7-8Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1273136)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

Линейная алгебра и аналитическая геометрияКраткий конспект лекций.Лекции 7-8Пространство арифметических векторов RnОпределение. Арифметическим вектором называется упорядоченная совокупность n чисел.Обозначается ̅, ,..., , числа , ,..., называются компонентами арифметическоговектора.Для арифметических векторов определены линейные операции — сложение арифметическихвекторов и умножение вектора на число: ̅, ,..., ,, ,..., , ̅,,...,, ̅,,...,,для любых ̅ и и любого числаОпределение. Множество арифметических векторов, для которых определены операциисложения и умножения на число называется пространством арифметических векторов Rn.Вектор ̅ 0,0,..., 0называется нулевым вектором, а векторпротивоположным вектором для вектора ̅ .̅,—,...,Для любых ̅ , , ̅из Rn и любых чисел α , β справедливо:1.̅̅ , сложение коммутативно;2.̅̅̅̅, сложение ассоциативно;̅3.̅̅,̅,4.̅̅̅̅, умножение на число дистрибутивно относительно сложения элементов;5.6.̅αβ ̅ , умножение на число ассоциативно;7.̅̅̅ , умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложениячисел.8.1⋅ ̅̅.Примерами пространства арифметических векторов являются пространства геометрическихвекторов на плоскости, записанных в координатной форме.Линейная зависимость и линейная независимость в RnОпределение.

Линейной комбинацией векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ называется выражение̅ , где коэффициенты линейной комбинации , ,..., — некоторые числа.̅̅...Определение. Говорят, что вектор ̅ пространства Rn линейно выражается через векторы̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ , если его можно представить в виде линейной комбинации этих элементов̅ , ̅ ,..., ̅ , т.е. представить в виде ̅̅̅...̅ .Определение. Система ̅ , ̅ ,..., ̅ векторов из Rn называется линейно независимой если из̅ следует равенство нулю всех коэффициентов̅̅...̅0,0,...,0,∑0.Иными словами, линейная комбинация векторов равна нулю тогда и только тогда, когда всекоэффициенты линейной комбинации равны нулю.Определение. Система векторов, которая не является линейно зависимой, называется линейнонезависимой.Иными словами, существуют такие коэффициенты линейной комбинации̅.0, что̅̅...̅равные нулю ∑,,...,, не всеИли: линейная комбинация векторов может обратиться в нуль, хотя не все коэффициенты линейнойкомбинации равны нулю.Пример.

Исследуем на линейную зависимость векторы̅1,0,0 , ̅Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулю:̅̅⋅ 1,0,0, ,̅⋅ 0,1,00,0,0 ⇔⋅ 0,0,10,, 0,0, 1,00,0.0,0,0,1,0 ,0,0,1 из R3.Т.е. линейная комбинация равна нулю тогда и только тогда, когда все ее коэффициентынулевые — векторы ,̅ ,̅ линейно независимы.Пример.

Исследуем на линейную зависимость систему векторов ,̅ ̅ ,̅ ̅ и̅ з R3.Составим линейную комбинацию векторов и приравняем ее нулю:̅̅̅̅̅⋅ 1,0,0,⋅ 1,1,0⋅ 1,1,0̅ 0,0,0 ⇔,00, тогда̅̅̅, 0,00,̅ 0⋅ ̅,,0.1⋅ ̅,,0Пусть,1,1,̅̅1 ⋅ ̅например,̅ , т.е. существует нулевая линейная комбинация с отличными от нуля̅̅коэффициентами — векторы ,̅ ̅ ,̅ ̅ —̅ линейно зависимы.̅̅̅Свойства линейно зависимых и линейно независимых систем функций1.Любая система векторов, содержащая нулевой вектор линейно зависима.2.Любая система векторов, содержащая пару взаимно противоположных векторов —линейно зависима.3.Любая система векторов, содержащая два равные вектора — линейно зависима.4.Любая подсистема линейно независимой системы векторов — линейно независима.5.Если некоторая подсистема системы векторов линейно зависима, то и вся система— линейно зависима.Докажем первое из этих утверждений: любая система векторов, содержащая нулевойвектор линейно зависима.

Рассмотрим произвольную систему векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ и̅ , т.е.добавим к ней нулевой вектор: ̅ , ̅ ,..., ̅ , ̅ . Тогда : 0 ⋅ ̅ 0 ⋅ ̅ ... 0 ⋅ ̅ 1 ⋅равна нулю линейная комбинация с одним ненулевым коэффициентом — векторылинейно зависимы, ч.т.д.Остальные утверждения доказываются аналогично. Докажите сами.Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системывекторов в RnСправедливо следующее утверждение.Теорема (Необходимое и достаточное условие линейной зависимости системывекторов).

Система ̅ , ̅ ,..., ̅ векторов из Rn линейно зависима тогда и только тогда,когда хотя бы один вектор системы векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ из Rn линейно выражается черезостальные векторы системы.Доказательство теоремы. Необходимость. Дано: векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно зависимы.Докажем, что хотя бы один из них линейно выражается через остальные .Векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно зависимы. Это означает, что существуют такие коэффициенты̅.линейной комбинации , ,..., , не все равные нулю, что̅̅...̅Не умаляя общности, предположим, что именно0.

Тогда из̅̅...̅ следует: ̅̅...̅ — вектор ̅ линейно выражается через ̅ ,..., ̅ .Необходимость доказана.̅Достаточность. Дано: один из векторов системы ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно выражается черезостальные. Докажем, что векторы линейно зависимы.Действительно, не умаляя общности, положим, что вектор ̅ линейно выражается через̅ и векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно̅ ,..., ̅ : ̅̅..̅ . Если все0,2,3,..., , то ̅зависимы (см. св-во 1). Если же среди ,2,3,..., есть хоть одно отличное от нуля число,̅̅..̅— имеем нулевую линейную комбинацию, не все коэффициентыто ̅которой равны нулю — система векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно зависима.

Достаточностьдоказана. Теорема доказана.Базис в Rn. Координаты вектора в заданном базисе. Линейные операции вкоординатной формеОпределение. Система векторов из Rn образует базис в Rn если:система векторов упорядочена;1.2.система векторов линейно независима;любой вектор из Rn линейно выражается через векторы системы.3.Иными словами, линейно независимая упорядоченная система векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈nОбразует базис в Rn если любой вектор ̅, ,...,̅ из R может быть представлен в виде̅̅̅...̅ .Определение.

Выражение ̅̅̅...̅ называется разложением вектора вбазисе ̅ , ̅ ,..., ̅ , а числа , ,..., называются координатами вектора ̅ в базисе ̅ , ̅ ,..., ̅ .Пример. Нетрудно доказать, что система арифметических векторов̅1,0,0,..., 0,̅0,1,0,..., 0,0,0,1,..., 0,̅..........................,̅0,0,0,..., 1линейно независима (см. пример с ,̅ ,̅ ) и что для любого ̅ из Rn система векторов̅ , ̅ , ̅ ,..., ̅ линейно зависима, поскольку любой вектор ̅ линейно выражается черезn̅ , ̅ ,..., ̅ : ̅, ,...,̅̅...̅ . Т.е.

в R существует базис, состоящийиз n векторов. Базис ̅1,0,0,..., 0, ̅0,1,0,..., 0,..., ̅0,0,0,..., 1 называется естественнымnбазисом в R , и компоненты вектора ̅, ,..., — его координаты в естественном базисе.Справедливо следующее утверждение.nТеорема (о единственности разложения вектора в базисе). Для любого вектора ̅ из Rразложение ̅̅̅...̅ вектора в базисе ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ единственно.Доказательство теоремы. «От противного». Пусть не так. Т.е. векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈образуют базис в Rn , помимо разложения ̅̅̅...̅ , существуетразложение ̅̅̅...̅ и не все коэффициенты Ci , Bi совпадают.Тогда ̅̅̅...̅̅̅...̅ , и, следовательно,̅̅̅....̅̅̅...̅ , откуда̅̅...̅Но векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ образуют базис, — они линейно независимы, и, следовательно,...0, т.е.,,...,— все коэффициентыразложений соответственно равны — разложения совпадают. Теорема доказана.Следствие.

Координаты вектора в заданном базисе определяются единственнымобразом.Теорема. В пространстве Rn существует базис из n векторов.Действительно, этот базис — естественный базис ̅1,0,0,..., 0, ̅0,1,0,..., 0,..., ̅0,0,0,..., 1Линейные операции в координатной формеПусть векторы ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ образуют базис в Rn. Тогда для любых двух векторов ̅ ииз Rn однозначно определены разложения ̅̅̅...̅ ,̅̅n...̅ . Тогда из свойств арифметических операций в R следует:̅̅...̅̅...̅̅...̅ идля любого числа : ̅̅...̅̅...̅ .Иными словами, координаты суммы векторов в заданном базисе равны суммесоответствующих координат слагаемых, а координаты произведения вектора на число —произведению соответствующих координат вектора на число.Линейные подпространства в Rn, размерность подпространства, базис вподпространствеОпределение.

Множество L векторов из Rn , такое, что для любых ̅ и из L и любого числа αсправедливо ̅∈ , ̅ ∈ , называется линейным подпространством в Rn.Пример. Множество L арифметических векторов из Rn, у которыхнулевые, образует линейное подпространство в Rn:̅, ,...,,...,̅, 0,, ,...,,0 ∈ , ̅, 0, ̅ , ∈ ,,,...,последние компоненты —,0 ∈ .Нетрудно доказать, что для любого линейного подпространства справедливо:1. если вектор ̅ принадлежит линейному подпространству L, то и вектор̅ принадлежитлинейному подпространству L;2. любое линейное подпространство содержит нулевой элемент.Действительно, пусть ̅ ∈ ,но тогда и̅1 ⋅ ̅ ∈ , и, следовательно, ̅̅̅∈ .nУтверждение. Пространство R само является линейным подпространством в Rn.Это утверждение очевидно, поскольку сумма любых двух векторов из Rn и произведение любоговектора из Rn на любое число принадлежат Rn.Определение. Число k называется размерностью линейного подпространства L, если в Lсуществует система из k линейно независимых векторов, а любые k+1 вектора — линейнозависимы.

Обозначаем dimL=k.Нетрудно доказать следующее утверждение.Теорема. В k-мерном линейном подпространстве существует базис их k векторов.Доказательство теоремы. Действительно, если dimL=k, то существует система из k линейнонезависимых векторов ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ , а любая система из k+1 вектора ̅ , ̅ , ̅ ,..., ̅ ∈ —линейно зависима, но тогда любой вектор ̅ ∈ линейно выражается через векторы :̅̅̅...̅ , т.е. ̅ , ̅ ,..., ̅ — базис в L.Справедливы также следующие утверждения (оставим их без доказательства).Теорема. Любая упорядоченная система из k линейно независимых векторов k-мерного линейногоподпространства является базисом в этом подпространстве.Теорема.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций