12Линейная алгебра и аналитическая геометрия (1273139)

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла

1Линейная алгебра и аналитическая геометрияКраткий конспект лекций.Лекция 12Преобразование координат вектора при изменении базисаКак уже отмечалось, в n-мерном пространстве Rn существует множество̅ , ̅ ,..., ̅ — два базиса в Rn.различных базисов. Пусть̅ , ̅ ,..., ̅ иОбозначим ̅ и ̅ координаты вектора ̅ в базисах̅ , ̅ ,..., ̅ и̅ , ̅ ,..., ̅ (векторы-столбцы!!!), т.е.∑̅̅, ̅... , ̅′′....′′ ̅, ̅∑Естественно, существует связь между координатами вектора в разных̅ , ̅ ,..., ̅ сами являютсябазисах. Найдем ее. Поскольку векторы ̅ базисаn̅ , ̅ ,..., ̅ :векторами из R , их можно разложить по базису̅̅∑∑∑̅ , ̅̅ ,..., ̅ ∑̅,...,̅.ijin∑ ∑∑∑Тогда ̅ ∑′ ̅ ∑′ ∑̅ , т.е.ijij ′ ̅ij ′ или,что то же самое, ̅...11122122..................′′...

⋅ ... , ̅′nn→⋅ ̅ .Определение. Матрица → называется матрицей перехода от базиса̅ , ̅ ,..., ̅ , это матрица, столбцами которой являются̅ , ̅ ,..., ̅ к базису̅ , ̅ ,..., ̅ («новых» базисных векторов) вкоординаты базисных векторовбазисе̅ , ̅ ,..., ̅ (в «старом» базисе).Матрица перехода обратима. Действительно, ее столбцы линейно независимы,поскольку они — координатные столбцы базисных векторов.Тогда из ̅→ ⋅ ̅ имеем формулу преобразования координат вектора при⋅ ̅ .изменении базиса: ̅→10 задан своими5̅ , ̅ , ̅ . Найдем координаты вектора ̅ в базисе ′Пример (ТР Линейная алгебра, Задача 4). Векторкоординатами в базисе̅′̅′̅′ , ̅′ , ̅′ : ̅′̅̅̅̅̅ ,̅ ,̅̅ .Решение.

Используем формулу̅→ ⋅ ̅ преобразования координат векторапри изменении базиса. Запишем матрицу перехода от базиса̅ , ̅ , ̅ к базису′̅ ′ , ̅ ′ , ̅ ′ — ее столбцы — координаты векторов ̅ ′ , ̅ ′ , ̅ ′ в базисе ̅ , ̅ , ̅ ′ :→1 1 11 1 1.0 0 1Найдем обратную матрицу методом Гаусса-Жордана21 1 1 1 0 01 1 1 1 0 0 1 1 1 1 0 01 11 1 1 0 1 0→0 2 2 1 1 0→0 1 10→2 20 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 10 0 1 0 0 1111 1 0 1 01 1 0 00221 11 11→0 1 02 210 1 02 20 0 1 0 0 10 0 1 0 0100111.→1и тогда ̅1⋅ 050 010 015̅Проверим:11⋅ ̅′11⋅ ̅′5 ⋅ ̅′⋅ ̅11̅⋅ ̅̅511115 ̅5 ̅5 ̅̅5 ̅5⋅ ̅̅̅10 .5Получили заданные в условии координаты вектора в исходном базисе.Ответ:̅115Преобразование матрицы линейного оператора при изменении базиса̅ , ̅ ,..., ̅ — два базиса в Rn.Пусть̅ , ̅ ,..., ̅ иОбозначим ̅ , , и ̅ , , координаты векторов ̅ и из Rn и матрицу оператора A̅ , ̅ ,..., ̅ , а → — матрицу перехода отсоответственно в базисах̅ , ̅ ,..., ̅ и̅ , ̅ ,..., ̅ , т.е.

̅∑∑̅ , ̅ ,..., ̅ к базису̅ ,̅ , ̅базиса∑∑′ ̅,′ ̅,,̅ ,̅ .̅→ ̅ ,→Тогда̅→→⋅̅⋅→⋅̅→→⋅⋅→̅ ,откуда имеем формулы преобразования матрицы линейного оператора при⋅ → ,⋅ → .изменении базиса:→ ⋅→ ⋅Пример (ТР Линейная алгебра, Задача 7). Линейный оператор A,действующий в пространстве R3, задан в в базисе̅ , ̅ , ̅ матрицей1 12 31 271 . Найдем матрицу оператора A, в базисе ′1Решение.

Используем формулу̅′̅′̅′ , ̅′ , ̅′ : ̅′̅̅̅̅ ,̅ ,̅̅ .⋅ → преобразования матрицы→ ⋅линейного оператора при изменении базиса. Запишем матрицу перехода от базиса̅ , ̅ , ̅ к базису ′̅ ′ , ̅ ′ , ̅ ′ и вычислим обратную к ней (см. предыдущийпример):1 1 11 1 1,0 0 1→0001 1⋅1 2 31 21011→07 1 1 11 1 1 11 0 0 1011.3123Проверим.

Проверить можно так: найти образы новых базисных векторов изаписать матрицу в новом базисе.Можно проверить «случайные» арифметические ошибки:detdet → ⋅ det ⋅ det →det :11det51, det∣∣3121 1∣ 2 31 271 ∣151.11Ответ:312Образ и ядро линейного оператораРассмотрим линейный оператор A, действующий из пространства Rn впространство Rm. Напомним, что множество элементов пространства Rn, которыеявляются образами элементов из области определения D(A) оператора A, называютобразом оператора A и обозначают Im(A).Теорема.

Образ Im(A) линейного оператора A — линейное подпространствопространства Rn.Доказательство теоремыРассмотрим произвольные векторы из образа линейного оператора:∈ Im и∈ Im . Это означает: ∃ ̅ ∈ и ∃ ̅ ∈ такие, что̅и̅.A — линейный оператор, следовательно,̅̅̅̅ т.е.∈ Im ;для любого числа , ⋅⋅̅⋅ ̅т.е. ⋅∈ Im . Теоремадоказана.Определение. Размерность образа линейного оператора называется рангомоператора, обозначается Rg(A): r=Rg(A)=dim Im(A).Определение. Ядром линейного оператора называется множество элементовпространства Rn, образом которых является нулевой элемент.

Ядро оператора̅, ̅ ∈обозначают Ker(A): Ker̅: ̅.Теорема. Ядро линейного оператора — линейное подпространствопространства Rn.Доказательство теоремыРассмотрим произвольные векторы ядра линейного оператора: ̅ ∈ Ker и̅и ̅̅.̅ ∈ Ker . Это означает:̅̅̅̅ т.е.A — линейный оператор, следовательно, ̅̅̅̅̅̅ ∈ Ker ;̅ т.е.

⋅ ̅ ∈ Ker . Теоремадля любого числа ,⋅ ̅⋅̅⋅ ̅доказана.Определение. Размерность ядра линейного оператора называется дефектомоператора, обозначается def(A): r=def(A)=dimKer(A).Для линейного оператора , действующего из пространства Rn в пространство Rm,справедливы следующие утверждения:1) ранг оператора равен рангу его матрицы;2) ядро оператора совпадает с множеством решений линейной однороднойсистемы с матрицей A; размерность пространства решений этой системы равнадефекту оператора, а ее фундаментальная система решений образует базис в ядреоператора;столбцы, входящие в базисный минор матрицы оператора образуют базис в образеоператора.4Эти утверждения позволяют описать структуру образа и ядра линейного оператора(найти размерность подпространства и построить его базис), заданного матрицей,на языке матричных преобразований и общей теории линейных систем.̅ 0,0,..., 0,тоImПримеры.

Ядро и образ нулевого оператора: поскольку̅̅ ,Ker,Rg0,def;ядро и образ тождественного (единичного) оператора: поскольку,KerIm̅ ,Rg,def̅̅ , то0;ядро и образ оператора проектирования пространства Rn на подпространствоRn-1 параллельно вектору ̅ 0,0,0,..., 1: поскольку̅, ̅, ,...,, ∈,, ,...,,0 ∈, тоIm,Ker̅0,0,..., ,Rg1,def1;ядро и образ оператора поворота пространства R3 против часовой стрелки на угол π относительно, , ∈ ,,, , ∈ , то Imоси вектора0,0,1: поскольку̅, ̅̅,Ker,Rg3,def0.Пример. Найдем ранг, дефект и образ ядра линейного оператора A, заданного внекотором базисе в R3 матрицей0.1250.250.3750.250.50.750.1250.25 .0.375Решение.

Приведем матрицу оператора к ступенчатому виду:0.1250.250.3750.250.125120.50.25 → 240.75 0.37536Следовательно, RgRgA 1, def1 1 21 1 22→0 0 0 →0 030 0 00 0RgA 3 1 2.̅.Ядро оператора описывается равенством ̅10.0Методом Гаусса получили выражение для общего решения:что то же самое,2x.2xНайдем ФСР (базис в пространстве решений однородной системы):0или,21 ,0̅ — это и есть базис вБазис в пространстве решений однородной системы ̅3ядре оператора A, заданного в некотором базисе в R матрицей A.Ответ: Rg 1, def 2,базис в ядре оператора образуют векторы21 ,010.110.1.

Характеристики

Тип файла PDF

PDF-формат наиболее широко используется для просмотра любого типа файлов на любом устройстве. В него можно сохранить документ, таблицы, презентацию, текст, чертежи, вычисления, графики и всё остальное, что можно показать на экране любого устройства. Именно его лучше всего использовать для печати.

Например, если Вам нужно распечатать чертёж из автокада, Вы сохраните чертёж на флешку, но будет ли автокад в пункте печати? А если будет, то нужная версия с нужными библиотеками? Именно для этого и нужен формат PDF - в нём точно будет показано верно вне зависимости от того, в какой программе создали PDF-файл и есть ли нужная программа для его просмотра.

Список файлов лекций