Часть 3. Математический анализ - кратные и криволинейные интегралы. (509317), страница 30
Текст из файла (страница 30)
грй Гл. '2. Кратные н криволинейные интегралы М Рассматриваемая дуга лежит в плоскости, уравнение которой у = э-х, и представляет собой четверть окружности радиуса 5. Парамегризуеьг эту кривую, выбрав в качестве параметра > гол у, образованный радиусом-вектором точки кривой, лежащим в упоыянутой выше плоскости, с его проекцией на плоскость хОу. Тогда параметрические уравнения данной дуги будут иметь вмд х = 3 сов у, у = 4 сову, ь = 5 яп у (О < у ( -), и единичный касательным вектор т в каягдой ее точке будет выражаться формулой 1 / 3 .
4 т— (х (у), у (у), ь (у)) = ( — -яп у, — -яву, сову) . ( ~(, ))2+ (у (, ))2+ ( 2(„))2 (, 5 5 Вектор В на данной дуге приминает вид В = (4 сову+ 5 вшу)2+(5яп у+ 5 сову)у+ (7соь у)й, поэтому имеем: (В, т) = 7соь2у — — яп2у. Применив формулу (1), п.5.5. и приняв во внимание равенство Й = 5 Иу, получим; ь 2 .4 = (В, т) й! = 5 (7соь2у — — яп2у) 4у = 5 (-ь>п 2у+ — сох 2у) ~ = — 12.
и 5 ) ь2 5 )1~ м>г о 229. Найти циркуляцию Г вектора В = — уь'+ ху+ сй (с — постоянная): а) вдоль окружности ", = ((х, у. 2) Е В~: хэ+ у = 1, ь = 0); б) вдоль окружности; = ((х, у. 2) Е В~: (х — 2) + уэ = 1, ь = 0). м Циркуляция поля В вдоль замкнутого контура; равна, по определению, имтегралу Г= ф(В, )Й. ~у В случае а) возьмем параметрические уравнения окружности в виде х = сову, у = яп у, г = 0 (О ( у < 2т).
Тогда получим: т я (-вшу, сову, О), В = — ььшу + усову+ йс, (В, т) =1, й=4у, 2ь Г = )2 (В, т) Й = / йу = 2т. а В случае б) параметрические уравнения окружности берем в виде х = 2+сову, у = йп у, 2 = 0 (О ( у ( 2т). При этом получаем: т = ( — яп у, сову, О), В = — ьяп у+у(2+сову)+ Ос, (В, т) = 1+2соьу. Й =Ыу, Г = / (1+ 2 осе у) 4у = 2т. р о 230. Найти циркуляцию Г вектора В = бган (агсгб -) вдоль контура э в двух случаях; у'> а) ", не округиает оси Оь; б)ау окружает ось Оь.
ч Пале  — потенциальное, поэтолгу в случае а) его циркуляция Г вдоль любого контура, не содергкащего особых точек функции (х, у) ь агсгб д, равна нулю. В случае б) имееьг; Г = ~(В, т) Ы1 = ~ (Згаб (агсгб-), т) Й = 0> — ( агсК -) Й = агсК вЂ” ~ (наполшнм читателю, что выраясение (Огай у, т), где т — единичный касательный вектор к некоторой кривой, равмо производной скалярного поля у вдоль этой кривой), Обозначив †" = гбу, получаем,что циркуляция поля В по замкнутому контуру э равна приращению угла д при его обходе. При каждом полном обходе угол д получает приращение з б Элементы векторного анализа 213 2х (так как контур т окрулсает ось О«и его проекции на плоскость хОу окружает начало координат), поэтому в общем случае Г = 2ти, где и — число полных обходов контура "с вокруг оси О».
в 231. Дано векторное поле Л = у л — — у+ ссхууй. Вычислить гас Л в точке М = (1с 1, 1) ьс«лс'« и найти приблилсенно циркуляцию Г поля вдоль бесконечно малой окружности Т. = 5 гс Т, где 5 = ((х, у, ») 6 Л~: (х — 1) +(у — 1)»+(»-1) = з»). Т вЂ” плоскость, заданная уравнением (х — 1) созе+ (у — 1) сов 1? + (» — 1) соха = О, где соз» а + соз»,б + со»» ", = 1. о Применив формулу (4).
п.б.?, получим: гос Л = — (лсху) — — — — с+ — — — — (~/хуу) у+ гоС Л(М) = — 1 — 2й. Циркуляцию Г поля Л вдоль заданной окружности вычислим с помощью формулы Стокса Г = О(и, гос Л) с?в, г где в — кусок плоскости Т, осраниченный окружностью 1. На плоскости Т имеем: » = 1 — — ((х — 1)сова + (у — 1) солса), »' = — — "* . »з — — — — "*, и = (сола, созсб, соз-), (и.
гог Л(М)) = — соз В 2 соз с ° Подставив скалярное произведение под знак интеграла, найдем: à — (со«В + 2 сох "с) с(в = — (газ сб + 2 сов "с)хе так как и — круг радиуса е, лежащий в расслсатриваемой плоскости Т. в 232. Показать, что поле Л = у«(2х+у+«)л+х«(х+2у+«)г+ху(х+у+2«)й потенциальное и найти его потенциал. < попе потенциально, поскольку голл = О (убедиться в этом предоставляем читателю). В сичУ потенциальности полм Л, нмеелс Л = Огас) Р = в л+ в,г+ в й.
вз. вг ве в* в» Пз равенств ф = у»(2« + у +»), — Л = х»(х + 2у + «), вк = ху(х + у+ 2») находим: »с(х. у, ») = ху«(х+ у+») + т,"(у, «), — ~ = х«(«+2у+ «) = х»(»+ 2у+ «) + — с, откуда — з = О, б = Ф(»). Пз равенства — ~ = ху(х + у + 2») = ху(х + у+ 2«) + Ф («) получаем: Ф («) = О, Ф(») = С, где С = совал.
Окончательно имеем: с»(х, у, «) = ху»(х+у+»)+С, где С вЂ” произвольная постоянная. ~ 233. Найти потенциал гравитационного поля Л = — — г, создаваемого массой пс, гз находящейся вначале координат. О Принимая во внимание равенство Я = угас) ™, находим потенциал Св поля Л: Сз = —. 1ь 'Улралснення для самостоятельной работы 1бб.
Найти угол р между градиентами функции и = агсгб — * в точках Мс — — (1, 1) и М» = (-1, — 1). . н с* ~... „„„„,= ..= ссссо». е = (созе, сов сб. соя з). В каколг случае зта производная равна нулю? 1бб. Найти производную поля и в направлении градиента поля е. В каком случае зта производная будет равна нулю? Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы 214 161. Найти э у й е е е 61» е* еэ е* ы« ыэ ы« 162. Вычислить ССС» (у(г)с), где с — постоянный вектор. 163. Найти гз» (у(г)т). В каком случае дивергенция этого вектора равна нулю? 164. Найти поток вектора и = хус+ угу+ хгй через часть сферы Я = ((х, у, г) б К~: х + у + х = 1), лежащую в первом октанте. 166.
Найти поток вектора и = у«э+ хгу'+ хуй через боковую поверхность пирамиды с вершиной в точке Р ы (О, О, 2), основанием которой служит треугольник с вершинами о = (о, о, о), А = (г, о, о), в = (о, 1, о). 1ВВ. Доказать, что: а) гоС(и+ е) = гоС и+ гоС о; б) гоС (эи) = о гоги+ (Огай», и]. 167. Найти направление и величину гоС и в точке М = (1, 2, — 2), если и = 1«+ -*у+ «й. ы 168. Найти гоС(бгабСг). 166. Дви'кущаяся несжимаемая жидкость заполняет область й.
Предполагая, что в области Й отсутствуют источники и стоки, вывести уравнение неразрывности м + Й» (р о) = О, где р = р(х, у, х) — плотность хеидкости, е — вектор скорости, С вЂ” время. 170. Вычислить работу силового поля Х = уг+ ху+(х+ у+ г)й вдоль отрезка АВ прямой, проходящей через точки Мг = (2, 3, 4) и Мг = (3, 4, 5). 171.
Доказать, что поле и = )(г)г, где У вЂ” непрерывная функция, является потенциальным. Найти потенциал этого поля. ~ 7. Запись основных дифференциальных операций векторного анализа в ортогональных криволинейных координатах 7.1. Криволинейные координаты в евклндовом пространстве мэ. Параметры Ламе. Если в евклидовом пространстве и введена система координат дг, дг, дэ посредством з формул х = х(О), у = у(О), г = г(О), О = (уг, дг, дз), (1) связывающих декартовы координаты х, у, г точки М б ы с координатами дг, дг, дз, то з ее называют криеолинебноб системой координаш.
При этом координаты Сп (1 = 1, 2, 3) называют криеолинебными. предположим, что отображение Ф = (х(6), у(д), г(о)), о б Й~, порождаемое системой равенств (1), является С -днффеоморфизмом м«на Ж~ (т,е. Ф непрерывно диффереицируемое вместе с отображением Ф с). Определение 1. Криеолинебная скошена коордииаш дг, дг, уз называется оргаоэональноб, если еекторы — (О) (г = 1, 2, 3) взаимно оршоэональньс еы ж — (о), — (6)~ =о, ~ — (о), — (о)~ =о, ~ — (О), — (6) =о. (г) дФ дФ с lдФ дФ 1 УОФ дФ ду, 'ду, )= ' ~д„'дуз ) ' (,д~ 'ду. Сферическая и цилиндрическая системы координат в евклидовом пространстве Ж~ являются оргеоэональными криеолинсбными системами. 3 7. Векторный анализ и ортогональных криволинейных координатах 215 Действительмо, если Ф(р, В, р) = (рыл В совр, рьгп Вяп Га, рсоьВ), р ) О, О < В < 0 < ьг < 2х, и гр(р, га, ь) = (репью, рь1п Гь, ь), р ) О, 0 < га < 2я, з б !к, то имеем дгй двз — ю (ага йсозга,ь1пВь1пю, созВ), — = (рсоьдсоьГа, рсоьВявю, -рз1пВ), др дй аф — = ( — рьгп Вял 1ь, ряпй сов ю, 0), др дзР— = (сов Зг,з1п 1а, 0), др ар — = ( — ряп и, р сов ю, 0) дсь Если систел~а криволинейных координат Вг, Вз, дз ортогональна, то векторы — (г ая, 1, 2, 3) образуют базис пространства !а~, и базис ) е, = — — (О); ! = 1, 2, 3).
где И, являетсв арнзанорь~ироеанным. Функции И, называются па- раметрами Лале. Базис (е,; г = 1, 2, 3) и паралгетры Ламе изв~еняются при переходе от точки к точке. Если в ортогональной криволинеймой системе координат дг, Вз, Вз одна координата фиксирована, то отображение гй определяет лгногообразие класса С' размерности р = 2 — гладкую поверхностти которую будем называть координатной лоеерхносигью. В пространстве И существует три семейства координатных поверхностей. Через кахкдую фиксированную точку евклидова пространства !й проходит по одной поверхности каждого из трех семейств.
з Рассмотрим элементарную ячейку, образованную тремя парами сложных координатных поверхностей, и обозначим а!ю Ы!з, а!з длины ребер ячейки. Имеем а!1 = Иг г!Вг и!2 Из г!Вз а!3 Из г!Вз (з) где И, (! = 1, 2, 3) — параметры Ламе. Действительно, а = асьг+~аагтЮ= дф = ы;,ц, ( = 1, г. з). Вычислим параметры Ламе для случаев перехода от декартовой прямоугольной системы коордимат к сферической и цилиндрической системам координат. При переходе к сферической системе координат имеелг — япз Всозз зь+згпзВяпз зь+ соззВ = 1, (4) рзсоззйсоьз ге+ рз соьз Вяп Ге+ рзявзй = р, (5) = р ь1п В, (б) 17) н а при переходе к цилиндрической системе координат получим "-,) = — = (о, о, 1), дгР дь —.") = Гп. 2. Кратные н криволинейные иитегрялы газ Зз + рз соэз 1з = р, (8) = /1=1, (9) Определение 2.
Элементом обьел1а Ыг' в криволинейных координатах вг, йз, дз. соответствующим приращеииял~ Ид, координат д, (1 = 1, 2, 3) в томке д = (Вм вз, уз), вв называется объем параллелепипеда, посаьроеинозо иа векторах — (о) Ыд,. вг Согласно этому определению имеем (10) ВК(9) = где Г \ в (ч) ауз, в (ч)айз, в (Ч) бйз~ — определитель Грана от векторов — (а) бф (~ = / вв вв вв вв 1. 2, 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
