Часть 3. Математический анализ - кратные и криволинейные интегралы. (509317), страница 15
Текст из файла (страница 15)
Если при этом последовательность (6) окажется ограниченной, то несобственный интеграл (2) абсолютно сходится; если последовательность (5) не ограничена, го интеграл (4) равен +ос, и интеграл (2) не является абсолютно сходящимся. Теорема 3. Пусть функция у з 61™ Я непрерывно почти всюду в области определения. Если несобственный интеграл (2) сходится абсолютно, то он сходиглся, Следующая теорема сводит проблему сходимостн несобственного т — кратного интеграла Римана к проблеме его абсолютной сходимости.
Теорема уь Пусть функция у: Ит К непрерывно почти всюду. Если несобсгпвенньщ интеграл (2) сходитсн. гно он сходится абсолютно. 1 2. Несобственные кратные интегралы 101 2,2. Несобственный т-кратный интеграл Римана функции, заданной иа подмножестве пространства И Пусть у: Š— 1в, Е С И~ — непрерывная почти всюду нг множесзве Е функцию, не пнгсгрируема по Риману в собственном смысле. Ргссмотрим функцию Г; И'" И, где ) 1'(х), если х й Е, О, если хйИ ~Е.
Определение. Несобственныи,т-кратный интеграл Е(х) ах назовем несобственныгг интегралом той зее кратности от функции г и обозначим сич- волом у(х) дх. / 2.3. Некоторые признаки сходпмостп т-кратных несобственных интегралов. Признак 1. Если 1: Р~ — И почти всюду непрерывная. локально ограниченная функция и существует предел йга г(х)йхй~ = с, с й И, 1я1-+ то несобственный интеграл 1(х) йх сходится при о ) т. Признак 2.
Есяи у": И вЂ” И вЂ” почти всюду непрерьтная функция. ограниченная вне некоторой окрестности начало координат О. и существует предел 1пп у(х)'йхй = с, с к И, М~-с пго несобссп*енный интеграл а сладится при а < т. Признак з (сравнемпя). Пусть )': Е И. д: Е И, Е С И, — почти всюду непрерывмые меотприцательньт фумкции и 1'(х) (д(х) Ух к Е. Тогда из сходиности интеграла д(х) ах следует сходи. ность интеграла )г'(х) йх а из расходимости интеграла л ~ у(х)дх Е сл дуепг расходплгосгпь интеграла 1' д(х) дх. е 102 Г . 2. Кратные н хрнволнненные ннъегралы л. 2.4, Замена переменных н несобственном т-кратном ннтегране.
Теорема. Пусть С вЂ” — итлфеом с — С -д ффеоморфигм открытого мноюестеа Е' евклидова проомество Е того ггв пространства. Если функиил /: странства И~ на открытее мномест ме ы О, и несобнепрерывна всюду но, га исклю юд Е чением замкнутого мнотестеа точек Я мер ственныу интеграл (1) / /(х)Их существует, то интеграл Щ($))(дегс (Ф)(дг (2) дх Иу / (хг + уг)р' Б — п н х +у +оо, то, согласно признаку 1, ннтеграл 1 сходится при 2р > 2, т.е. нрц р > О.
Позтому исследуемый интеграл такхсе сходится прн р>1. Ю Их Иу .О (1+ Ир)(1+ Ь)г) ' усть (») д П (Е ) — опустпмая последовательность областей такая, ( ) „т , что ( ) Е„т Кг. Вивь»ен К Е, сто она которого равна 2омю н такой квадрат Кг О Е, 'т12 Т сторона которого равна 2аг», чтобы аг» +оо при п оо, у =, . ог оценка к . -д ( $3 )(1+$ )9) (1+Зх!р)(1+!УЬ) (1+!! И + Ь! ) х к 2 1 из которой следуют неравенства <1< й дх Иу ."=-д ." .. - --Л "«-, к» к,„ Поскольку подынтегральная функция непрерывна, то »+»1» 6+аг„ ."™ дг Иу /(1+)к)р)(1+!у(г) = /' 1+)х)р,' 1+(у)а г Ь к.„ сходигпсл и справедливо равенство 1(х) Нх = У(С(Ф))/ с$ег С'(Г)(д1.
(3) х л' Исследовать на сходнмость следующие несобственные интегралы: 44. ~(*' у диду, Е = ((х, у) б И': х'+ у' > 1), О < т <!р(х, у)) < М. ' П (ха+уз) »1 Обозначим подынтегральную функцию через гг. П у Г т — „-пу »1 овна и гг. Поскольк ~ ((У(х, у)) < об ого войного интеграла эквивалентна его абсолютной схо— ч-ч — р п сходнмость несобственного двой гг+г )р емый интеграл сходится нлн расходится вместе с димости, то по признаку сравнения исследуем интегралом Гл. 2.
Кратные 21 криволинейные интегралы 104 4Т. 1 =, р > О, д > О, где Е = ((х, у) б К~ ! )х!!+ <у( > 1). =й'<.<+<у< е а Очевидно, скодимость интеграла! эквивалентна скодимости интеграла Е' где Е' = ((х, у) б м~ ! х" + уг ) 1, х > О, у ) О). Согласно определению п,2.2, имеем 11 = Р(х! У) ЫхЫУ, где Е(х у) — эгез! ' — если (х. у) б Е', О, если (х, у) от( '1Е'.
Поскольку Е(х, у) ) О. то Дг1,!! !, е Еп = ~(р, р) бК ! — (р<а, 0(22(2я). 1 Произведя в интеграле Га = О Е(х, у) 4 у е„ 1 2 1 2 замену переменных по форыулаь1 х = рг созз 22! у = рт ми 2 !р. получим 2 г 2 2 1 1 +--2 1 (1 1 А,= — - /зглг гэсоз1 рИ,/ р. ° Ир=-В(-,-1 Рт / г,д' р1 Следовательно, последовательность (1 ) имеет конечный 1 1 только тогда, когда — + — — 1 < О. Таким образом, интеграл 1 2 48. 1= ' НЕИу, Е= Цх. у) 6 И' ! к+у>1).
1 ! (х+ у)з М Заменяя в интеграле переменные по форьгулам а = -д:-, *+ предел при и со тогда п сходится, если — + — < 1, и 1 1 Е 2 а = -*:~, получим а2 1 Г Г соз 2112а — соз 2/2а ! ( 2 1 П = "'П аг НаНа, Е' = ~ (а,. а) б й ! а ) —. а б Й 1.. !/2 Согласна определению пг2.2, имеем 1 = — к Ц Е(а, а) Ыа !4е, 2 2// где (Е„) — произвольная фиксированнал последовательность допустимыя мнотиеств такая, что ( ) Е„= И~ .
Возьмем еи З 2. Несобственные кратные интегралы 105 где если (и, и) б Е', О, если (и, и) б !йг '! Е'. В!нок<ества Ео = ((и. е) й !й~: -и < и < и, -и < о < и) допустимые для интегрирования функции Р, а последовательность двойных интегралов 1 ~~ Е(и, с) г!или можно залгенить последовательностью повторных шггегралов, так как Р— непрерывная функция. Таким образом, з Гг!и Г Г ои Г соль'2и 1„= / — / (соз Ле — соз ъГ2и» оз = ъГ22з!и ъ'2и — — 2и Ыи. / гГ из ив 1 1 1 Поскольку последовательность (1 ) не имеет предела при и — ос, то интегралы Д Е(и, о) кг и 1 расходятся. > 49. Показать. что Г » ' (*' + ') * 11 где Е = ((х, у) б л<~: !х! < и, !у! < п).
тогда лак )цп Цз(п(х +уз)Ихйу = О. .11 Где Еп„= ((х, у) б В: х + у < 2их». ° я 1!з непрерывности функции (х, у) 1 Йп(х + у ), (х, у) е Р, следует равенства з з ~ з!п(х + у ) их йу ы / пх / з(п(х + у )г(у = 2/ з(их ох/ соя у йу, л -и з в силу которого получаем после перехода к пределу произведение интегралов Френеля: йш гйп(х + у~) Их йу = 2 сйв х Ых соз уг ау = х. и зз ~1 Для проверки второго предельного соотношения достаточно перейти к полярным коордцна- таы н вычислить интеграл: г рз!и ргйрйр = 2т / рзш рта = тсозр»~ — — О.
а<я<Лги 0<и<ге Этот пример показывает, что двойной несобственный интеграл //. (г+ г)! 10б Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы расходится. М 50. Показать, что интеграл: 2 2 1 сЪхНу, Е-((х,у)6К .х>1,у>1), ./ 1 (х' + з)у расходится, хотя повторные интегралы ооо Фоо +х +оу 1 1 1 ! существуют. и Плл доказательства первой части утверждения достаточно показать, что интеграл 1 абсолютно расходится, т.е. что интеграл Г=// ~", „"',гггг=//П.,СГ.». где ж г „у -пг-тлт))ю если (х, У) б Е, О, если (х, у) бП ~Е.
расходится. В качестве допустимой последовательности множеств Е„возьмем Е„= ((х,ту) б П з, -и < х < и. -п < у < п). Тогда получим, принимая во внимание, что )х — у~) с х — уз, если х>у, у — х, если х< у: 2 2 о и и С-//гь,еьь=/гг/; ',,а„~/гг/ ',;,Ь= к„ о г и =/( 1 / Их = 1и и — — + агсгб —. ~, ху з- уг 1 хз й уз ~ ( ~х хз + пу / 4 п 1 у о те а г Поскольку Бгп 1,', = +ос, то интеграл 1 раскодится.
у Вычисяим интегралы 1у и 1з. Пмеем Этот пример показывает, что существование лишь повторных интегралов не обеспечивает сходимости соответствующего двойного несобственного интеграла. М Вычислить следующие интегралы: 51. 1=/1 '*",у=/у,,)уй*:. и Подынтегральиая функция принимает положительные значения, поэтому достаточно вычислить интеграл 1' = // Р(х, у) Их йу, 1 в» 1пп л/2 + ~Г "Т2 — 1х ~- ~ л/2 1и + агсгх 211лу2 — 1 . — 1гГР2 — 1х+ -'.
/д+1 ~ ~ /р+, (1 лГ2+1/ — =„/чЯ о.. /Уг+1 о 5З. 1»» е' *"~'" ~ ~~ в+Г ~1 Ну. тле а < О, Ьг «О иг и Прилгеиив известное преобразование координат по формулалг х = хв + х' сазо†у'яп а, у = ув+ х з!п а+ у'сова, где числа хо, ув, а удовлетворяют уравиеииялл Ьлб а — (с — а) лба — Ь = О, ахо + Ьуо + а = О, Ьхо+ суо+ е = О, квадратичную форлгу р = ах + 26ху+ суг + 2Их+ 2еу + Г приведем к каноиическоыу виду: 1»=Лх +Су +1, где Л = -(а сов а — 26яп осока+ сяп а) < О, г б' С = -(аяп а — 2Ьяп а созе + ссов а) < О, г г а Ь И 16= 6 с е . 6=~ Ь «О И е Между коэффициентами а, Ь. с и Л, С существует следующая связь АС=ас — Ьг=б, А+С=а+с.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
