Часть 3. Математический анализ - кратные и криволинейные интегралы. (509317), страница 17
Текст из файла (страница 17)
е) ~ (хак как соз(агсгбо) = —,— '-, з1п(агс10о:) = -ь ). й аз+ *' ,/1~а~ 63. хз = ау, хз = Ьу, хз = суз, хь = ю1уз (О < а < Ь, О < с < Н). ч Иэ уравнений границы области видно, что она лежит в первом квадранте. Заменяя в интеграле б 3. Приложение кратных интегралов к решению задач геометрии н физики 119 ь а «=Ц'.-'г.г.-)"г ) г - — Сь' — "11.-'-г-'1. 18 аь <Ь сд«дз В4. у = ахз, у = Ьз", у = схч, у = с)хч (О < р < у, 0 ( а < Ь, 0 < с < й).
1 1 1 1 М Запишем уравнения края компакта Р в виде у = ах"г у = Ьх", х = с чу«, х = с) чуч н в интеграле о 1 произведем замену переыеннык по формулам у = их«, х = зу ч, задающим взаимно однозначное соответствие ыелсду точками прямоугольника 1 11 Р'м (и,з)ЕИ са(и(бг3 ч (з(с ч ьг 1 ч ьч ~ ) в+1 М «+1) Ра», Ьа ч и компакта Р. Поскольку х = ич-«»ч-«г у = ич-»«ч-» ~-а.".азс~ = ч ич з» ч-з, то ~ ос», «] ~ ~-р ь ч з+1 р ~(ч+1) Р = — / ич-»йи / з ч-«йз = Ч:,— Ч Р у — р./ ./ (р+ )НО+1) 2 г 65. (-*)'+ ®' =1, Н'+ ®' =6, — = с «+1 Ч+1«ь У Зчь ЗЬ1', Ь.—. — а.=.) ~ — — й ~-»~.) у х у —,8-=-, х>0.
у>0. Ь а Ь М В интеграле Р = О ах сгу заменим переменные согласно формулаьг х = ар сов )г, у = з о Ьрзьаз зь. Тогда — = ЗаЬрйа )с сох с«, 1 ( р ~ (8, агс281 ( и ( агс282, 2)(х у) . г Р(р,т) = г М2 а сьх2 Р = Заб зьн усов тьер / рЫр = — а6 / згв )«сов )ргбгр = 2 2 189 . 2 2 2 гссь 1 1 гсь21 агсьз 2 агс12 2 189 Г , 2 189 = — а6 / з!л 22гсЬьР = — аб г/ (1 — созб)с)ьЬЬ«= 8 / 18 ° 111 ° Мь 189 с' г, г ьаг«1221 189 г 1 б 1 = — а61 агс282 — агс281 — ма)гсоз)р(соз и — ма )г)~ ) = — аб~згсгб — + — ) .
)ь 1б 111) 1б с 3 25) что ) оГ„«) ) = )с). Таким образом, имеем Р = — Ц ь)гс йс = )с). В )оы к)( 1 1 о' с«6. Найтн ПЛОщадЬ Обяаетн Р, ОтраинЧЕННОй ЗЛЛИПСОМ, ЗадаННЫМ ураВНЕНИЕМ (аьХ + Ьгу+ сь) +(агх+ бгу+ сг) = 1, где б = агЬ2 — агЬ1 ~ О. »2 В интеграле Р с» О Входу произведем замену пере»сенных по формулам аьх+ Ьгу+сг = о и, агх+ Ьгу+ ь = », отобралсающим круг Р' = ((и, е) Е мг 1 из +»2 < 1» на область Р.
Используя известное своиство якобиана, выраженное формулой ~» =, получаем, ос»,«) »1».с о1»,'з) ГОО Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы Применяя форлвулу (4), п. 3,1, вычислить объемы тел, ограниченных новерхностямн, заданными уравнениями: 6Т. ° = +у', = ', =1,«л«0. и Тело Т, объем 1«которого требуется вычислить, представляет собой замкнутое множество Т=Ц* у )ОИз:-1<х<1.х'<у<1,0<«<хг+уг). Согласно формуле 14), п.3.1, имеем (х +у )йхйу, Р= Цх, у) ЕИ:)х~(1, хг (у(1). о Следовательно> 1 1 1 вэ, "= '1' ")"=/~ -' -)"= — ' в г г 1 г' г, 1 х 88 3 3 ) 105 68.
« = ху, х + у + « = 1. « = О. М Поверхность Я = Цх. у. «) Е И: « = ху) пересекается с плоскостью о = Цх. у, «) б Иэ: х + у + «ж 1) по кривой. уравнение проекции которой на плоскость хОу имеет внд у = —,", х, Е И '1 1-1). Поэтому множество Р в форлгуле 14), п.3.1, представляет собой замкнутый треугольник Р = Цх, у) Е Иг: 0 ( х ( 1, О ~ (у ( 1 — х), который запишелв в виде Р=Рг ыРг,где Рв ж((х,у)бИ:0(х(1,0(у(— 1+х Рг = ((х, у) Е И: О ~ (х ( 1, — ( у ~( 1 — х ~. ' 1+х На множестве Рг функция у в формуле (4), л.3.1. имеет вид г1«, у) = ху, а на множестве Рг Хгх у) = 1 — (х + у).
Представив интеграл 1' = 011х, у) а«ау л в виде суммы интегралов по иноявествам Рг и Рг и перейдя от двойных интегралов к по- вторным, получим 1- 1 1+« 1 1-1 У= ~хйх / уйу+ /Ых / 11 — х — у)Ну= в а в г-« 1в. 1 г х)г 4 1 17 йх = — ( )хг — Зх+ 4 — — ) Ых = — — 21п 2. и 2/ 1+х 2/ 1+х« . 12 а о 69. «' ж ху, х'+ у' = а'. ° Тело ограничено сверху и снизу относительно плоскости хОу конической поверхностью о = Цх, у, х) б И: «г = ху), а с боков — цилиндрической поверхностью ов = Цх, у, «) О Из: х + у = а, «Е И).
В силу симметрии точек тела относительно плоскостей, залаиных уравнениями «ж О, « = х + у, можелв вычислить значение — части объема р и улвнолангь 1 т 3, Приложение кратных интегралов к решеигно ЗадаЧ ГвомвтРии и физики 121 полученный результат на 4. При этом многкеством Р в формуле (4). и,3.1, является Р =- ((я,. у) б Р 1 х + у < а, х ) О, у 3 0). Таким образом, имеем '=~Д ьгг Ь.
Р Переходя в интеграле к полярным координатам и заменяя двойной интеграл повторным, находим / 1 1 маг ггсозг ~Р Жр = а г г 1 1 г 4 3 1' = 4 мвг дсозг РЫр Р 1ГР = -а 3 о о э г гг г / г 15 Игг Р ИР = — соз УНР = 4 / г г =)1)11 '+,'>г*а = )1 саг Ф 15 1 1 15 /1 51 15 Г (г) Г (г) 45 = — ~ соз Ьг41Р = — 3 (-, — ) = 2 / 4 1,2'2) 4 Г(3) 32 о 71. г м х'+ у', з = з + у.
° Ф Параболоид вращения п плоскость пересекаются по рой на плоскость хОу имеет вид (к — -) + (у — -) г) стволи кривой, уравненве проекции кото- Поэтому тело Т является множе- г - (1., „*1 е Я* 1 (. — -) а формула (4), п.3.1, запишется в виде г = 11 (. „— .* -, 1 г. г,, В = (1., В е а* о яг+уг<я<з+у (-))' (-и' 6 Заменяя в интеграле переменные ио формулам к — — = Р соя д, у — - = Рэги Ф, получаем 1 1 г 1 11 3~4р / ( Р) ЫР=,» () г+ г г+ г э+ уз — 2з г — б м тело ограничено сверку параболоидом вращения 5 ~ ((х, у, г) е и 1 г = к + уз), сниз зу — плоскостью яОу, извне — цилиндрической поверхностью ог = ((х.
р. з) е к~ 1(х — 1) + г у = 1, =. е В), изнутри — цилиндрической поверхностью Яг = .((х. у. 1) е и: (х — й) + у = —, = Е Я(. Эти цилиндрические поверхности вырезают нз плоск1ити тОу замкнутую г 1 область Р, которая в полярной системе координат определяется неравенствами — -' < гг < -'. соз гг ~ (Р < 2 соз гг.
Согласно формуле (4), п.3.1, имеем 121 Гл. 2. Кратные и криволинейные интегралы Х2 2 2 '2 2 Х2 72. — + — + — = 1, — + — = — (х > О, а > О, Ь > О, с > О). аг 62 сг ' аз Ьг сг и Тело ограничено конической поверхностью и поверхностью зллипсоида. Коническая поверхность вырезает из лове хности зллнпсоида кусок, проекция которого иа плоскость 2 о2 2 1 ХОу ОГраИИЧЕНа КрИВОй З = (Х. у) Е 66 ! -т+ ут зз -12.
ИЗ ГЕОМЕтрнЧЕСКИХ СООбражЕНИй и формулы (4), п.3.1, заключаем, что искомый объем тела может быть найден с помощью интеграла = !!! О,.!- ! . И з, = (1*, ! з о': —, + — -!! аг 62 2)' и где 22 !2 хг(х, у) = с(( — + — . 2 62' 2 2 21(х, у) = с 1 — — — —. а2 62' 1 2 Гг з 1~ — аЬс ~!Ьзо ~ (Ръ/Ъ вЂ” Р— р !)арж -хаЬс (1 — р )з +р~~ = таЬс(2 — з/2). ь 3 о о !/2 у!2 22 73. !1-+-~ + — =1, х=б!у=О,*=О(а>О 6>О). а Ьг' сг М Если х = О, то -+ д»( 1, т.е. О » (х ( а, О » Ку»( Ь (1 — -„).
Требуется вычислить объем тела т-((„,,*! о':пр Г,,з~ Гь(! — '-), г г,ф ('+2) ), В интеграле ,Ч~, (' у!) З,З„, О=(О,„! О': з,лй,, г,с!(~ — Г)) и произведем замену переменных по формулам х = арсоз зо! у = Ьрзщг зз. Приниыая во вни- 2 манне равенство ! ' — — 2аЬрив!рсоа!р, а такам пределы изменения зо и р (О ( зо ( —, О < р ( 1) .
получим 2 1 Г г —" аЬс г ~! аЬс !г = 2аЬс) о!в засов!о!бр) рз,Г~ — рокар зз — (1 — р )2 зз —. И 3 3 о о 2 2 2 Зг З г!Гг 2 г 74. — + — + — = 1. ( — + — ) = — — — (а > О, Ь > О с > О). аг Ьг ог ' (а2 62) а2 Ьг и Тело ограничено частью поверхности зллнпсолда и частью цилиндрической поверхностп! вырезающей нз плоскости хОу замкнутую область З'хг уг'1 х! уг 1 (х, у) Е Ьз~ ! ( — + — ) < — — — 1 . 1 аг 62) аз Ьг) Переходя в интеграле к обобщенным полярным коордииатаи по формулам х = орсон х, у = 6рив р. получим Гл. я.
ЬСратнвге н крнволииеииые интегралы 124 1 1 Ьг = -аЬс/ соз рюв рдр рят1 — р" Мр= В ~-, Ч ртГЪ вЂ” р" вр. в / / Н '1В В/ / о о о 1 В интеграле 1 ж ) рффи: ре Ыр заменим переменную по о 1 формуле р = 1» . Тогда 1 (1 — 2) И = -В (-, 1+ -) . в/ и '1П Н1 о Окончательно имеем Гз (Ч Применяя формулу (4), п.З.», найти1 77. Площадь поверхности тела, ограниченного полыми цилиндрами Рис. 20 З1 = ((х, у, я) 6 ЬС 1 х + я ж а, у Е ЬС), »2 = ((х, у, я) Е ЬЬ : у + 2 = а , х Е 1Ц. ° Из рис. 1О видно, что — часть поверхности тела, образованного з результате пересе- 1 чення двух цилиндров, проектируется в плоскости хОу на множество О = ((х, у) Е ЬЬ 10 ( х ( а, О ~ Ку ( х), позтому Р = 16 1+ я* + зя Ю ц я, ~ах, Поскольку 1+ з» + я» аз ~/2 2 р р » а Р 16а Ну — 16а 16а 1~ аз — 2 — 16а / ° -* l / ~=г о о о 78.
площадь части сферы о = ((х, у, х) е 11~ 1 хо+ уз + 22 = аз), заключенной внутри цилиндрической поверхности з,х у огж (х,у,з)ЕЙ'1 — + — ж1,ябй, Ь(а. аз Ьз е Цилиндрическая поверхность, пересекаясь со сферой, вырезает из иее симметричные относительно,нлоскости КОу куски, калщый из которых рассекается координатными паоскостями КО» н уОх на четыре равные части, Прн я ) О имеем р,з а 1+х» +хо 2 з 2' а — х -у ~ 3. П, о- ение кратньгк интегралов к рещеиию задач геометрии н физики 123 Согласно формуле (4), п.3.2, получаем ь)/'л- ——,, »гх л ж 8а !(х о» вЂ” х» — У2 У о ໠— х — у 2 2 » 2» — <! «» ь» Во,»В» / » 2 Ь 6 2 йх = 8а агссйп —.
Ь е о 79. Площадь части поверхности еж= ((х, у. 2) Е И: — у) ° Из: 22 = 2х 1, отсекаеыой плоскостями. заданнылги уравнениялги х + у = 1. х = О. у = О. е Дифференцируя левую и правую части равенства 2 — 2 у, у а = 2х, пол 'чаем 242 = у Нх+х!»у. откуда 2 = !2»ж.' 2 22,» 2 „ Приннлгая во внимание, что точки поверхности 5 симлгетричны относительно плоскости хОУ и что верхняя ее часть относительно атой плоско р ости п оектируется на ыножество Р = ((х, у) Е И: О < х < 1, О ~( у ~< 1 — х), находил! ! »-« г / Рж2д 3~3 =л/2 ~»гх/) (х2У 2+2 2У2) 4уж и а о )(-' -' --' -' 3 3 1 13 3 2 2 ! ! « "'(~ ! )! =2 ( (-.-) ! (»»)) ь Г»(2) 1 Г(1) Г( ) Г () т Г(3) 3 Г(3) ) л/2 ъ/2 Р = 4»/2 Д вЂ” —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
