Часть 3. Математический анализ - кратные и криволинейные интегралы. (509317), страница 31
Текст из файла (страница 31)
вв Приннл~ая во внилтние ортогональиость векторов — (( = 1, 2, 3), получим во l дФ дйг 'г / дкз дкг з / дФ дич 31'(Ч) = ~ И) И)/1 ~ — (Ч) — (9)) ( — (Ч) — (Ч) 491 бйз "чз = дуг ' доз даат ' дуг дуз ' дуз = Н,н,н,бй, б„б„, (11) Пспользуя определение 2 и формулы (4) — (11), моькно получить известные вырагкения для элементов объема в сферической н цилиндрической системах координат: Иг(р, В, зз) = р юа Вбрбббю, г(1г(р.
зз, г) = рбрбюбз. Параметры Ламе называют масштабными лшомителялш. Координатные линии, вдоль каждой пз которых изменяется лишь один параметр, можно представить как кривые в пространстве И, на которые нанесены шкалы этих параметров. Параметры Ламе Н, на этих з кривых преобразуют параметры д, в длины дуг соответствующих кривых, 7.2. Градиент скалярного поля. Пусть в области Р' С м~ задано дифференцируемое скалярное поле о ~ и(9). Компонентами вектора бгад и(о) в базисе (е; = л в (о); 1 = 1, 2, 3 ( являются его проекции — (у) = вв в и, ви ви (бган и(о). е,) на направления, определяемые векторамп е,, Поскольку (бган и(о), е;) ц (бхай и(0), в (д)) = — в (о), то спРаведливо пРедставвение 1 ди 1 ди 1 ди бгао и(д) = — †(д)ег + — †(д)ез + — †(9)ез. Нг доз Нз даат Нз джаз В частности, в сферической и цилиндрической системах координат вектор — градиент скалярного поля и имеет следующие представления: ди 1 ди 1 ди йгад и(р, В, р) = — (р, В, Эз)ер+ — — (/б В, д)ее + —.
— (р, В, р)ек, др ' ' р дб ' ' рмиВдр ди 1 ди ди Всади(Р, Р, г) = (Р, Р, з)е„+ — — (Р, Р, з)ее+ — (Р, Р, з)е„ др ' ' ' р др ' ' ' дз (г) (3) где (е„, ев, ее), (ер, ет, е ) — ортонормированные базисы, пороясдаемые отобраясениямн Ф'(р.
В, Зэ) и 1Р'(р, Гв, з) (см. п.7.1). Рассуждая аналогично. получил| 1 дНз 1 днз го| ез = — — ез — — — е>, Нз Н> дд> Нз Нз ддз 1 дНз 1 дНз го| ез = — — е| — — — ез. Нэ Нг ддз Нз Н! д>> (7) Вычислим теперь расходимостн векторов е|. ез, еэ посредством формулы Йт (и>, из] = (Сз, [и>, из]) эз (из, гоС и!) — (и>, го| из), полученной при ре>ленни примера 219. Приняв во внимание, что е> = (ез, ез], ез = [ез, е>], ез = (е,, ез], илзеем: 1 дН> 1 дНз >С>гг е! = (еэ,. гоз ез) — (ез, го| ез) = — — + — —: (8) Нз Н> дд> Нз Н! дд 1 дНз 1 дН> Й| ез = (е>, го| ез) — (еэ, го| е|) = — — + НзН> ддз Н>Н> ддз ди> 1 днз д|т ез = (ез, гоС ез) — (е>, гоС ез) = — — + — —.
(19) Н,Н> ддз Н|Нэ ддз Если и = (и>, из, из). то, л силу линейности операции вычисления расходимости, получим д>г и = Йг (и>е>) + ОЬ (изет) + >С|! (изез) = (с>, из е!) + (сз, изез) + (з>, изез) = = и> Й| е> + из ОСт ез + из Йт ез + (е>, бгаб и>) + (ез, бга>С иг) + (ез, бга>С из) = + из диз и> дНз из дНз и> дН> + + + НзН дд> Н|Н! дд! Н|Н> ддз Н|Н> ддз иэ дН из днз 1 диз 1 диз 1 диэ + — — + — — + — — + — — + — — = и,Н. д„и,и. ад. Н, ад, Н, ад, И. а„ сд а а '[ — (и> Нзиз) + — (и>Н>Н>) + — (изН! Н>) .
(11) Н>Н>Н| [ дд> ддэ ддз (9) 3 7. Векторный анализ в ортогональных криволинейных координатах 7.3. Расходнмость н вихрь векторного полл. Для записи операций расходимости и вихря векторного поля д | и(д), д б Р'. в криво- линейных координатах нам понадобятся некоторые вслолюгательные вычисления. Полагая в формуле (1), п.7.2, и = дз, получил! 1 бга>1 д> = — е>. Н> Взяв операцию вихря от обеих частей равенства (1) и принимая во внимание, что гоС хга>1 д| — — О, имеем 1 1 е>1 1 1 1 1 1 го| — е> = ~~, — ) = — [Ст, е>] — >е>, 1> — ~ = — го| е| + >ага>С вЂ”, е>~ = О.
(2) н, [ н>] н, ! Н>] = н, и,' Согласно формуле (1), п.7.2, находим 1 1 д (11 1 д /11 1 д >1~ егаб — = — — ! — ) е> + — — ( — ( ез + — — С вЂ” ) ез = И, И а„СН) Н д„(Н/ Н адэ 'й) 1 > 1 дн> 1 дН> 1 дН> ~ 1 е! + — ез + — ез / = †в бгаб Н>. (3) Нзз ),Из дд> Нз ддз Нз ддз ] Нз Такиз! образом. равенство (2) принимает вид 1 1 — го| е> — — [бга>С Н|, е>] = О. (4) Н| из Следовательно, го| е> = — [бга>СН| е>]. Поскольку [бга>С Н>, е>] = — — с ез — — — | ез, то ! з ен > ел и| и, е, и, ез, 1 дН> аи, го| е> = — ез — — — еэ (8) Н> Нз ддз Н|Н| ддз 218 Гл. 2. Кратные н криволинейные интегралы Если в формуле (11) взять и = бгаб «, то получим следующее выражение для оператора Лапааса в криволинейных ортогональных координатах: Для вычисления вихря векторного поля и воспользуемся линейностью этой операции, форл>узами (5) — (7), примером 216 и формулой (1), п.7.2: гос и = гоС(и>е>) + гоС(иаег) + гоС(изез) = = иа гоС е> + иг гоС ег + из гоС ез + [бга>1 и>, е>] + [бга>1 иг, ег] + [бгаб из, ез] = и> ВН> и> дН> иг дНг иг дН> — ег — — — ез+ — — ез — — — е> + Н Нз ддз Н Нг ддг НгН> дд> Н Нз ддз из дЫз из дНз 1 ди, 1 ди> + — е> — — — ег + — — ег — — — ез + НзН, ад, Н,Н, дд, Нз адз Н, ддг 1 диг 1 диг 1 диз 1 диз + — — ез — — — е, + — — е> — — — ег = Н> дд> Нз ддз На ддг Й> дд> 1 / д а = — ~ — (Нзиз) — — (Нги,)) е> + — [ — (Н>и> ) — — (Нзиз) ег + НзН, с ддг ддз ) НзН> [с ддз дд> /д д + — [ — (Нгиг) — — (Ы>и>) ез.
(13) Н> Нг ад> ад Выражение (11) можно рассматривать как результат применения формулы Остроградско- го к параллелепипеду К, стороны которого равны смещениям вдоль координатных линий, со- ответствующих приращениям г>д, (а аэ 1, 2, 3), а выражение (13) — как результат применения теореиы Стокса к трем парам граней того же параллелепипеда: 1/ 1 1 б>«в(д) = 1цп — )) (и, в) >13, (гоС и, и) = йш — ~(т, в) Й, и-д иК)) Я-4 Ио У с где ИК = Н>НгНз Вд> Вдг Вдз — объем параллелепипеда, Я вЂ” его граница, в — вектор внеш- ней единичной нормали к поверхности Я, ра — площадь поверхности 5, й — объединение контуров, ограничивающих грани параллелепипеда, т — единичный касательный к й век- тор.
При этом следует принять во внимание, что векторы внешней единичной иормаюа и на гранях параллелепипеда К и векторы т, касательные к кривой Х, совпадают с векторами башка (еб а = 1, 2, 3) или противоположны им. Для вычисления расходимосги и вихря векторного поля в = (и>, иг, из) в сферической и цилиндрической системах координат воспользуемся формулами (4) — (9), п.7.1, и формулами (11), (13) этого пункта.
Пмеем а, 1 а аи. б>«и(р, В, сз) = — — (р и>) + —, — (иг жп В)+ —, (14) рг др рз>п д> дВ рз>пв аср ' 1 д 1 двг диз б>«в(р, р> з) = — — (ри>) + — — + —, р ар р ар а ' С'д . диас гас и(р, В, г>) = —, — (измп В) — — ) ер+ ряпВ [ дВ а~ ) ( 1 аи, 1а лс /1а 1 ди>'С + †, — — — — (риэ)~ ез + ~ — †(риг) — — — ] е„, (16) 1рз>пб дС« рдр ) [ рдр р дВ) 1 диз диг ди> диз 1 д 1 аи~>С >оси(р, ср, з) = ~- — — — ) ер+ ~ — — — ) си+ ~- — (риг) — — — ) е,. (17) 'с,р ар аэ) ' [,а.
а,) и ~рар рар) *' Если (р, >), сз) >- и(р. В, гз) и (р, >р, з) > «(р, сз, з) — дважды диФференцируемые ска- з«риме полл. то. применив формулу (12) этого пункта н используя формулы (4) — (9). п.7,1. З 7. Векторный анализ в ортотональиых криволинейных координатах получим запись оператора Лапласа в сферических и цилиндрических координатах: 219 а /,аи'1 1 а /. а»1 1 а' 11и = (ьз, тзи) = — — ~р — ) + — — (в!п  — г! + —.
рг др ( др) ргв!пд дВ (, ддз! Ргяпд дззг' 1а/а»'1 1а'» а' сг» я — — р — + — — + —. р др ( др) рг дззг дзг' (16) (19) 234. Вычислить 6гад и, где и(р, В, гз) = Зр вш В+ езсов!г — р. М Применим формулу (2), п.7.2. Получим /ди 1аи 1 ди! / . р езз!и р ! игаг! и(р, В, р) = —, — —, —, — я бреш д+ ерсов!з — 1, Зрсовд, — —, ~,ар: р дд' Ряпд ар) (, ряпВ / 235. Вычислить бган и, где и(р, сг. з) = рг + 2р сов !з — е*зш !з. М Согласно формуле (3), п.7.2, имеем /аа 1 аи аи'! / / . в*с»вез 1 6гы!и(р, Зз, з) = —, — —, — = 2(р+совгг), — 2япге+, е'з!и!з (,ар' р ар: а ) ° )' 236. Вычислить д!» и, если и = (иг, иг, из) = ~р, — 2 сов ю.— г г зз рг а Применив формулу (14), получим 1 д г 1 д 1 диз гй» а(р, д, гз) = — — (р иг) + —, — (иг згп В) + —, рг ар ряпВ дВ рз!пв ар = — — (р ) — —, — (2сов рз!ад) + —.
Р др ряпВ дВ рыл В двз 1 рг + 1 Г 2 = 4р — — сов сгс!6В+ Р Р(Р +1)япд 23 з . Вычислить г!Н а, где а я (иы иг, из) = (!загс!6 р. 2. — зге') . а Согласно формуле (15), ныеем 1 д 1 диг диз 1 д 1 а а ай» и(р, !з, з) = — — (раг)+ — — + — = — — (рггагс!6 р) + — — (2) — — (з е) = р ар р а; а р ар вар а. я — аы!6р+ — +2зе + з е . !ь Зз Р г з ,г) з!гир г 239. Вычистив го! а. где а = (из, из: из) = (сов !Р, — — Р ) . Р 238. Найти го! и. если а = (иг, из, из) = (рг, 2соз В, -!е). М Применим форлгулу (16).
Получим го! и(Р, д, 'Р) = /а аиг'1 1 аиз 1 а (из в!и д)— 1Р.!пВ [,ад а~) ' Рз!па ар Р аР 1 д 1 аиг'1 (риз), — (Риг) ) , ав) / !Р 2совд ! ,!6В,—,— ) > Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы 220 М Согласно формуле (17), имеем !»1д ди, ди, ди, 1 д 1 ди! 1 гог и(р, да») = (х — — — —, — — —, — — (риз) — — — ~ = '! р др д» ' д» др ' р др д,) У'1 д, д /м'пр'1 д д, 1д 1 д — — (р ) — — —, — (соз!Р) — — (р ), — — ( — соБ!Р) — — — (сиз Ьв) (,, а; д» (, р / ' д» др ' р др рдр О,— 2р,— Г»2 сов В »1п В 240.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
