Часть 3. Математический анализ - кратные и криволинейные интегралы. (509317), страница 16
Текст из файла (страница 16)
После указанной выше замены перелгениых интеграл 1 принимает вид П - //' ,г г ГГ,г Л е ли+се'+Г'» г) г 1' л ' Есв' х у=с Ое х у. иг ва В качестве допустилгой последовательности мноясеств (Е„) выберем г г, Р г 11 Ее='<(х,у)"-,гс:-и<Ах +Су < — — /, пбу). и» Заменяя в интегралах 1„= Д ел» т " 4х'Ыу' переменные по формулам л Р у Блв ьг л/:7; х = — совр, Р ./-А получим, принимая во внимание, что -1 — 'д2 = п(е, е)»»лс ' г. »Г» г х.= ' 1 г /„-"а= о йгп 1 »-» ~б 1ОО Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы Представляя подынтегральиую функцию в виде суммы простых дробей н интегрируя зтп дроби, имеем 11О Гл.
2. Кратные н криволинейные интегралы Поскольку Г(х, у, 2) > О на всем пространстве 2с~, то в качестве допустимой последователь-, ности мнозкеств (Еи) можно взять любую фиксированную посяедовательносгь, например, Еи и» ((х, У, «) б П~ 11 + -' < (х)Р+ )У(ч+ )«)" < и). Тогда 1, = Иш 1„, гДе и ч 1.=Д/чз,»зч.ч,г*=~фчз..еч.ч ч*. Е'„— вся часть множества Е», лежащая в первом октанте. После замены переменных в интегралах 1» по формулам 1 2 2 х = рР з!ив д сов в р, принимая во внимание, что 2 2 2 2 2 22(х, у, «) 4 -+-+ — ! .
-+ — -! 1 --1 ж — рв ч ч вгпР ч двшч гзсовв рсов д, 22(р, д. р) Рд получим 2 2 и 2 2 / 2 . 2 / 1 1 1 32 /. -+ — ! 1 / --1 + 4 2 1» = — ! вшР ч д сов дчгд ( ив 2 рсозв !Рвр / РР ч " вр = Рч/г о о 1 и 1 1 1 ! Вполне очевидно, что конечный предел последовательности (1») существует лишь при выполнении условия - + - + -, ( 1.
Тогда н иссяедуемый интеграл сходится прн выполнении 1 1 1 Р 9 этого условия. 56. Доказать форыулу Дприхле // / „, „..., Г(Р!)Г(Р2) "Г(Р ) Г(Р, +Р, +" +Р +1 ' Е где Е = Х б И ! ~ Х! ( 1, Х; ~ О, ! ы 1, Чо, Р, > О, 1 = 1! ЧП. ч 1 М При п1 = 2 имеем 1-ч! .!ВВ,»2>в «! 4»чв! ч» — хв' (1 — хг)Р2 Нхг = — В(Р!1 1+Рз) ы 1 Р1-1 Рв 1 Г(Р1)г(Р2) 122 Р2 Г(Р\ + Р2 + 1) в следовательно, прп пч ы 2 формула Дирнхле справедлива. Допустим, что она справедлива для (пч — 1) -кратно!о интеграла.
При таком предполо'кении получим 1 $2. Несобствеиаые кратиые иптегралы где л-! Е = х б Ж : ~~! х; < 1 — х , х; > О, ! т 1, !п — 1 ' ! Отображение, определяемое системой Х! — (1 Хт)22, Х2 (1 Хт)22, ..., Хт 1 (1 — Хт)гт 2> является С -диффеоморфизмом множества т-! Ел = ~ б И ':,~ 4, ( 1, 6 ~ )О, ! т 1, Пз — 1 !л! на л2ножество Е'. Принимая во внимание равенства 2(Х! Х2 Х ~ !) ( )л ! 1с(С2, Сз: " С -!) «! †! Р«-! Р -! -! Р!-2СР«-! СР -! 2/ !Р!+Р«+ " +Р -! - 2! в силу предположения индукции,получим х",' !х"' !... ХР,' ! 4х !гхз ...
!«х — (1 Х )Р1«Р2+ +Р -! ~Р2 ТР« ! ~Р Ц~ Ел Г(„)ГР,)" Г(Р,) Г(Р, +Р,+" +Р,„, +1) Тогда иитеграл 1 примет вид ! Г(Р!)Г(Р2) ''' Г(Р~-!) [ Р -2(1 )Р!2222- 22 Г(Р, + Р, + . " + Р, + Ц [ '- о Г(Р!)Г(Р2) Г(Р л-!) й( ) Г(Р! +Рз + '' ' +Р -! + 1) Г(уч) ' ' ' Г(рт-2)Г(рт)Г(Р! + ' ' ' + Рт-! + 1) Г(Р2)Г(Р2) ' ' Г()3 ) Г(Р! + +Р ~-! 4 цГ(Р! + ''' +Рт+1) Г(Р2+Р2+ ''' +рт+1) Ыетодом математической индукции формула Дирихле доказана. В Упражнения для самостолтельиой работы Последовать иа сходцмость несобственные интегралы: 34 У = О к-'-'.Ут~-"-У, е = ((х, У) б к~: хз+ Уз < 1), 0 < т < [22(х, У)[ < м, (х, У) б е.
Об у т,о Жал"д. Е = ((х у) б И': О < х'+ у' < 1] О < т Ч [Ю(х у)! Ч М. (х, у) б Е ««г=Шгкллг«2"-;-";ЛЧГ. с-!!.Р, ° ! а':«.О, ОЛ'«*«.Ь 0 < пз ч [Г(х, Р, 4~ < М. (х, Р, 2) б Е, ьл, гз -- непрерывные иа сегменте [О, д] функции, Зт. 1т Щ Гл — '.„Лф. Е =]О, Ци]0, Цх]0, Ц. Вычислить несобственные интегралы: 38. 1 т О ~~~к, Е т ((х, у) б 14к; х ) 1, гу > 1), р > О, д > О. к 112 Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы 39. 1= Ц вЂ” з — "$11, Е=((х, у) б!й~)аз+уз >1). 40. 1=Це 1*+"!)Ь)(у, Е=((к,у)6Й) !Оъя~(у). 41. 1 = Ц е 1* +" 1соз(х + у ))зх)(у.
зи 42. Цехр( — ( — )+ЕЫ)))(тау, Е=((е у)бм ! 1+Ь, >1),а>0,6>0. 43. Д ту ехр ) — (~, + 21 — Уз + ""ьз ) ) )Ь )Гу, 0 < Ц < 1. аз 44. Ц!и-э Ыхду, Е=((х, у) ба'10(х +у (1). ъ'"'+ аз !!1~, )=11,„, )зз': ')г.)*'х !. Е 46. Шг !' +" +' !1Ь ду)Ь. аз з з 47. Ще 1*!' ' 111(х) Ыхзь!Ез где Р(х), хз, хз) = ~ 'С а„г;х), а,) = а), — положив! =1)=1 тельно-определенная квадратичная форма. 40.
Доказать обобщенную формулу Дирнхле г .г). -г( — ') Е Г Гх+ -+ — "+1 1 )а / гдеЕзе хб!й~!е)>0,1=1,)а. ~ ( — ') <1 .а;>О,о,>О,р,>0. 1 49. Доказать формулу Лиувилля )) т ( ьь ~ ) х; хг)! ... Ег ' Ых) ... )Ь = " ) ьь(и)аг)ь 'ьг ' Ни. г!»1+ , еа ) Е =1 ь Е= лба )х))0, 1=1,)п, ~ х,(1,р,>0, 1=1;)п, =1 в предполо:кении абсолютной сходимосги интеграла в правой части равенства. ~ 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии и физики 3.1.
Вы и!слепне меры множества. лзмерпмого по Уиордапу. Если Е -- жорданово ьгножество (см.определение 4, п.1.4), то его жорданоеой мераб дЕ (нли пз-мерны)1 объемом) называется интеграл дЕ = На. Р= Од*4„. Е (2) При га = 2 жорданоаа мера множества называехся его площадью и обозначается через Р. В этом случае алов к ещепкю звдач геометрии н физики 8 3. Приложение кратным интегралов к рещ Из формул ($) получаем — 1 1 +1 (8) 1в=1 э+ хг+ еР= кеюоз полю щявощенк» тела Т в точке 1/ьющояоеэ/я яещеямяаюея, илк яощеямкеюоз полю (х у„х) называется интеграл Ф 4ЕЙ4С .(, к, *) = Щ (б, , С) †, т (10) г е (с,, С) — обьемная плотность тела, т = Материальнал точка массы пз притя гивавт Г Г, Г иа оси к силой Г, проекции которой Г., Г„, г иа Ох, Оу и Ох выражаются формулами Г = т — = тпг Ш ю(с, э, ь) —, дх т 9 у,С г Гз ж т — = т» юИ, О, () —,, дади т С-,б,„ Г*=т — =т ю(Е э 0 — „, дпдз дг Рнс.
з Рв ((Ю~ Ф) ЕМ: а < Р< (а~/2~о~2У, 0 <~ У ~ <-) . Согласно формуле (2), п.3.1, имеем в Мтгаг Ле в Й 33т3 х 3 Р =4 ЫР рЫр м 2а (2сов2у — 1)вСсг = 2з (из2р — р)~ = — е . Ь '=+ в в в о8. (» — у)г + хг = аг, е > О. е аб,в„ Р аосаой фиг рм воспользуемся рещением примера полагая там 1(х, у) = 1. При этом получим а г+~/аг-гг а а Р= ах -! Ь-г //Р:"Рис,=4/ /г:*'а. в Ч г-~/аг-г Полагая в квтеграле с м щчзщ —,, кмеем Р саз/ соэзтдС= 2аз/ (1+озэ2С)дС= 2ез СЬС+ — ~) =за, В в в т где т — гравитационная постоянная.
з аны уравнениями: Найти площадк плоских фигур Ю, края которых заданы ур 57. (х +у ) = а (х ° — — 2а хз — у~), хз+утжа (х +у ))а ). пения края компакта Ю в виде и Перейдя к полариым коорди натам р и о,получки уравнения края ао осяой фигуры, ограниченном 3 3 'Г еб втсз вычислить площадь плоско" р = 2а сов 2р к р м а . 'Гребу са а, лежащей вие круга радкучастью лемнискаты Верку лзм и частью окрулсностм радиуса а, леж (, -") ется одной нз четырех точек са а (рис.
8). Легко убедиться в тоы что точка (а, -) являет я е симметрию фигуры, плопересечеиия лемиискаты с окру о жностью. Принимал во внимание площадь равна учетверенной щадь которой требуется найти, приходи ду, м к вызо, что искомая площади фигуры х ! л. 2. Кратные и крпиолииейиьае митетралы 1!б 59.
(хз + уз)з = 8азху, (х — а)з + (у — а)з = аз (а > О, (х — а) + (у — а) «( а ). Н Требуется вычислить площадь общей части круга 1) = ((х, у) Е 1с~ ! (х — а~~ + (у — а) ( а ) и компакта К = ((х, у) б йз ! (ха+ у ) ( 8азху). Пересечение зтнх множеств В г) К аежмт в первом квадранте плоскостм хОу (рис. 9). Переходя к полярным координатам, получим представленке мколсесгва 1) г) К в виде 0 г) К = ((р, )р) Е)й ! а ((ат р+сов)р) — )/вэвг!э) ( — з 2 8 4 2 < р < 2а „/мп 2)р — агсмп — < )» < — + — агсэгп— 8) Принимая во внимание симметрию точек множества З т К относительно луча )р = †, получим 3»!/э!» 2т / рбр = аЯгзт 2!»+ 2(вт )э + сов и))/зэв 2)э — 1) Ыкэ = [(эы»+с э»)-э!а!в за),,М Ркс.
9 =Дб,б„ж / „ поп э = а (соа ~агса1в -г! — — + — агсип -~ + 2а (зт и+ сов)с)э,/згп 2)»~БР. 8!' 4 2 вг' ! . 1 — мсэт— 2 э Приминая во внимание равенства и произведя в интеграле замену переменной !р+ — = г, получим э э~- соа 21 сйп Г !й З,/7 Р = а — — — агссоз — + 2)э2 8 2 8 —,!- а»вЂ” Вычпслмм э' - мсс ° 2 ( э/ !=!се /,--.--Ыэ.~э - )с,/ь-!с! ! ээс! т!. — +и ! После замены переменной )/2 сов! = юв х имеем ° сэ!» »ч зЖ 1 = 2 соз х !4х = асса)в — + —.
2 2Я 8 » Таким образом, з /т/7 . эГ7 1 1~ Р = а — + агснв — — — агссоз -) . ~ г гМ' г 8,7' 11 / 1 )/ВЗ З /7 соа(агЫт -~ = ) ) 1 — — = — = —, — — + - агсвт - ж — - )1 — — агсаэп -г! = -- агссоз- В/ ')/ 84ж В = В ' 4 г В В/ 2 8 Гл. 2. Кратные и ьсриволинейиые интегралы 118 з — ( — зщ з Исозь ьь+ — зщз осоз з Зь+ — мпесозЬз 2/(,Ьь Ьь Ьз Ьз о 62. ~- + -) ьз — — — х > О, у > О, а > О, Ь > О. /х у1ь х у '1а 6) йз йз ' М В интеграле Р и ЫхИу и произведем заыену переменныл по форььулам 2 2 х = ерсоз уч у = 6Рзш ьь Тогда уравнение кривой, являющейся частью края аоььпакта В, приыет внд а сов ьь Ь ип~ ьь где — > О.
Ь Нз условий х > О, у > О, ~гбзь~ < ь,ь — „имеем 0 » <ьь»< агсгб ьь —,. После замены перемеинык ьь аь перейдем от двойного ььнтеграла к повторному. Прн этом получиы а зыбь у' ьь а ььььа Ь ь|ь н % л ьь Р = 2а6 ип ьзсов рЫе Р~ЬР = ь ь lьз аиы ь,ь— '1ь' ьл с 3 1г 2 з О ь'з ь . Ь .ь 1 аЬь'а ь Ь ь = оЬ / — соз ьь зщ ьь — — з1а ььсозьь Ньь = — — соз ьь+ — мн ьь 62 Ьз ( 0~6з ь -ь~/.ь — — 1 — соз ьхстб — „— — мп агсгб Р= Ыхйу и переменные по формулам хз = ау, хз = еуз, получим а(а(6, с(»э<И, х а з . у=а е, ' =а е з -ь з -з 2'(х у) ь -ь ~Э(а.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
