Часть 3. Математический анализ - кратные и криволинейные интегралы. (509317), страница 14
Текст из файла (страница 14)
о«*с «<«<с о«с вя а) Перейдя в интеграле к сферическим координатам и заменяя после «того тройной интеграл повторным, нолучнм «ву с г(с(-1 в.ив) в,/гуо(вв=«.1 гу(в(в. о о о о Дифференцируя функцию Г, находим Г'(г) = 4ят~ г(г~) б) Заменим тройной кнтеграл повторным г(с-1(в 1( «.1(у(."(в о о о н вычислим производную функции Г по параметру и с с с с г((-1' ва1' у«,( *«1 * /у( *сь«1' у(* о о., о о о 11, Интеграл Римана на компакте. Приведение кратнык интегралов к повторным рб и применив теорему Фубини, получим х 2 2 1(х) = / >(х з~ >(х„1 ... 2~ ~(х) >1х>. м 40.
Доказать, что ! ! 2>>=>>2 >>«*. 1>!»>2> 1>.>2-= —, >1!»!) 1 о о о о где à — непрерывная функция. л Запишем 1(Г) в виде 2>>-)'1>о>2 )'» >2*" 1>».>«- и обозначим ! -г >.-*»- ' ».->«.- )' !>-и. Представив р(зм 2) з виде 2 ! -1 — )' л ->«-) 1 о о получим Предполагая справедливым равенство 1, ! т-1 1 ~»= >>!>2>22 . >>».» = —, 1>».»г) о о о имеем ! >1 1 ! >! О! т ~(г,)(г, ~~й )~.
= —,~ И ~ П )1 = —, ( П )~ l Г о о о о о Методом математической индукции формула доказана. М 41. Вычислить интеграл 1 *! 2 -1 м Применив формулу, доказанную в примере 40, получим ! 1= — (*Ь = —.з пг! ~ ( ) 2!зол> о' 3 1. Интеграл Римана иа компакте.
Приведение кратиык интегралов к повторным 97 Поскольку (л — яз) уа ьг то ыожем предположить, что справедливо равенство 1 (*- -)" ' г!хт 2 [' Ихт з . г~ йхг / ~!хг (пг — 2) ! При таком предположении получаем Х у г 1 ( йя з-г ° ° ° ~ бег / ь!яг = / (х ят-г) г!х -г = (ог -2)! / гг, гг !у~ -1 ю-1 1 — (*-х -г) = (щ 1)! и- 1 = („$1)! Таким образом, применив метод математической индукции, имеем ~п-г ( )ю-1 Ъ'пражневня для самостоятельной работы 1. Приближенно вычислить интеграл о ь +у 42ь г+ гягь . и+» +у разбивая область интегрирования иа квадраты, вершины которых находятся в целочисленных точках, и выбирав значения подыитегральной функции в вершинах утих квадратов, иаибо.
лее удаленных от начала координат, Сравнить полученный'результат с точным значением интеграла. 2. Компакт К = ((х, у) б !йг: хг+ уг ц 1) разбит на конечное число квадрируемых частей К„г = 1, и, диаметрам меньше чеы 6 каждая, без общих внутренних точек. Прн аакоьг значении 6 будет обеспечено выполнение неравенства ! ~~ ~ у~ег*г~-ьь,у,+~уг/ 0001, к ! 1 где (х;, у;) б Ки ВК; — жордаиова мера множества Кь? 3.
Доказать равенство Д'Р( )С(р) Ь !у ж ) Р(х) ах ~ Щр) !р, а ь где К = [а, А) х [Ь, В), а функции Р и Я непрерывнм соответственно на сегментах [а, А), [Ь, В]. Ф. Пусть у: [е, Ь) -  — непрермвиая функция. Доказать неравенство ( ) ь ' 3 ь ('у( ) Ь ) ~ (Ь-е) (' уз( ) йв, а а8 Гя.
2. Кратяые и криволинейные интегралы где знак равенства возможен лишь при 1(х) = сапог. б. Кахой знак имеет интеграл Изменить порядок интегрирования в следующих интегралах: 2 о 1 1-у б. ( дх ) У(х, у)ду. 7. / Ну ) Дх, у)дх. о1)~„112 ау;„2 а,Га~ 2 азаа 8. ) Нх ) Х(х, у)Ыу.
Э. ( Фх / 1(х, у)ду. о 12;,2 2а Ввести вместо х и у новые переменные и произвести замену переменных в следующих интегралах, предполагая, что подынтегральная функция непрерывная: 10. 1220,1а(х,у)дхду,где: а) К=((х у)ЕИ21 х)0.у>0 я~+у~<<а );б) К= к ((х, у) Е И2: х В О. у ) О, а ( хо+ уо ( 6 ), если х оо в созе, у = из1п о, 11. 1= О У(х, у)дхду, если и = х+у, из = у. о<*< *<ада 12. 1 = Д 1(х, у)дхду, если и = у+ох, во = у. а< < а(и',а 13.
1 = )1 1(х, у) дх Ыу. если х = р созз р, у = рооп р, где к 2 2) дК= (х,у)бИ2: хз+уз =аз), 14. В интеграле Д 1(х, у) дхду край дК компакта К задан уравнениями у = ох, у = к ,дх, х = а (а < д), Произвести в интеграле такую заыену переменных, чтобы после нее интегрирование производилось в прямоугольнике. 18. В интеграле Д 1(х, у)НхЫу, где К = ((х, у) б И2: хо + у ( т, х ) О, у ) О), к произвести такую замену переиенных, чтобы после нее интегрирование производилось; а) в прямоугольнике; б) в равнобедренном прямоугольном треугольнике. Вычислить двойные интегралы: — Д' х"х'у 1аы~у'1Ь1 17.
Д ху дх Фу, где край дК компакта К задан уравнениями у = 2рх, х = ~8 (р > 0). к а оао 18. Д -а а, а > О, если край дК компакта К состоит пз кратчайшей дуги окружности К с центром в точке (а, а) радиуса а, касающейся осей координат н отрезков осей координат. 10. Д (хо+ уз) Ых ду, если К вЂ” параллелограмм со сторонами, заданнымн уравнениями к у = х, у = х + а, у = а и у = За (а > 0). 20. Д уо гах 4у, если край дК компакта К состоит нз отрезка оси абсцисс и одной арки к циклонды ч = ((х, у) к Из: х оа а(à — мп 1), у = а(1 — соз 2), 0 ~ (2 (~ 2х).
21. Д 21и /хо + уз дуду, где К ((г., у) б Из: яз Ь х + уз ( 4хз). $ 2. Несобственные кратные интегралы 22. О(к+у)йхйу, где К ((х, у) ЕН': ха+у' <х+у). К Вычислить тройные интегралы: 23. Ш хугхз ох йуох. где край дК компакта К задан уравнениями г = ху, у = х, х = 1, к 24. ٠— Яу — тт, где край дК компакта К задан уравнениями х+ у+ х ю 1, х = О, к у ж О, х ю О. 23. Ш ь/аз+ уз охИуох, где край дК компакта К задан уравнениями хг + уг = гг, к х=1. г .
щ„Сгг, ~.Рггг,г*. °;аэк г.... г —... -.. ° г',. к уравнением х + у + г 2 2 г 27. Ш х у"хгйхоуог. где пг, и, р — целые неотрицательные числа. гг ггга гйг Вычислить следующие пг-кратные интегралы: .28. [ [[х[[г ях, где [[х)[г = ~ хг, К = [О, Ц х [О, Ц х ... х [О, Ц.
2 20. [ ~ч~ х,) йх.где К=[О,Цх[О.Цх ... х[О.Ц. К 11 30. ~Их,гдеК= хЕИ~:х,>0(гю1,гп), Ях;ча к 31. /г ) )х~йх, К= хЕЫ'": хг)0(гю1,ог). ~ х~(1 к г'оы г 32. Доказать равенство Ф г ч [ хг Ихг [ Ихз ... / 1(х е,) Ыхиег = — ', [(х — и ) У(и) йи. о о а с 33. Найти потенциал иа себя однородного шара радиуса с и плотностк до. т.е, вычислить интеграл и- ' б11О а+ага гц г 1 г ц Фатгаггй„г ъ г г где рцз = (хг — хг)г .~. (у, -уз)г+(г, х )з () 2. Несобственные кратные интегралы 2.1. Несобствеиимй пг-кратный интеграл Римана.
Определение 1. Точка хе Е Н нозыйоегося особой шочкой для иишегрироеония функции г": и™ ~(хо) Н (функиии у: Й~ Й), если г" не ограничена е любой окрестноспги Я(хо. 3). Предположим, что все особые точки функции У: и™ Н образуют замкнутое множество У меры 0 (которое, в частности.
мол'ет быть пустым). Возьмем последовательность множеств (Е„), п Е Й, обладающих свойствами: Ц каясдое множество Е лвляетсл открытым, измеримым по Жердину; 2) Е„С Е„ег и О Еч = мю '1 У, где Еч — замыкание множества Е . оен такую последовательность множеств назовем допустимой для иногегрироеания фуначии у с мн; жестаом особых точек 2. нли, короче, допустилюй.
1ОО Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы Пусть функция у непрерывна почти всюду в области определения, т.е. разрывна лишь на множестве лебеговой меры О. Так как Ен С Енвз и Е вз О У ыю, то у каждой точки х к Еь есть окрестность б(х, 6(х)). в которой значения Функцию у ограничены. По теореме Гейне — Бореля из указанного семейства окрестностей ыожно выбрать их конечное число 5(х„6,), г' = 1, к, покрывающих мно:неспзо Еь.
Пусть в окрестности 5(х„6;), г = .", 1., значения функции 1 ограничены числом М,. Тогда на множестве Е„значения функции 1 ограничены числолг М = тах(Мг, Мз, ..., Мг). Поскольку функция у' непрерывна почтп всюду в области определения и ограничена на каждом множестве Е„, то ее сужение на это множество ннтегрируемо по Риману.
Рассмотрим последовательность т — кратных интегралов Римана у„+(.) .. Определение 2. Если для произвольной допустимой последовательности мнозсеств (Е ) последовательность интегралов Ринако (з"„) и.пест при п ос конечный предел 1. не зависящий от выбора допусти.иой последовательности, то существует (сходится) несобственный гп — кратный интеграл Рилгана у(х) дх, (2) или вообще не существует, то несобственный интеграл равный числу П Если йш з = эо ь (2) не существует (расходится). Согласно определению, имеем ,1(х) Их = !1т / 1(х) Их.
и Я Определение 3. Несобственный интеграл (2) называется абсолютно сходящ изгоя, если сходится интеграл ~ ~У(х)(~* (4) в Теорема 1. Пусть функция Г: ж~ В непрерывна почгпи всюду и неотрицательна. Если существует такая допустимая последовательность множеств (Е ), что последовательность (1) ограничена, то интеграл (2) сходиглся. Эта теорема значительно упрощает исследование абсолютной сходимости несобственного интеграла. Для решения вопроса об абсолютной сходимости интеграла (2) достаточно исследовать на ограниченность последовательности ) Г"(х)) дх для какой-нибудь одной, специально выбранной допустимой последовательности множеств (Е„).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
