математический анализ - кратные и криволинейные интегралы. (509317), страница 26
Текст из файла (страница 26)
ЬОО Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы 2 з Полагая х = орсоз 1», у ю 6рзщ 1» (О ( з» < "-), получим уравнение заданной кривон в полярных координатах, используя которое, находим ее параметрические уравнения з з Ь соззызгп»1»+млз1зсоз» 1»1 з 2 а созз1»з1л'и го+ з1лз рсоа» 1р1 2 соз» <р 3 ил» р 3 ь и Пз разенсгза к = — гл 1», О < с» < —, получаем г --1 соз и 1» 1 з 3-- --1 з з -(хйу — у~1х) = -х О ~-) = — згп рсоа и:р+2з1в1»сохо+»1в псов и йр, 2 2 ~х) в О < д < —.
2 з з 3 2 з 2 3 а-- . з-- ап» рсоа рамаз = ( соз«рз1л и р4». о о Получим 2 3 г г 1 з-- юл с» со» г» Нез+ ал З»соз» 1»О»» 2аЬ Р=— в 186. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой т, заданной уравиениелз (-) +Я =с( — ) (-), >О, Ь>О, с>О, в>О. з М ПЕрЕХОдя К ОбОбщЕННЫМ ПОЛврНЫМ КООрдниатаы ПО фОрМупаМ Х = арСОЗЗ»Е! ЗЗ, К = 2 2» зп Ьр»1п~~+' 1», получим уравнение кРнвой У в виде р = ссозз»а' пап з»+з Зз, из котоРого заключаем, что прн изменении р от О до и криваа выходит нз начала координат и возвращается г в него, т.е, является петлей.
Используя уравнение кривой т в повлриой системе координат, получим ее параметрические уравнениа, в которых параметроы служит угол ри Зп+2 зп х = оссоз ьн.1 П зщ зпе),р 3 в»аз т р = 6ссозз ез р ага зп+з 1» О <,и < 2' Поскольку х йв — вал = О на отрезках осей координат, ограничивающих фигуру. то форл~ула (7) принимает вид Р= — ~ хйу — у~1х. 2 / Заменим криволинейный интеграл определенным. приняв во внимание равенство 192 Гл.
2. Кратные и криволинейные интегралы При стягивании контура 1 в точку (яо, уо) получим, применив теорему о среднем и пользуясь непрерывной диффереицируемостью функций Р и 14: 1 (Г !дР дЯ 1 дР д() Ищ — г г ~ — + — ) дя Иу = — (яо, уо) + — (хо, уо). я1о1-о В уу ( дх ду) дя ' ду Следовательно, !цп — (Х, и) 41 = — (хо, уо) + — (хо. уз). > 1 У дР дЦ <и> . В ~ ' д* ' ду 190. Доказать, что если 5 — заыкнутая простая поверхность и е — любое постоянное направление, то 1= О соя(п. е)ЫЯ=О, 5 где и — внешняя единичная нормаль к поверхности 5. ч Пусть е = (созао, созро. соз1о) — единичный фиксированный вектор.
Тогда можно написать равенство соз(и, е) = (и, е) = соя о соя аз + совр созда+ соя 1 солта, где сова, созд. соя Π— направляющие косинусы вектора нормали и. Применив формулу Остроградского (3), получим 1 Гд д д ~=Ц~,ао-Ц( — .~ — а+ — -.„)н ь~ = . ° / 1,дх ду дг 191. Доказать, что объем 1г конуса, ограниченного гладкой конической поверхностью 5, заданной уравнением Г(х, у, г) ж О. и плоскостью, заданной уравнением Ая+Ву+Сг+11 = О, РВ вычисляется по формуле Г = —, где Р— площадь основания конуса, расположенного в 3 данной плоскости, Н вЂ” его высота.
ч Не ограничивая общности, можем считать, что вершина конуса находится в начале координат, а плоскость, в которой расположено основание конуса, пересекает положительную полуось Оз (зтого всегда лшаано добггться путем линейного преобразования координат). Для вычисления объема конуса воспользуемся формулой (4), которую запишем в виде Г = — ~~ (т, и) дд = — О (г, и) ИЯ + — ~~(г, и) дд, где Яг — основание конуса, Яз — его боковая поверхность, т = (х, у.
г) — радиус-вектор точки М = (я, у, з) на поверхности конуса, и = (сова, соя д, сову) — единичный вектор нормали к поверхности конуса (рис. 21). На боковой поверхности конуса векторы т н и ортогоналъны, позтому ~~(т, и) ЫЯ = О. Следовательно, 1' = го(т, и) 4Я. яь На множестве Яг выполняется равенство А В 11 з= — — х — — у — —, С С С' Гл. 2. Кратньве и криаолннейиьве интегралы Рис. 23 Рис. 22 Если а < Ьв, то С > О, и носкольку сов т < О. то С 7т~~в ~с ' С *, 6 68 А+В;С'Ы ~(, )юг=-да~.,сА ° в..сн, в..сс~ьг..
где А= ' = -сх(е, е)сохи, В = ' = -су(е, ю)сове. Р(у> в) 2т(в, х) 23(и, е) ' ' 2т(е, е) Таким образом, в Складывал полученные значенил, нри с > О имеем 4 в 2 в 4 /в 6в'в У ж -1га с+ -х6 с = -хс а +— 3 3 3 ~, 2) Если с < О, то, очеаидно, нолучнм /, 6в~ У вв -хс ~а'+ -~ . 3 1 2 ~ Окончательно имеем У = -х(с( ~а + — уг . р 2 — 3 ~ 2,~ рассмотрим нескоаько примерок на нримеиеине формулы Остроградского (3).
Вычислить интегралы: ~(г, и) лЮ = Ц (с (х (е, е) + у (е, в)) сов и + (а — 6 ) в(е, ю) в(п е сов и))Но Не = з тв -.'-./~ 1Нх Н . где Я вЂ” внешняя — в+ х) Н»Нх+ (» — х+ у х у. 104. / )(( — „/*)Н/*/( — х+ х!+ (» — х+ у! = 1. авнением ((х — у+ 4 + ~у — х 3, по- сторона позер ве хиости, заданной ура н ое поверхностью Я.
Применив формулу ( ° я Обозначим ч(ерез Т тело, р , ог аниченное лучин д НхНУН» = 3 АхНу х — Н», з( ду дв .)+ —,—. Ч(а а дх т т — — л»з — »+х,мжх— х+у ен переменных, полагая и — х у+я, у Произведем в интеграле замену пе Принимая во П во вииыание равенство 1 3У(х, у, х) 31(и, з, 10) 3У(и, в, со) 3У(х, у, ») 1 -1 1 1 — 1 1 1 — 1 1 находим 1- 1-— б ~О НиНвАи=б/Ни~А« «~ Ни)= «+«+на» «ао, ано, нао 1 о , )" (1- )',и С, = б ~А~ / (1 — — )Нов о о о г 3 Я («(+( ~+(н(я» в соз;) НЯ, где — ча Я вЂ” сть конической поверхности, 195.
1 = Д(в~ сова+ у» говд+ в соз;), — " хностн, д, сов э — напразлзющ ие косинусы хэ + з = хз, 0 С я < 14, н сов и, сов, с заданной уравнением х +у = х, этой поверхности. ой Осгроградско- впешией норьгааи н к кн та, то воспояьзоватьсв формул /я Поскольку позер иове хиость Я незамкнута, то восп ю пол чим, п нсоединив ко Рассмотрим замкнутую паве —,х)бй )х +у го (3) нельзя. Я е во точек круга Яз = х, у, а н иа окружноюльк верпшж конуса б псевдомно, ольк е елен.
' ти — йз — ц т и н опр 1'и м / к как О. и асслаатривать интеграл иа ми к как онн имеют меру . и р мн можно пренебречь, так как 193 ~~~го, Грни а н Стокса $ б. Формулы Остр Р фе ы, заданной з »,1.НУ, где ' — в внешняя сторона с еры/ ' 193, ~~х Н,Н.+у ° » 3+⻠— а УРавнениеы х У к го (3), находим /я Используя форааулу Остроградского 1 = 3 ~~~(х' + у +» ) Нх Ну Н*, » .
1'са а. После перехода в интеграле к 1 +» С а ) — шар радиуса а. ос е )б«жлз(Х +„ сфернческ ф нческиы координатам получиы 13 л /Н = — яа.> /~/ /,/,= —, о о Гл. 2. Кратные н криволинейные нн е нтет алы 196 Яз = Оз '1("а О (О, О, О)). Имеем равенство 2 2 =д х ' - -'Ы5 — 0(х созе+у соа,О+ г соэ;) 1= /(хзсоэа+у соа41+ - соат) 5213 формулу Остроградского ого 3, а иа мио- Л, ага = аах йу. Поэтому получила К интегралу иа лаиожестве Бз ьаож р -ем п имеиить жестве 2 '4 3 инее Я '4 м созга = сов З9 = О, соз 3 = 1, г 1 = 2~~~(х+ у+ г) йх йуйг — Ь 2 а главу аз+42<аз т = г Я О ° + *а а. а, а. — *а'.
т л л (х+у+г)йх у г= ар сог +г 41гга 1а1аа.а, .аа*а,а. =)аа,)а,а, (а,а,+. ~а-:-.аа*= о о р т 2. Ь Ь2 р2 3 — а(са р(Л р)(сох 43 + пп 42) + — — — рад= — Л . о о — — Л4 хЬ4 — ДЬ4. > Окоичательио имеем 1 =— 196. Вычислить интеграл Гаусса / соз(т, и) 1(х. у, г) = ,з я поверхность, ограничивающая компакт Г С й', и— где ~р~~~~ заьзкпутая гладкая лове ПОВЕ ХПОСти О В ЕЕ ТОЧКЕ (С, Ла Ьа а 4' — Р +(~ )2 , и г = (С вЂ” х) +(Π— уа ( ) б) : а) позе хпость Я ие окружает точку х, у, М Рассзаотрааза два случая: а) поверхпост Я окружает точку (х, у, г). ого (3). Приняв во внимание равен- В случае а) можем применить ф р у о м лу троградск Ство СОЭ(Т, и) ж ~ а )а ПОЛ1ЧИМ ) (4 — * (х К г)— — -) = аз ! тз Я (а (4-*) а ( —,) „а (4-.)) т ) "=И~" тз т т г а ского р , итег ал 1(ха у, г) стаг а ского применять нельзя, так как и р отвеине Д~~ этого рассмотрим П том ' вычислим его пепосредств е полот Т с к аем,зз, лелсащий лсим, что (х, у, г) Е 2аз, где е г — внутренность компакта 3 .
иожес аииым кРаем О" 43 Яа, где Оа — Р- компактом с ориеитироваииым кра ио мали и т очку (х, у, г) и являетсл акта Та. в каждоа точке которой единичный вектор р ептироваииая граница компа гз'2 2 2ахз2<г<Ь) ° где = хау,г У вЂ” (( а,г)бП:х +у <Ь,г~ +у и к илиндрическпм координатам и и залаеиим получеииыи В тройном интеграле перейдем к пилив интеграл повториыла. Найдем 198 Гл. З. Кратные и криволинейные интегралы Применив формуву Стокса (9), получим г = зЦ буях+ Вйхйх+ 2 гхгу=зЦ( з'и+ зб+ Гт)йз= г 0 йВ=зв, 5 5 5 где  — плов[адь площадки Я.
И Применяя формулу Стокса (9), вычислить интегралы: 189. 1 = ~убх+хеу+х Их, где 2 — окружность, полученная в результате пересечения сферы Я = ((х, у, х) е Я~: х + уз + зз = аз) с плоскостью Яы заданной уравнением х + у+ х = О, пробегаемая против кода часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны осн Ох. П Применим формулу Стокса. взяв в ней в качестве поверхности круг 52 радиуса а, лежащий в плоскости Я2.
Получим Т=- Дгг».~»~ »ЬЬ=- Д»..»». Р~. ЕЮ, 52 52 где созе, созд, сову — направляющие косинусы нормали и к плоскости оы Так как вектор и и орт й оси Оз образуют острый угол, то в ка2кдой из формул для вычисления сова, со»,9, созт перед радикалом в знаменателе следует взять знак "+». Приняв во внн- 1 манне, что соз а = соя Д = соз т =, имеем чз ' 2' = — ~ГЗ ЧИЮ = — ъ~Зха, так как площадь круга Яз равна яа . ° 2 л()(). 2 = ((у — х) йх+ (х — х) йу+ (х — у) ях, где у — кривая.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
