Часть 3. Математический анализ - кратные и криволинейные интегралы. (509317), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Мнохзестао Ф(О) = М гз 8(а, 6) называется образам этой харкет. Атласом ммогообрамт М иазываопм мноитстзо карт открытьзх мнолтсгв иэ М, образы которых покрьзэаэаг М. $ 4. Интегрирование иа многообразиях 1г1 4.2. Элемент г1з-МЕриого объема иа многообразии М С И™ размерности р < гп класса С . Пусть и ь Ф(и), и б О, — С'-гомеоморфизм области О С йр на область Ф(О) евклидова пространства И, а отображение бФ(и) б б(йр; Им) имеет ранг р в каждой точке и Е О.
Тогда мно'кество М = Ф(О) является многообразием разлгернасти р класса С . Отображе- 1 нне ЫФ(и) в точке и Е О переводит систему р векторов базиса пространства Ир в систему линейно независиыых векторов е (и), у ж 1, р, из И еа з, Расслгатрнлг на ыножесгве О брус В с вершиной в точке и Е О, построенный на векторах Ыиг' = е, Ыиз, у = 1, р, биг. > О, где ез — векторы стандартного базиса пространства ИР. Объем этого бруса 1г(В) равен произведению длин его ребер: ЙГ(В) — Ыиг биз ...
Ыир ° (1) еа Образом вектора ди, при отображении йФ(и) является вектор Ф'(и)ег ди, = е (и) биг. Следовательно, дифференциал ЫФ(и) отобра кает брус Вг на параллелепипед Н с вершиной еа в точке Ф(и), построенный на векторах — (и), у' = 1, р.
ез Определенгге. Объем Нг(Н) параллелепипеда Н назыеасглся згсмснщолг р-лгерного объема на многообразии М. Согласна определению. имеем (2) бе~ г~иг ... бир, гг1г(Н) = где Г (д (и), е— (и),..., е (и)) — определитель Грана от векторов е (и), у = 1, р. г' еа еа еа еа Пусть гп = З, р = 2, 5 — гладкая двусторонняя поверхность в пространстве И . Обозназ чнм через х, у, г координаты точки в из со стандартным базисом (з, у, «). В окрестности каждой точки поверхности М рассмотрим ее параметрическое представление (а, е) г Ф(и, е), определяелгае тремя функциями класса С' х = х(и, е), у = у(и, е), г = г(а, е), (и, е) Е О С й . (2) Так как поверхность Я является многообразнем разлгерностгг 2. то ранг матрицы равен 2. Поэтому по меньшей мере один пз якобианов З(у, г) З(л, х) З(х, у) З(и, е) ' З(н, е) ' З(и, е) отличен от нуля во всех точках открытого лгно кества О С И .
2 Обозначим через ггЯ элелгент двумерного объема многообразия 5 и буделг называть ега элементом площади поверхности лО. Согласно формуле (2). получим ы =ггс — г (4) где (дФ д* дх ду ди д д ,+ + ди де ди де ди де л) 1 Ое этам з'же говорилось в пункте 3.2. здесь строится мера на произвольном лан гьааразии. чаегнмм серчаем нсеерьй яяляегся 48. 152 Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы — коэффициенты Гаусса. Из толсдества Лагранжа (Ьс' — сЬ') + (са' — асс)г + (а6' — Ьа') = (а + Ь + сэ)(а + Ь + с ) — (аи'+ ЬЬ' + ссс) следует. что ЕС вЂ” Р~ = .4~ + Вэ + С, в силу чего нмееьг гэ=,/Я+в +с а г.
В случае явного задания поверхности о т ((х, у, г) б Я ; г т г(х, у), (х, у) б Р. Р С И ) (5) получаем аг а= дйэ эг дг 1 Ф(х, у) = (х. у, г(х, у)). — = 1. О,— а [,' 'ь)' Е= 1+ —, С= 1+ —, Р~ и Следовательно, (6) Пусть т = 3, р т 1, ", — ориентированная кривая, Элемент одномерного объема называется элсиеитом длины кривой ",.
Если координаты х, у. г точек кривой; являкмся функциями х(г), у(г), г(г) класса С, производные которых х (г), у (г). г (г) нигде одновременно не обращаются в нуль в области изменения параметра г, то элемент длины кривой 31(г) имеет вид гэ) =,цэ'вь э'(Хг = 41, () где й(Г) = (х(г). у(Г), г(г)) (в предполо:кении, что обход кривой т в положительном направлении соответствует возрастанию параметра 1). 4.3. Интегрирование на многообразии с краем.
Криволинейные и поверхностные интегралы и их применении. Пусть К С М вЂ” многообразие с краем дК и К = зр(Р), где Р С О. О С К',— замкнутая область с гладкой границей дР, х ~ г(х), х б К, — ограниченная числовая функция. Определение 1. Если функция сз = э о й: Р И иптвгриругма по Римапу па множестве Р, то интеграл д(и) а1' (Н), и гдв гЬЕ(Н) — элсэ1гнгп р — мерного объема на многообразии М. называется и~тегралолг от функции э" на компакте К С М и обозначается у(х) аК. к (2) Таким образом, низ ° лир. (3) К и При р = 1 интеграл (3) называется криввлинебпыи интегралом первого рода от функции 1 на гладкой кривой г = гу(Р), где Р = [а, 6) С Ьс, и обозначается / У(х) 41. (4) Ь 4. Интегрирование на многообразиях 163 и..., ««((=„'((ь((,г((>« =((ю((((« = Г(ф((('«, ° «««,- «'=! ь ~ У(х) М = ~ 1(й(4)) ~ ( — "„,'(!)) И.
«=! (6) Если "( = ((х, у, г) б И: х = Ь«(!), у = «((!), г = Х(!)«а < ! < Ь), то ь у(х, у. г) д( = / ~[о(Ь), й(г), д(!)) (6) Если; = ((х, у) б р; х = р(!), у = р(!), а < ! < Ь), то ь у( . «( «! = /( ( ( (, ° ('(( / '('( « «'( ( ь. Криволинейный интеграл первого рода не зависит от ориентации кривоп -,. Если р = 2. то интеграл (3) называется поеерхнос«иным ии«аггра.«о.н пграого рода от функции у на компакте К.
Он не зависит от ориентации многообразия («! . При р = 2, «гь = 3 поверхностный интеграл первого рода обозначается )()(«ь«, (««. 5 (8) Если о = Ф(Х«), йь(и, е) = (х(и«ь), у(и, е), г(и, е)) «22 С Из, то, согласно форь«уле (4). п,4.2. и форлгуле (3) настоящего пункта«имеел! )««( ...(««х/(«((*( ° . (, (, ! ( ((««а-«* (8) Если о=((х, у, х) бИ~(г=г(х«у),(х, у) ба«),то )«(( . *! =/('«и,. (,а ((х ду.
(10) Теорема. Ингпеграл (3) ие заеисига от выбора парамгтризации многообразия й! . Поскольку интеграл на многообразии сводится к интегралу Римана, то он обладает свойствами интеграла Римана. Если кривая;. = гр([а, Ь)) кусочно-гладкая«то существует такое разбиение П = (гь = а««л, ..., ли «х Ь) сегмента [а. Ь]«что у = О 23. где 3; тг (Р([«(. «(ьл[) — гладкие кривые. Для «1 этого случая полагаем ! ~К*)дтпл ~н*) =ь Если поверхность йй = йл (О), О С Иг, не является гладкой, но существует .такое предо ставление О = [) О(, где О, — области в И! без общих внутренних точек, что каждое ! ! ниии естьи Ьу( = Ф(О,) является иоиерхностьв кльссь С'. '«о л«нищ«ство а«будем называть 155 $4. Интегрирование на многообразиях где и — постоянная тяготения, т = (х — хо.
у — уо, х — зо), г = [г] = (х — хо) + (у — уо) + (з зе) ° Моментам инерции 1ь материальной поверхности Я С И относительно осн Ол называл ется интеграл 1, = 0 (х + у )р(х, у, з) дб. з (19) Дадим определение криволинейных и поверхностных интегралов второго рода. Пусть ЛХ С Р вЂ” ориентированное многообразие размерности р < т класса С'. заданное в виде 61 = Ф(0)) С ь 66э) где Ф вЂ” отображение хласса С' области О в евклидова пространство Р . Если 61 — многообразие разл(ериости р = 1 и Э б )11, где 1 = Ф([а) 6])— гладкая кривая, то касательная ориентация этой кривой называется направлением ее обхода, а ноложительныя считается обход, при которол! вектор Ф'(Г) в каждой точке 1 б]а, 6[ является полол(ительным в сыысле ориентации в этой точке.
Поскольку кривая ", принадлея'ит классу С , то т [[Ф'(1)[[ э6 О тс й]а, Ь[, где ]]Ф (Г)[] = 6 (Ф';(Г))э. ! Пусть х )- Х(х). х б у, — вектор-функция с ограниченными компонеитал(и Г( (! т Гт), т(х) =,, = (созе, сола!, .... сова ) — единичный касательный вектор к крий1(16 вой Э в точке х = Ф(1)) 1 б]а, 6[, полояснтельный в смысле ориентации этой кривой. Рассыотриы числовую функцию х )- (Х(х), т(х)), х б;, где (Х, т) — скалярное произведение векторов х и т ) и предположим, что существует криволинейный интеграл первого рода з')(х) дх! + г'2(х) дхэ + ° ° + г' (х) (1хы т (21) Исходя из определения криволинейного интеграла первого рода, получаем ь ь (г(*) ('))г' = 1 (г(ы)),, ) ((ь()(( = ( с л(ь())ь(( )ь, (н) Ф(1) ~, ' ][Ф'(1)П1 В ь если положительному обходу кривой э соответствует возрастание параметра и Таким образом, согласно определению, имеем ь 1) 2=к( ° л)(.; = / З ',г(ь(~))ь(())) г, ( ! а ) ! (29) Наряду с общил! криволинейным интегралом второго рода рассматривают также криволинейные интегралы частного вида Р((х) дх(.
(24) Определение 2. Интеэрал(20) называется общим криволинейным интегралом второго рода он! вектор-функции Х на орисмтироеаммой кривой 1 и обозначаеглся 4.4. Условия независнмостп криволинейного интеграла второго рода от выбора пути интегрирования. Если дифференциальная форма ы = Р(х, у) Нх + ч)(т.
у) Ыу являетсл полным дифференциалом некоторой функции и, т.е. в некоторой области, содержащей кривую ", = АВ, выполняется равенство Р Ых + Я Ну = Ыи, то интеграл Рдх+ Яду = и(В) — и(А) не зависит от выбора пути интегрирования, соединяющего точку А с точкой В. Если функции Р н Я определены и непрерывны вместе со сзоимн частными производныл|п и — в замкнутой односвязной области В С Р, а которой выполняется равенство зо еР э еэ ез ад дР д, ду (2) то дифференциальная форма с = Р дх+ Яку является полным дифференциалом некоторой функции и и криволинейный интеграл Рдх+ Яду (3) не зависит от выбора пути интегрирования пз точки А в точку В, лежащего в Р.
Равенство (2) является необходимым п достаточным условнел~ независимости криволинейного интеграла (3) от пути интегрирования, лежащего в одиосвязной области Ю, Для того чтобы дифференциальная форма ы = Рдх + стоу+ Кдг была полным дифференциалом некоторой функции и в замкнутой односвязиой области К С И, необходимо и достаточно, чтобы в К выполнялись условия з дЯ дР дК дЯ дР дЛ (4) д* ду ' ду д.
' д д, ' В этом случае интеграл лВ не зависит от выбора пути интегрирования, если кривая з = АВ лежит в К. Если в односвязных замкнутых областях В С мэ и К С м~ выполняются условия (2) и (4), то Р(*, у) Ых + ьг(к, у) ду = лн, Р(х, у, з) ах+1>(х, у, л) Ну+ Я(х, у, з) дг = йи, а функции н и м можно найти по формулам Х з и(х, у) = ~ Р(Г, уо) дт+ / Я(х.
1) да + С, 3 4. Интегрирование на многообразиях 157 Криволинейный интеграл второго рода имеет физический смысл работы силового векторного поля Х, а поверхностный интеграл второго рода — потока векторного поля Х через поверхность Я. Заметиьп что криволинейные и поверхностные интегралы второго рода зависят от ориентации кривой э и поверхности Я: при изменении направления обхода кривой 1 и изменении трансверсальной ориентации поверхности 5 скалярные произведения (Р, т),(Г, и) меняют знаки на противополо'кные.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
