Часть 3. Математический анализ - кратные и криволинейные интегралы. (509317), страница 24
Текст из файла (страница 24)
Поскольку е(М, О) = — —,, где г = (х! у) — радиус-вехтер точки М, то Х(х, у) = -дг = (-дх, -ну). Значение работы А найдем, вычислив интеграл А = -Н / х <1х+ уйу И Г' д(хг+ уз) г( э! Как и в предыдущей задаче. работа А не зависит от формы траектории точки и равна раЗНОСтн ЗМаЧЕНнй ПОтЕНцмаЛа Н(Х, у) ж — Д(Х~+ уэ) СИЛОВОЙ фуНКцнн Х В тОЧКаХ (О, З) И (и.
О): А= — — (Ь вЂ” а ). в д 2 » 159. Найти работу силы тяготемия )Х( = —, где г = хэ+уз+хз„действующей на гз ' единичную массу, когда последняя перемещается из точки М! = (хг, уг, л!) в точку Мэ = (хэ, уз, гг). М Сила тяготения У является цеггтральнай а!пой; поскольку ее линия действия проходит через начало координат. Поэтому можем ее представить в анде Р= — е(М,0)= — — ' ж-»~ —. —. — ), 1» г(ОМ) гх у хт г 1гз' „з гз) ' ГУ2 Гл. 2. Кратные и криволнкейиые интегралы Окончательно получаем л = «(1+ л/2).
л» ГГ а'а 162. 1 и 0 — где Я вЂ” поверхность эллнисонда с поьуосямн л, 6. с. а б — расстояние 0 л ' от центра эллипсоида до плоскости, касательной к элеыенту Ыо поверхности эллипсоида. М расстояние б определяется формулой б = х соь О + у соя р + х сох э. где соха, саад, сол Э вЂ” направляющие косинусы внешней единичной норлшли и к поверхности эллппсоида в точке (х, у, г).
Запишем параметрические уравнения поверхности эллипсаида в виде х ю а зш В соь р, у ««Ь ьлл В зш р, г ь«с соь В (О ( В < т, О ( л«< 2«). Применим форыулу (9), п.4.3, полагая там и = В, л = л«, б1схадя пэ симыегрии. мохсен написать равенство 51 где Ял — васьыая часть поверхности эллипсоида, леясащая в первоы октанте. Если (х, у. «) б 5л, то 0 (~ В ( <$, 0 < р ( <-'.
Вычлгслплг направляющие косинусы вектора внешней единичной нормали п в тачке (х, у. -) б Ял ~ д5л. где дал — край поверхности ал. Для этога найдем Р(у, х) Р(х, х) Р(х, у) Р(В, р) ' Р(В, р): Р(В, р) Писем А = бсыл Всеь р, В = асьглг див лг, С = ьбьш ВсозВ. Так как С ) 0 при 0 < В < -' и указанный вектор единичной нормали и в каясдай точке г множества Ял ~дЯл образует с положительныы направлением оси Ох острый угол, то соь Э > О, следовательно, А "т=й«»т*»с "'«=~+« »~Э': "л=~ »в*.С Залгенив поверхностный интег ал соответствующим еллл двойным, получим, приниллая ва вниыание, что ьЯ = Аз+ Вг+СгВВНль, Аг+3г+Сг '=' ) Ах(В,р)+Ву(В,„)+С,(В,,)"" =П и где й = ((В.
р) б бб: О < В < —, 0 < Лг < —,). Сделав элементарные преобразования, находим Ах(В, р) + Ву(В, лг) + Сх(В, ль) = ьбсгйо В. А +В +С =Ь с мп Всоз у+я с з1п Вз!и р+л Ь ьш Всоз В= гг л г гг л г гг.г г г г г . г зш Всаз р мв Взбл ьг соь В г г г " г г =ьЬсьш В г Ьг е Ьг сг Окончательно имеем / . „~ ~ б»злпгрсозглг зшгВзшглг созгВ '1 ь ь = влб»/ ~- ~ — + — ) ьлэ В+ — соз В) мп ВВВ = г я г (,4 ~аз бг) 2сг ь $4. Интегрирование иа многообразиях 129 На Я, и Я, выдолняетсз равенство ИЯ = ийхду, в силу чего первые дза интеграла в о~азой части равенства являются двойными интеграламн в замкнутой области 0 = ((х, у) Е К: хэ+у» йс~).
Принимая во внимание равенства и( = О, н! = Н, получим ~(х'+ у'+ ) 4Я+ Ц(х'+ у'+,') 4Я = =Д~(и[ 'и,Чин) и,и,= ии'и~Д~( 'и '~и и,. Переходя к полярным координатам, находим 2Дт'ит)и и (и (/и = т. и а а На Яз выполняются равенства х + у = йй, ЫЯ = и . причем Ян проектируется на 2 2 э П!ини Ли ни' прямоугольник йии — — ((х, н) Е м~: (х(»» Л, О ( и» »Н), в силу чего имеем л и и дэ „тит)иили/ ° (и* Н~„хгии(и.,и*)1 хи -н о а тх 4ййН Н + — ) атсзт — ~ их 2лКН ~ Л + — ) . З) Н!и (, З) Складывая полученные равенства, окончательно находим й (Н(Н+ Н)э + 2Нз) 173. С какой силой притягивает однородная усеченная коническая поверхность Я = ((р, р, х) Е Й и х = рсоа р, у = рмв Эи.
х = р; О (» р ( 2л, О К Ь < р»( а) с поверхностной плотностью рз материальную точку массы пн, помещенную в вершине этой поверхности? е Применив формулу (18), п.4.3, получим Г = кипра — ИЯ, т где л — посгояинал тяготения, т = (х — вы р — уз, н — хз), т = )(т(( ж (х — хе)э + (у — уз)н + (х — нэ)э. Здесь следует взять хз = рз = зз = О, тзк как материальная точка находится в вершине конуса. Обозначал Г = (Г, Гю Г,), имеем Г = иинре г г — ИЯи Г„= игоре — ИЯ, Г, = лтпрз — ИЯ. (г у тз Параметрнзуем поверкность Я, полагал Я = йг(Ю), где 4ь(т, и) ю (-~ соз р, -я зго нт, -Н), 12 = ((т, У) й К: Ь/2 ~(т 4 зэр2, О ~эт ~2л). Тогда и т Ь'хиз, Сиэ —, Гю О, иЫ Н~ — Гзйтийр иа визтйтз.
2 180 Гл, 2. Кратные и криволинейные интегралы Заменяя поверхностные интегралы соответствующими двойныын, найдем 2» а тг Г» = -и илра / соз гг Вр / — = О, / а лЛ 2~ Л Г = -итра индига / — = О,. / ./ ° о лог 2» а»т2 а Г = -итра / Вгл ~ — = хитра (и —. 2 / / т Ь З Ь/2 Пз физических сообраясений мошно было сразу сделать вывод о том.
что Г л» О, Г„= О. так как однороднал поверхность 5 имеет ось симметрии Ох, на которой находится центр тяжести поверхности, в силу чего а Г = ххплра 1и -й, 6 где й — орт осн Ог. М з 174. Найти потенциал однородной сферической поверхности 5 = ((х, у, 2) б И х + у +2 = а ) плотности ро в точке Ма = (ха,, уа, хо), т.е. вычислить интеграл П = — 285, где т = (х — хо) + (у — уо) + (х — го) .
° ПеРелйцелг от систеллы кооРДииат Охвх к системе ОЩ, совеРшив повоРот осей тать чтобы точка Мз находилась на полол:ительной полуоси ОГ, В новой системе координат точка Ма имеет кооРдинаты ба = О, Ло = О. Ьа = та, где то = хр + Уа + га. ПРн Указанном г г г переходе к новой системе координат сфера 5 перейдет в сферу 5' = Я. гй Г) б Ж: б + л + з.
= а ). Таклглг образом. требуется вычислить интеграл г г = /1 Ы5' Пора 5' Представим множество 5' в виде 52 = Ф(В). где Ф(В, га) = (азш Всоз за, амл Вил д, а сов В), 22 = ((В, р) б Ьл~: 0 ( В ( т, 0 < лг ( 2х), и вычислим коэффициенты Гаусса. а такясе И5'. Пиееы Е = а, С = а зш2 В, Г = О, В5' а» с/ЕС вЂ” Гг а(В Ии = а зш В ВВ Ви. Принимая во внимание равенство В 4 р +(à — та) =а — 2атасозВ+та, получим 2 2 2 2 2 2» л игла р / и — ' Д вЂ” * /В/ 2 2 агг — 2 6 а 6 6 т» — ллм аа~+ г .о а а л ~Т-'ъ 7иа = 2з.а ра = — (а+ та — (а — та(). ага та а Если а < то, то Ьт»» здд~я. Если а > та, то Ьг»а 4;таро.
Оба случая обьединяются "а одной формулой. Действительно, неравенство а < та эквивалентно неравенству †, < а, а а »2 а»1 неравенство а > та — нералелштву — > а. Следовательно. Р = 4хуа пип т а. — „. Г 'а 'а 2 $ 4. Интегрирование иа многообразиях 175. Вычислить интеграл 181 Г(Г) = Д г"(х, у, х) оЯ, 51«1 где хг + (о, если г ( р'т~+ у, «(о= 1)' (**+ *) «=» )'/ .г,г «+„+ « г+««с «ь.~/ ««г ге э« г После перехода в двойном интеграле к полярным координатаы получим $Ц~ М г ог ог Г «4 Г(С) = 4Я~ЙЭ«~ = т~г) ~ = -т~ф21 +р ) ъ/Гг — рг~ р = — (8-бэ«2)Ф . > о о о Вычислить следующие поверхностные интегралы второго рода: 176. 1 = ~~ хНу4х+ у4х4х+ тих Ыу, где Я вЂ” внешняя сгорона сферы.
заданной х э равнением х + уг + хг = а . ° Рассмотрим интеграл Плоскость х = 0 пересекается со сферой Я по окружности г = ((х, у) Е И~: хо+ уг = а ), ;...,.-.-...,.. « -С.. о,а гь -,/« ~— З:«,О.О « «С «-=С, )««': х-~З вЂ” *' — ~~О. )««),о=з, ) э': '« '« а ). Ориентация кривой; должна быть согласована с ориентацией многообразий Ят '1 ", и г 5" 'Г ", по правилу. указанному в п.4.1. Эти ориентации протнвополоя'ны. поэтому у =Ц 4 ««Д~*«*« =Ц*'4 4 — Д) * 4 ь-гЦ«сс-'«вЂ”-, « ~ ь.
После перехода в интеграле к полярныы координатам получим г«а э~~ «,= ~«,/ «и=у«,=-.о —,>.' ---. — 4 г г~' 4« 3 ~ 3 о о Пз очевидных равенств ~/ . «„«* - ~)", «* «. = г, 5 окон ~отельно находим г' = 4 та*. р м Пз условия прпыера следует, что функция У отлична от нуля на той части поверхности 5(Г), которая находится внутри части пространства Й, ограниченной конической поверхностью Яг = ((х, у, з) Е И: г = „гхг+ уз), поэтоьб ныееы $4.
Интегрирование иа многообразиях 183 х, у, х — компоненты вектора Ф (в примере 1б2 найдены следующие значения: А Ьсяпг д сох я, В = асэ(в Вага у, С = абзгв Всоэ В). Поскольку С > 0 при 0 < В < — и С < 0 при -' < В < х, то в формулах для вычисления сов п, сов ф, сов", перед радикалом выбираелг знак +"', в силу того что на верхней половине поверхности зллипсонда соэ > О, а на нижней его половине соэт < О. Принимая во вннмание равенство 45 = Я + Вг+Сгдддгг, приводим поверхностный интеграл к двойному: Ц( А В С 1 ГГ або ас абх Г = + — + ~ дддлг ж ~~ ( — + — + — ) явддддгг = у(В, я),(д, ~)) Д (,, Г' э га /Ьс ас аб1 Г . Г Гбс ас аЫ /1 1 11 = ~ — + — + — ) / яп д дд ~ дя = 4гг ~ — + — + — ) = 4хабс ( — + — + — ) .
ь а Ь с Г / ~ а Ь с ) (, аг Ьг сг ) ' Упражнения длх самостоятельной работы Вычислить след> ющие криволинейные интегралы: л 119. / —, где у — отрезок прялюй, заданный уравнением у = — — 2, заключенный э-Э' г между точками А = (О, — 2) и В = (4, 0).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
