11Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1273138)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1Линейная алгебра и аналитическая геометрияКраткий конспект лекций.Лекция 11Линейный оператор и его матрицаЛинейный оператор. Основные понятияОпределение. Если каждому элементу ̅ из пространства Rn ставится всоответствие единственный элемент из пространства Rm , то говорят, чтозадан оператор, действующий из пространства Rn в пространство Rm (илиоператор, действующий в пространстве Rn, если n=m).Результат действия оператора A на элемент ̅ обозначают̅ .Если элементы ̅ и связаны соотношением̅ , то называют образом ̅ ; а ̅ —прообразом .Множество элементов пространства Rn, для которых определено действиеоператора A, называют областью определения оператора A и обозначают D(A).Множество элементов пространства Rm, которые являются образами элементов изобласти определения D(A) оператора A, называют образом оператора A иобозначают Im(A).

Если̅ , то ̅ ∈⊂ , ∈ Im⊂.Ядром оператора называется множество элементов линейного пространства Rn,образом которых является нулевой элемент. Ядро оператора обозначают Ker(A):̅, ̅ ∈Ker̅: ̅.Определение. Оператор A, действующий из пространства Rn в пространство Rmназывается линейным оператором, если для любых , ̅ из Rn и для любогодействительного числа α справедливо:.̅̅иПримеры̅ — линейный оператор, D()=Rn, Im̅,1. Нулевой оператор :̅nKer()=R .Докажем линейность нулевого оператора:̅,̅,̅,̅̅̅̅̅̅̅;̅̅̅̅̅,̅,̅̅ .2.

Тождественный (единичный) оператор I: ̅̅ — линейный оператор, D(I)=nn̅R , Im(I)= R , Ker.Докажем линейность тождественного оператора:̅̅, ̅̅,, ̅̅̅;̅̅,̅̅,̅̅ .3. Оператор P2 — оператор проектирования пространства R3 наподпространство R2 параллельно вектору ̅ 0,0,1:̅, ̅, , ∈ ,3 32, , 0 ∈ линейный оператор, D(P2)= R R , Im(P2)= R , Ker.Докажем линейность оператора проектирования:̅,̅, 0,,,,, 0,,̅̅̅,̅,,0,, 0,,0,, 0,̅,̅.4. Оператор U поворота пространства R2 на угол φ относительно началакоординат против часовой стрелки:2, ,̅cossin , sincos — линейный оператор, D(U)= R ,̅̅.Im(U)= R2, KerДокажем линейность оператора поворота:,,,, 0,̅,̅2,cos̅̅,̅sin , sincossin ,cos̅,̅̅coscoscos ,sincossin ,̅̅̅cossincossin ,sin,sin ,cossin ,coscoscos ,cos ,cossinsinsin , sinsin , sincos ,Замеч,sin ,coscoscos ,sinsinsin ,cos̅аниеЛинейный оператор, действующий из пространства Rn в пространство Rn(действующий в Rn) называют линейным преобразованием пространства Rn.Матрица линейного оператораПусть — линейный оператор, действующий из пространства Rn в пространствоRm , ̅, ̅, ,..., ∈ ,, ,...,∈.nЭто означает, что в некотором базисе ̅ , ̅ ,..., ̅ в R и в базисе ̅ , ,..., ̅ в Rm имеютместо разложения:̅̅ ...̅̅.∑∑̅̅̅...̅̅,Поскольку A — линейный оператор, то̅̅̅̅ .m̅Но ̅ ∈ следовательно, ̅ ∑, ,..., mi — вектор из R ,ji ,т.е.компоненты которого — координаты образа базисного вектора ̅ .Продолжим вычисления:∑̅∑1121...Тогда∑∑̅̅ .Обозначим...12...22...

... ... ....nn̅ ,т.е.ji∑̅̅∑∑ji̅∑̅∑ji̅.Формула̅ связывает вектор-столбец ̅ координат образа с векторомстолбцом координат прообраза, столбцы матрицы A — координаты образовбазисных векторов.Определение. Матрица, столбцами которой являются координаты образовбазисных векторов некоторого базиса в Rт —...

,̅̅...mj̅mj— называется матрицей линейного оператора A в заданных базисах.Обратите внимание, теперь и в дальнейшем A (полужирная) — обозначениелинейного оператора, A(светлая) или Aef — обозначение матрицы оператора A в̅ , ̅ ,..., ̅ .некоторых базисах или в базисе̅ , ̅ ,..., ̅ иТаким образом, доказана следующая теорема.Теорема (связь координат образа и прообраза). Если в пространствах Rn и Rmопределены некоторые базисы ̅ , ̅ ,..., ̅ и ̅ , ,..., ̅ , ̅ ∈ , ∈ — и̅ , товекторы-столбцы их координат ̅ ∈ и ∈в этих базисах связанысоотношением̅ , где A — матрица оператора A в этих базисах.Между множеством линейных операторов, действующих из пространства Rn впространство Rm , и множеством прямоугольных матриц размерности m, n можноустановить взаимно однозначное соответствие.3Примеры̅ 0,0,..., 0,то̅1.

Матрица нулевого оператора: поскольку̅̅0,0,..., 0,1, и, следовательно, матрица нулевого оператора — нулевая матрица.2. Матрица тождественного (единичного) оператора: поскольку ̅̅ , то̅̅0,0,..., 0,1,0,..., 0,1, (единица на i-м месте) и, следовательно, матрицатождественного оператора — единичная матрица.3. Матрица оператора проектирования пространства R3 на подпространство R2̅ , то у1,0̅ ,0,1,̅параллельно вектору ̅ : посколькуматрицы P оператора проектирования последний столбец — нулевой; она имеет1 0 0вид.0 1 04. Матрица оператора U поворота пространства R2 на угол φ относительноначала координат против часовой стрелки:Поскольку̅cos ,sin ,̅sin ,cos , то матрица U оператора поворотаcossinимеет видsin.cosДействия с линейными операторамиДля линейных операторов, как и для всех других новых объектов, с которымимы познакомились в курсе линейной алгебры, можно определить линейныеоперации — операции сложения и умножения на число, а также операциюумножения операторов.Определение.

Суммой операторов A и B называется оператор, определенный в Rnна∩и действующий следующим образом:̅̅̅.Определение. Произведением оператора A на число называется оператор,определенный в Rn на и действующий следующим образом:̅̅ .Определение. Произведением операторов ⋅ называется оператор,определенный в Rn на и действующий следующим образом: ⋅ ̅̅.Нетрудно доказать, что сумма, произведение на число и произведениелинейных операторов — линейный оператор.Действительно: для любых двух векторов ̅ и из Rn и любого числасправедливо: ⋅ ̅̅̅̅⋅ ̅⋅ ,⋅̅̅̅̅⋅ ̅.Нетрудно также доказать, что матрица суммы операторов в некоторыхбазисах равна сумме матриц слагаемых в тех же базисах; матрица оператора,являющегося произведением оператора на число — произведению матрицыоператора на число; матрица произведения операторов — произведению матрицсомножителей.Пример — Задача (ТР Линейная алгебра, задача 6)Пусть A и B — операторы, действующие в R3 :̅, , , ̅,2 ,2и ̅,2 ,.Найдем ⋅3B.В качестве дополнительного задания докажем линейность операторов, найдем ихматрицы.РешениеСначала выполним дополнительное задание.Докажем линейность оператора A:̅̅∣̅̅∣ ̅,,∣,,2 ,2,,2,2∣, 2x2y , 2x,2 ,2,2 ,2,2,22y̅̅4Очевидно, что оба равенства справедливы для произвольных векторов ̅ и, , и любого числа .Докажем линейность оператора B:̅∣̅,̅,∣ ̅∣,2,,, 2x 1,2 ,,,2 ,∣2y ,,2 ,,2̅,̅Очевидно,̅что оба равенства справедливы для произвольных векторов ̅ и, , и любогочисла .Запишем матрицу оператора A: ̅,2 ,2,̅∣ ̅1,0,0 ∣ 1,0,2,∣ ̅0,1,0 ∣1,0,0,̅̅∣ ̅0,0,1 ∣ 0,2,1;запишем координаты образов базисных векторов столбцами — получим матрицуоператора A:1021 00 2.0 10211 00 0.0 1Запишем матрицу оператора B: ̅,2 ,,̅∣ ̅1,0,0 ∣ 0,2,1,̅∣ ̅0,1,0 ∣1,0,0,̅∣ ̅0,0,1 ∣ 0,0,1;запишем координаты образов базисных векторов столбцами — получим матрицуоператора B:Перейдем к решению самой задачи: найдемПервый способ решения задачиСначала найдем 3B: ̅,2 ,, 3B ̅Затем найдем ⋅ : ̅,2 ,2,̅̅,2 ,22x , 42x , 43B.⋅3x , 6 , 32x , 22x2x⋅ :⋅̅̅2x , 42x , 42x2x , 22x ,2x2x2x2x4x4x2x , 22x4x , 53xи, наконец, найдем ⋅3B:3B ̅⋅̅ 3B ̅⋅2x , 22x4x , 53x3x , 6 , 34x4x3x2x , 82x4x , 83x2xПолучили:Второй способ решения задачиСначала найдем матрицу оператора1021 00 2,0 10211 00 0,0 1⋅3B:,23x3x ;2xтеперь найдем5⋅3B0210211 010 000 121 010 040 144 022531 011 000 20 0 2 320 12 0 1112 03 06 0 0022 13 0 32 03 006 0 013 0 343282483 2и тогда⋅3B ̅48832324⋅24x8x8x3x2x3x1 00 00 12x4x .2xСравним с результатом, полученным первым способом:⋅3B ̅4x3x2x , 82x4x , 63x— полное совпадение.Задача решена верно..

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций